1、第2课时半角公式知识点半角公式 填一填(1)sin.(2)cos.(3)tan.注意：(1)半角的正弦、余弦、正切公式通常是用单角的余弦(或正弦和余弦)来表示，是二倍角公式的推论(2)注意tan的适用范围答一答求半角的正切值常用什么方法？提示：根据经验，解决半角的正切值问题有三种方法：(1)tan；(2)tan；(3)tan.对半角公式的四点认识(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的(2)半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos的值及相应的条件，便可求出sin，cos，tan.(3)由于tan及tan不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于ta
2、n的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin2，cos2求解.类型一用半角公式求值 【例1】已知sin且，求sin，cos，tan的值【思路探究】半角公式是用单角的余弦值求半角的三角函数值，因此要先根据条件求出cos，再代入半角公式求值【解】sin，cos.又，sin，cos，tan4.规律方法 已知角的某三角函数值，用半角公式可求的正弦、余弦、正切值，思路是先由已知利用同角公式求出该角的余弦值，再用半角公式求解，在解题过程中要注意根据的范围确定正负号(1)已知(，)，|cos2|，则sin的值为(C)A B.C D.解析：因为(，
3、)，所以2(，3)，所以|cos 2|cos2，即cos2，所以sin.(2)已知sin，sin()，均为锐角，求cos的值解：因为0，sin，所以cos，又因为0，0，所以0.若0，即sinsin()，所以，这不可能，所以.又因为sin()，所以cos()，所以coscos()cos()cossin()sin.而0，0，所以cos.类型二利用公式化简 【例2】化简：(0)【思路探究】式子中含有根式，先化单角为半角去根号，再利用有关公式进行化简【解】原式，0，0，原式sin2cos2cos.规律方法 三角函数式化简的方法与技巧(1)应用公式：根据式子的结构，明确对公式是正用、逆用，还是通过拼凑
4、变形用(2)统一函数名称和角：常采用异名化同名，异角化同角等方式减少三角函数的名称和角的种类(3)特殊值与特殊角的三角函数的互化：如tan60.(4)注意“1”的代换，如sin2cos21，tan451.已知2，试化简：.解：原式|sincos|sincos|，因为(，2)，所以(，)，从而sincos0，则原式(sincos)(sincos)2sin.类型三 利用公式解决三角函数综合问题 【例3】在ABC中，A，B，C为三个内角，f(B)4cosBsin2()cos2B2cosB.(1)若f(B)2，求角B；(2)若f(B)m2恒成立，求实数m的取值范围【思路探究】本题主要考查倍角公式，两角
5、和、差公式及已知三角函数值求角、求最值化简f(B)，并考虑0B即可解题【解】(1)f(B)4cosBcos2B2cosB2cosB(1sinB)cos2B2cosB2cosBsinBcos2Bsin2Bcos2B2sin(2B)f(B)2，2sin(2B)2，2B2k(kZ)，Bk，kZ.0B2恒成立，即2sin(2B)2m恒成立0B，2sin(2B)2,2，2m2，m4.规律方法 倍角公式在三角形问题中的应用的解题方法先逆用倍角公式对三角函数式降幂，然后通过引入辅助角化成一个三角函数，最后结合三角形内角的取值范围求出三角函数的值域或最值已知函数f(x)sin2xcos2x2sinxcosx(
6、xR)(1)求f()的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间解：(1)由sin，cos，得f()()2()22()2.(2)由cos2xcos2xsin2x与sin2x2sinxcosx，得f(x)cos2xsin2x2sin(2x)，所以f(x)的最小正周期是.令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，所以f(x)的单调递增区间是k，k(kZ)易错警示应用半角公式求值时的易错点【例4】设34，cosm，那么cos等于()A. BC D.【错解】C或A【正解】由于cos2cos21，可得cos2，又34，所以.所以cos0，所以cos.【错解分析】选C.将处的余弦降幂公式错记为正弦降幂公
7、式导致错选C；选A.忽略对处角的讨论导致符号错误，错选A.【答案】B【防范措施】1.熟记三角函数公式熟练记忆并能灵活运用三角函数公式是正确解题的前提，如本例处对公式的变形应用2明确三角函数值的符号应用半角公式求值时，要特别注意半角的三角函数值符号的确定，否则会出现符号的失误，如本例处对角的范围的计算，是明确cos值的符号的关键若cos，是第三象限的角，则等于(A)AB. C2D2解析：因为是第三象限角，cos，所以sin.所以.一、选择题1在tan的定义域内，下列各式中恒成立的一个是(C)Atan BtanCtan Dtan2若cos，且(0,2)，则sin等于(A)A. BC. D解析：(0,2)，(0，)sin.3已知sin，cos，则所在的象限是(C)A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：sin2sincos2()0，cos2cos212()210，在第三象限二、填空题4函数f(x)2cos2sinx的最小正周期是2.解析：f(x)2sinxcosxsinx1sin(x)1.T2.5若cos22a，则sin11，cos11.(用a表示)解析：sin11，cos11.三、解答题6已知450540，化简 .解：|cos|cos，原式，又225270，sin.原式sin.