1、6平面向量数量积的坐标表示知识点 平面向量数量积的做坐标运算及方向向量填一填1平面向量数量积的坐标运算设a(x1，y1)，b(x2，y2), a与b的夹角为，则(1) abx1y2+x2y1；(2) |a|；(3)若ab，则x1x2y1y20；(4)cos.2直线的方向向量给定斜率为k的直线l，则向量m(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量答一答如何判断a(x1，y1)与b(x2，y2)共线与垂直？提示：(1)判断共线有两种方法：第一种方法是向量共线的判定定理，ba(a0)ab.第二种方法是坐标共线的条件，abx1y2x2y10.(2)判断向量垂直的方法：a
2、bab0x1x2y1y20.1对向量数量积的坐标运算与度量公式的两点说明(1)向量的坐标运算实现了向量运算的代数化，其将数与形紧密联系在一起，使向量的运算方式得到拓展(2)向量的模的坐标运算的实质向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a(x，y)，则在平面直角坐标系中，一定存在点P(x，y)，使得a (x，y)，故|a|，即|a|为点P到原点的距离；同样若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，故|，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算2在不同表示形式下求向量夹角的策略(1)当a
3、，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求出ab，|a|和|b|或直接得出它们之间的关系(2)若a，b是坐标形式，则可直接利用公式cos求解类型一平面向量数量积及夹角的坐标表示 【例1】已知向量a(1,2)，b(3,4)，求ab，(ab)(2a3b)【思路探究】(1)利用平面向量数量积的坐标表示可直接求ab.(2)(ab)(2a3b)可先展开，再求值，也可先求(ab)及(2a3b)的坐标，再求值【解】法1：a(1,2)，b(3,4)，ab(1,2)(3,4)132411，(ab)(2a3b)2a2ab3b22|a|2ab3|b|22(1222)113(3242)54.法2：a(1,2)，b(3,
4、4)，ab11.又ab(1,2)(3,4)(2，2)，2a3b2(1,2)3(3,4)(11,16)，(ab)(2a3b)(2，2)(11,16)(2)11(2)1654.规律方法 (1)涉及向量数量积的坐标表示一般利用公式abx1x2y1y2求解，其关键是确定向量a，b的坐标(2)若题目中涉及图形的数量积运算，则要充分利用两点间的距离公式求出向量的坐标，再由向量的坐标求得数量积(1)向量a(3，1)，b(1，2)，则(ab)(ab)5.(2)已知平面向量a，b满足条件ab(0,1)，ab(1,2)，则ab1.解析：(1)法1：(ab)(ab)a2b232(1)212(2)25；法2：因为ab
5、(4，3)，ab(2,1)，所以(ab)(ab)(4，3)(2,1)42315.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)因为ab(0,1)，ab(1,2)，所以解得所以a，b，因此，ab1.类型二两向量垂直的坐标表示 【例2】已知在ABC中，A(2，1)，B(3,2)，C(3，1)，BC边上的高为AD，如图，求D点及的坐标【思路探究】解决此题的关键是确定D点的位置，可知与垂直，又B，D，C三点共线，利用向量平行与垂直的坐标表示求解【解】设D(x，y)，所以(x2，y1)，又因为(6，3)，且，所以0，所以6(x2)3(y1)0，即2xy3.又因为与为共线向量，(x3，y2)，(6，3)，所以
6、3(x3)6(y2)0，即x2y1.联立，解得所以D(1,1)，(1,2)规律方法 利用向量数量积的坐标表示，可以使两个向量垂直的条件更加代数化，因而其判定方法也更加简捷，在以后解题中要注意应用(1)已知a(3,4)，b(2，1)，且(amb)(ab)，则实数m为何值？(2)在ABC中，(2,3)，(1，k)，且ABC的一个内角为直角，求k的值解析：(1)amb(32m,4m)，ab(1,5)，因为(amb) (ab)，所以(amb)(ab)0，即(32m)1(4m)50，所以m.(2)当A90时，0，所以213k0，所以k；当B90时，0，(12，k3)(1，k3)，所以2(1)3(k3)0
7、，所以k；当C90时，0，所以1k(k3)0，所以k.类型三向量的模 【例3】已知平面向量a(3,5)，b(2,1)(1)求a2b及其模的大小；(2)若ca(ab)b，求|c|.【思路探究】(1)将已知向量的坐标代入运算即可；(2)主要是利用abx1x2y1y2求得c的坐标，然后求模的大小【解】(1)a(3,5)，b(2,1)，a2b(3,5)2(2,1)(34,52)(7,3)，|a2b|.(2)ab651，cab(1,6)，|c|.规律方法 本题是平面向量的数量积和模的基本运算，只要公式记忆熟练就不难求解本例题中的条件不变，问题变为“若|2akb|2，求k的值”，如何求解？解：由条件，知2
8、akb(62k,10k)|2akb|2，(2akb)2(62k)2(10k)25k24k136136，5k24k0，k0或k.类型四坐标法的应用 【例4】已知三点A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)(1)求证：ABAD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度【思路探究】【解】(1)证明：A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，(1,1)，(3,3)则1(3)130，即ABAD.(2)，四边形ABCD为矩形，.设点C的坐标为(x，y)，则(x1，y4)，从而有即点C的坐标为(0,5)(2,4)，|2，故点C的坐标为(0,5)，矩形ABCD的对角线的长度为
9、2.规律方法 利用向量的坐标运算解决平面图形问题，常见的题型有：(1)求点的坐标：设出所求点的坐标，利用终点坐标与始点坐标的差得到向量的坐标，根据向量间的关系求解(2)证明两线段垂直：证明两线段所对应的向量的数量积为零即可(3)求线段的长度：求出线段所对应的向量的模即可已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是(B)A2 BC D1解析：如图所示，以BC为x轴，BC的垂直平分线OA为y轴，O为原点建立直角坐标系则A(0，)，B(1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，所以(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，所以(2x，2y)，()2x22y(y)2x222，当
10、P时，所求的最小值为.规范解答与数量积的坐标运算相关的综合问题的解法【例5】已知(2,1)，(1,7)，(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)(1)求使取到最小值时的.(2)对(1)中求出的点C，求cosACB.【审题】 【解题】(1)因为点C是直线OP上一点，所以向量与共线，设t，则(2t，t)(12t,7t)，(52t,1t)，(12t)(52t)(7t)(1t)5t220t125(t2)28，当t2时，取得最小值，此时(4,2)(2)当(4,2)时，(3,5)，(1，1)，所以|，|，8，cosACB.【小结】1.隐含信息的挖掘对题目中的条件要认真分析，找出一些隐含条件，
11、如本例中“C是直线OP上的一点”隐含着“向量与共线”2注意函数思想在解决最值中的应用涉及求解最值的问题，常常先通过题设建立函数关系式，在此基础上，借助函数知识求解，如本例第(1)问(6,1)，(4，k)，(2,1)(1)若A，C，D三点共线，求k的值(2)在(1)的条件下，求向量与的夹角的余弦值解：(1)因为(10，k1)，由题意A，C，D三点共线，所以，所以1012(k1)0，即k4.(2)因为(2,1)，设向量与的夹角为，则cos .一、选择题1已知mR，向量a(m,1)，若|a|2，则m等于(D)A1 B.C1 D解析：a(m,1)且|a|2，2，解得m，故选D.2设a(1，2)，b(3
12、,4)，c(3,2)，则(a2b)c(C)A(15,12) B0C3 D11解析：本题考查平面向量加法及数量积运算a2b(5,6)，c(3,2)，(a2b)c53623.3已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则(B)A4 B3C2 D1解析：本题考查数量积的运算，向量垂直的条件mn(23,3)，mn(1，1)，(mn)(mn)，(mn)(mn)2330，3.二、填空题4在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边ABDC，ADBC，已知点A(2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为(0，2)解析：考查向量相等的定义ABDC，ADBC，四边形ABCD为平行四边形设
13、D(x，y)，(8,8)(8x,6y)，x0，y2，D(0，2)5已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(ab)c，则a与c的夹角的大小为120.解析：ab(1，2)，|a|，设c(x，y)，(ab)c，x2y.设a与c的夹角为，acx2y，cos.又0，180，120.三、解答题6在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的值解：(1)由题设知(3,5)，(1，1)，则(2,6)，(4,4)所以|2，|4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知(2，1)，t(32t,5t)由(t)0，得(32t,5t)(2，1)0，从而5t11，所以t.