1、广东省佛山市普通高中2012届高三教学质量检测(一)理科数学本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1
2、已知是虚数单位，、，且，则 A BCD 2下列函数中既是奇函数，又在区间上是增函数的为A B C D 3设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和A B C D4“关于的不等式的解集为”是“”A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示， 则这个三棱柱的左视图的面积为A. B C D 6已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为A B C D7某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分
3、布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是A岁 B岁 C岁 D岁8对于非空集合，定义运算：，已知，其中满足，则A. B. C. D.二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分）(一)必做题(913题)9某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）合唱社粤曲社书法社高一4530高二151020 学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取人，结果合唱社被抽出人，则_.10函数的最小正周期是 _.11已知不等式组所表示的平面区域的面积为，则的值为_.12已知向量，其中.若，则的最小值为 . 13
4、对任意实数，函数，如果函数，那么函数的最大值等于 . (二)选做题(1415题,考生只能从中选做一题)CAPB14（坐标系与参数方程）在极坐标系下，已知直线的方程为，则点到直线的距离为_. 15.（几何证明选讲）如图，为圆外一点，由引圆的切线与圆切于点，引圆的割线与圆交于点.已知， .则圆的面积为 .三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（本题满分12分）在中，角、的对边分别为，满足，且.（1）求的值； （2）若，求的面积.17（本题满分14分）如图，三棱锥中，底面，为的中点，点在上，且.（1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成的二面角的平面
5、角（锐角）的余弦值.18（本题满分13分）佛山某学校的场室统一使用“佛山照明”的一种灯管，已知这种灯管使用寿命（单位：月）服从正态分布，且使用寿命不少于个月的概率为，使用寿命不少于个月的概率为.（1）求这种灯管的平均使用寿命；（2）假设一间功能室一次性换上支这种新灯管，使用个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下（中途不更换），求至少两支灯管需要更换的概率.19（本题满分12分）已知圆，圆，动点到圆,上点的距离的最小值相等.（1）求点的轨迹方程；（2）点的轨迹上是否存在点，使得点到点的距离减去点到点的距离的差为，如果存在求出点坐标，如果不存在说明理由.20（本题满分14分）设,函数.(1) 若
6、，求曲线在处的切线方程；(2) 若无零点,求实数的取值范围；(3) 若有两个相异零点,求证: .21（本题满分14分）设，圆：与轴正半轴的交点为，与曲线的交点为，直线与轴的交点为.(1)用表示和;(2)求证:;(3)设,求证:.2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题：（每题5分，共40分）题号12345678选项DBBAABCC二、填空题（每题5分，共30分）9 10 11 12 13 14 15三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本题满分12分）解：（1），且， 1分, 3分 6分（2）由（1
7、）可得 8分 在中，由正弦定理 , 10分三角形面积. 12分17 （本题满分14分）（1）证明：底面，且底面， 1分由，可得 2分又 ，平面 3分注意到平面， 4分,为中点， 5分 ， 平面 6分 而平面， 7分（2）方法一、如图，以为原点、所在直线为轴、为轴建立空间直角坐标系. 则 8分. 10分设平面的法向量. 由得，即（1） （2）取，则，. 12分取平面的法向量为则，故平面与平面所成角的二面角（锐角）的余弦值为. 14分方法二、取的中点，的中点，连接， ，. 8分 ， . 9分 同理可证：. 又， .10分则与平面所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面与平面所成的二面角的平面角（锐角
8、）已知，平面， 11分又，平面由于平面， 而为与平面的交线，又底面，平面为二面角的平面角 12分根据条件可得，在中， 在中，由余弦定理求得 13分故平面与平面所成角的二面角（锐角）的余弦值为. 14分18（本题满分13分）解：（1），显然 3分由正态分布密度函数的对称性可知， 即每支这种灯管的平均使用寿命是个月； 5分 （2）每支灯管使用个月时已经损坏的概率为， 6分假设使用个月时该功能室需要更换的灯管数量为支，则， 10分故至少两支灯管需要更换的概率（写成也可以）. 13分19（本题满分13分）解：（1）设动点的坐标为，圆的圆心坐标为，圆的圆心坐标为， 2分因为动点到圆,上的点距离最小值相等
9、，所以, 3分即，化简得， 4分因此点的轨迹方程是； 5分（2）假设这样的点存在，因为点到点的距离减去点到点的距离的差为4，所以点在以和为焦点，实轴长为的双曲线的右支上， 即点在曲线上， 9分又点在直线上， 点的坐标是方程组的解，11分消元得，方程组无解，所以点的轨迹上不存在满足条件的点. 13分20（本题满分14分）解：方法一在区间上,. 1分（1）当时，则切线方程为，即 3分（2）若,则,是区间上的增函数, ,函数在区间有唯一零点. 6分若,有唯一零点. 7分若,令得: .在区间上, ,函数是增函数;在区间上, ,函数是减函数;故在区间上, 的极大值为.由即,解得:.故所求实数a的取值范围
10、是. 9分方法二、函数无零点方程即在上无实数解 4分令，则由即得： 6分在区间上, ,函数是增函数;在区间上, ,函数是减函数;故在区间上, 的极大值为. 7分注意到时，；时；时，故方程在上无实数解.即所求实数a的取值范围是. 9分注:解法二只说明了的值域是,但并没有证明. (3) 设,原不等式令,则,于是. 12分设函数,求导得: 故函数是上的增函数, 即不等式成立,故所证不等式成立. 14分21（本题满分14分）解： (1)由点在曲线上可得, 1分又点在圆上，则, 2分从而直线的方程为, 4分由点在直线上得: ,将代入化简得: . 6分(2) , 7分又, 9分(3)先证:当时,.事实上, 不等式后一个不等式显然成立,而前一个不等式.故当时, 不等式成立., 11分(等号仅在n=1时成立)求和得: 14分