1、第三十五讲基本不等式及其应用班级_姓名_考号_日期_得分_一、选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内)1“a0且b0”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案:A2设a、bR,且ab4,则有()A.B.1C.2 D.解析:由a,bR*,且ab4得242,又由,即.由此可知,A,C,D都不正确,则只有B正确,故选B.答案:B3设0xbc0,则2a210ac25c2的最小值是()A2 B4C2 D5解析:原式a2a210ac25c2a2(a5c)2a204,当且仅当bab、a5c且a2,即a2b5c时“”都成立,故原
2、式的最小值为4,选B.答案:B6已知x0,y0,x2y2xy8,则x2y的最小值是()A3 B4C. D.解析:依题意得(x1)(2y1)9,(x1)(2y1)26,x2y4,当且仅当x12y1,即x2,y1时取等号,故x2y的最小值是4,选B.答案:B二、填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上)7在“1”中的“_”处分别填上一个自然数,使它们的和最小,并求出其和的最小值_分析:.本题条件、结论皆开放,可设所要填写的两数分别为x,y,再利用均值定理去探索解析:设这两个自然数分别为x,y,则有xy(xy)1313225,当且仅当,且1,即x10,y15时等号成
3、立,故分别填10和15,其和的最小值为25.答案:101525评析:本题解答的关键是将已知中的“1”代换应用均值定理求函数的最值时,必须注意“一正二定三相等”8若a,b是正常数,ab,x,y(0,),则,当且仅当时取等号利用以上结论,可以得到函数f(x)(x)的最小值为_,取最小值时x的值为_解析:f(x)25.当且仅当,即x时上式取最小值,即f(x)min25.答案:259(2010重庆)已知t0,则函数y的最小值为_解析:依题意得yt4242,此时t1,即函数y(t0)的最小值是2.答案:210(2010浙江)若正实数x,y满足2xy6xy,则xy的最小值是_解析:由基本不等式得xy26,
4、令t得不等式t22t60,解得t(舍去)或者t3,故xy的最小值为18.答案:18三、解答题:(本大题共3小题,11、12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤)11设a、b、c为正数,求证abc分析:通过观察可得:c2,b2,a2从而利用基本不等式即可证明:a、b、c均是正数,均是正数2c,2a,2b三式相加得:22(abc)abc评析:先局部运用基本不等式,再利用不等式的性质,(注意限制条件)通过相加(乘)合成为待证的不等式,既是运用基本不等式时的一种重要技能,也是证明不等式时的一种常用方法12设函数f(x)x,x0,)(1)当a2时,求函数f(x)的最小值;(2)当0a0,0.所
5、以f(x)21.当且仅当x1,即x1时,f(x)取得最小值,最小值为21.(2)因为f(x)xx11,(此时再利用(1)的方法,等号取不到)设x1x20,则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2).由于x1x20,所以x1x20,x111,x211.所以(x11)(x21)1.而0a1,所以0.即f(x1)f(x2),所以f(x)在0,)上单调递增所以f(x)minf(0)a.评析:(2)问中因等号不能取到,所以考虑使用函数单调性,由此提醒我们时刻注意三个条件,在变形时拆分项及配凑因式是常用的方法13某厂为适应市场需求,投入98万元引进世界先进设备,并马上投入生产,第一年需各种费用12万元,从
6、第二年开始,每年所需费用会比上一年增加4万元而每年因引入该设备可获得年利润为50万元请你根据以上数据,解决以下问题:(1)引进该设备多少年后,开始盈利?(2)引进该设备若干年后,有两种处理方案:第一种:年平均利润达到最大值时,以26万元的价格卖出第二种:盈利总额达到最大值时,以8万元的价格卖出问哪种方案较为合算?解:开始盈利就是指所获利润大于投资总数,据此建立不等式求解;所谓方案最合理,就是指卖出设备时的年平均利润较大,因此只需将两种方案的年平均利润分别求出,进行比较即可(1)设引进该设备x年后开始盈利盈利额为y万元则y50x982x240x98,令y0,得10x10,xN*,3x17.即引进
7、该设备三年后开始盈利;(2)第一种:年平均盈利为,2x4024012,当且仅当2x,即x7时,年平均利润最大,共盈利12726110万元第二种:盈利总额y2(x10)2102,当x10时,取得最大值102,即经过10年盈利总额最大,共计盈利1028110万元两种方案获利相等,但由于方案二时间长,所以采用方案一合算评析:用基本不等式解决实际问题时,一般都是求某个量的最值,这时,先把要求最值的量表示为某个变量的函数,再利用基本不等式求该函数的最值,求最值时,仍要满足前面所说的三个求最值的要求有些实际问题中,要求最值的量需要用几个变量表示,同时,这几个变量满足某个关系式,这时,问题变成了一个条件最值,可用前面的求条件最值的方法求最值.w。w-w*k&s%5¥u高考资源网w。w-w*k&s%5¥u