1、用余弦定理、正弦定理解三角形(习题课)A级基础巩固1若三角形的两边长为3和5，其夹角的余弦值是方程5x27x60的根，则该三角形的面积是()A6B.C8 D10解析：选A解方程5x27x60，得x或x2(舍去)设三角形边长为3，5的两边的夹角为，则cos ，sin .故该三角形的面积S356.2在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b2c2a2bc1，则ABC的面积为()A. B.C. D.解析：选C由b2c2a2bc及余弦定理得b2c2a22bccos A，可得bc2bccos A，即cos A，所以sin A.因为bc1，所以Sbcsin A1，故选C.3在ABC中，A60，
2、AB2，且ABC的面积SABC，则边BC的长为()A. B3C. D7解析：选A因为SABCABACsin A，所以2ACsin 60.所以AC1.又BC2AB2AC22ABACcos A4122cos 603.所以BC.4已知ABC的周长为20，面积为10 ，A60，则BC边的长为()A5 B6C7 D8解析：选C由题知abc20，bcsin 6010 .所以bc40.a2b2c22bccos 60(bc)23bc(20a)2120.所以a7.即BC边的长为7.5在ABC中，若b2，A120，其面积S，则ABC外接圆的半径为()A. B2C2 D4解析：选B因为Sbcsin A，所以2csi
3、n 120.所以c2.所以a 2 .设ABC外接圆的半径为R.所以2R4，所以R2.6在ABC中，a3，b2，cos C，则ABC的面积为_解析：因为cos C，0C0，所以SABCABACsin A10 k210 .所以k1，AB8，AC5.由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos A825228549，所以BC7.所以ABC的周长为ABBCAC20.答案：209在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b，c1，cos B.(1)求sin C的值；(2)求ABC的面积解：(1)b，c1，cos B.sin B .由正弦定理可得sin C.(2)cb，C为锐角，由(1)可得
4、cos C .sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，SABCbcsin A1.10ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tan A，a2 ，b2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积解：(1)因为tan A，所以A.在ABC中，由余弦定理，得284c24ccos ，即c22c240.解得c6(舍去)，c4.(2)由题设可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD面积与ACD面积的比值为1.又ABC的面积为42sin BAC2，所以ABD的面积为.B级综合运用11在平行四边形ABCD中，AC，BD，周长为18，则平行四边形的面积
5、是()A16 B17.5C18 D18.5解析：选A设平行四边形的两邻边ADb，ABa，BAD，则ab9，a2b22abcos 17，a2b22abcos(180)65，解得a5，b4，cos 或a4，b5，cos ，所以S平行四边形ABCDabsin 16.12如图，在ABC中，D是AC边上的点，且ABADBD，BC2BD，则sin C的值是_解析：设ABx，则ADx，BDx，BCx.在ABD中，由余弦定理，得cos A，则sin A.在ABC中，由正弦定理，得，解得sin C.答案：13.如图，若圆内接四边形的边长依次为25，39，52和60，则cos A_，该圆的直径长度为_解析：由余弦
6、定理得BD239252223952cos C，BD225260222560cos A，AC180，cos Ccos A，即(392252)(602522)23952cos A22560cos A0，cos A0.0A180，A90，BD2392522652，BD65.答案：06514在ABC中，角A，B，C所对的边长是a，b，c，向量m(b，c)，且满足|m|2a2bc.(1)求角A的大小；(2)若a，求ABC的周长的最大值解：(1)m(b，c)，且|m|2a2bc，b2c2a2bc，由余弦定理，得cos A，0A，因此A.(2)由a，A及余弦定理，得a2b2c22bccos A，即a2b2c
7、2bc(bc)23bc(bc)23，(bc)24a212，bc2 ，当且仅当bc时，等号成立，因此，ABC的周长的最大值为3.C级拓展探究15D为ABC的边BC的中点，AB2AC2AD2.(1)求BC的长；(2)若ACB的平分线交AB于点E，求SACE.解：(1)由题意知AB2，ACAD1.设BDDCm.在ADB与ADC中，由余弦定理，得AB2AD2BD22ADBDcos ADB，AC2AD2DC22ADDCcos ADC.即1m22mcos ADB4，1m22mcos ADB1.得m2，所以m，即BC.(2)在ACE与BCE中，由正弦定理得，由于ACEBCE，且，所以.所以BEAE，所以AE(1)又cos BAC，所以sin BAC，所以SACEACAEsin BAC1(1).6