1、巩固层知识整合提升层题型探究函数的概念及表示法函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，它是两个非空数集间的映射，它要求任给一个自变量的值，都有唯一的函数值与之对应，可由此判断在某种对应关系f的作用下，从非空数集A到非空数集B的对应是否是函数函数的表示方法主要有列表法、图像法、解析法在解决问题时，面对不同的需要，选择恰当的方法表示函数是非常重要的函数的图像是变量间关系的直观反映，能较形象地分析出变量间的变化趋势函数图像广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题有直观、明了、易懂的优点，在历届高考试题中，常出现有关函数图像和利用图像解题的试题【例1】已知函数f(x)的定义域为1,3，在同一坐标系下，
2、函数yf(x)的图像与直线x1的交点个数为()A0B1C2D0或1Bf(x)的定义域为1,3，而11,3，点(1，f(1)在函数yf(x)的图像上，又在直线x1上根据函数的定义知，函数是一种特殊的对应，即对于定义域1,3中的任意一个元素，在其值域中有唯一确定的元素与之对应，故直线x1与yf(x)的图像有且只有一个交点函数的定义域与值域1.函数的定义域分为“自然定义域”和“实际定义域”两种，如果给定函数的解析式(不注明定义域)，其定义域应指的是：该解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域)；如果函数是由实际问题确定的，这时应根据自变量的实际意义确定其取值范围复合函数的定义域fg(x)是由内
3、函数g(x)的定义域A、值域B和外函数f(t)的定义域C共同确定的，即使BC的tg(x)的自变量x的取值集合D与A的交集即为yfg(x)的定义域需要注意的是复合函数的定义域是自变量x的取值集合，而不是中间变量tg(x)的取值集合2.在函数概念的三要素中，值域是由定义域和对应关系所确定的，因此，在研究函数值域时，既要重视对应关系的作用，又要特别注意定义域对值域的制约作用函数的定义域和值域应写成区间或集合的形式【例2】设f(x)g(x)是二次函数，若fg(x)的值域是0，)，则g(x)的值域是()A(，11，)B(，10，)C0，)D1，)思路探究对于复合函数fg(x)，要分清函数的复合过程及变量
4、间的相关关系，设ug(x)，则g(x)的值域恰好是f(u)的定义域C作出函数f(x)的图像如下设ug(x)，则fg(x)f(u)，要使f(u)的值域是0，)，则u可取(，10，)又g(x)是二次函数，定义域连续，故g(x)的值域不可能同时取(，1，0，)，结合选项只能选C.函数的性质及应用研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的需要，也是数学本身的自然要求其中，单调性是在某个区间上刻画函数值随自变量的变化而变化的趋势；奇偶性是从整个定义域内反映函数的对称性质对函数的这两个性质，不仅会从图像上直观感知，还要能利用它们解决有关函数问题【例3】已知函数f(x)是奇函数，且f(2).(1)求实数a，b的
5、值；(2)判断函数f(x)在(，1上的单调性，并加以证明思路探究本题主要考查单调性与奇偶性的定义解(1)f(x)是奇函数，f(x)f(x)，因此bb，即b0.又f(2)，a2.即实数a和b的值分别是2和0.(2)由(1)知f(x)，f(x)在(，1上为增函数，证明：设x10，yf(x2)f(x1)(x2x1)(x2x1).x10，x1x21，y0，f(x)在(，1上为增函数.闭区间上二次函数的最值问题含参数的二次函数在闭区间上的最值问题，主要题型分三类：曲线定，区间定；曲线定，区间动；曲线动，区间定在解决此类问题时必须考虑以下几个方面：开口方向；对称轴与区间关系：函数在区间端点的函数值对于二次
6、函数f(x)ax2bxc(a0)在某个区间m，n上的最值问题主要是通过对区间与对称轴的相对位置进行讨论，使最值问题获得解决在讨论中可画草图帮助分析【例4】求f(x)x22ax1在0,2上的最大值M(a)和最小值m(a)的表达式思路探究求闭区间上二次函数的最值，可借助二次函数的图像，从闭区间与对称轴的位置关系上讨论，一般分区间在对称轴左侧、右侧和包含对称轴进行讨论解f(x)(xa)2a21，x0,2，顶点是(a，a21)，二次项系数为正，图像开口向上，对称轴为xa.由f(x)在顶点左边(即xa)单调递减，在顶点右边(即xa)单调递增，所以f(x)图像的对称轴xa与闭区间0,2的位置关系(求两种最
7、值)分4种情况求解如图中抛物线的实线部分图图图图在图中，当a0时，f(x)在0,2上单调递增，所以M(a)f(2)4a3，m(a)f(0)1.在图中，当0a2，且f(0)f(2)，即0a1时，f(x)在a,2上单调递增，所以M(a)f(2)4a3，m(a)f(a)a21.在图中，即12时，f(x)在0,2上单调递减，所以M(a)f(0)1，m(a)f(2)4a3.综上可知，f(x)在0,2上的最大值与最小值分别为M(a)m(a)本章中的数学思想方法1.函数与方程思想函数与方程是高中数学的主线，它用运动、变化的观点研究、描述客观世界中相互关联的量之间的依存关系函数与方程思想以函数知识为基础，用运
8、动、变化的观点分析和研究数学对象的数量关系，丰富了数学解题活动，使数学解题有很大的创新【例5】已知函数f(x)x22xa与x轴交于A(m,0)，B(n,0)两点，试求(mn3)22(mn)的范围思路探究本题中已知f(x)与x轴的两个交点，因此m，n是方程x22xa0的两根，然后由根与系数的关系将所求代数式的范围转化为求关于a的二次三项式的范围即可解由题意可知，m，n是方程x22xa0的两个不同实根，44a0，a1.由根与系数的关系得(mn3)22(mn)(a3)24，a8，(mn3)22(mn)8.2.数形结合思想数形结合思想是重要的数学思想方法，它把数学关系的精确刻画与几何图形的直观形象有机
9、地结合起来，从而充分暴露问题的条件与结论之间的内在联系，将问题转化为熟悉的问题来解决数形结合常用于解方程、不等式，求函数值域等问题中【例6】函数yx23x4的定义域为0，m，值域为，则m的取值范围是_把所给函数配方，得y，结合图像分析易知m.3.赋值思想对于有些抽象函数，往往利用赋值法可得其性质，将复杂问题简单化抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是高中数学中的一个难点，高考中经常出现关于抽象函数的试题因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开抽象函数问题一般是由所给的性质，讨论函数的单调性、奇偶性、图像的对称性，或是求函数值、解析式等主要处理方法是“赋值
10、法”，通常是抓住函数特性，特别是定义域上恒等式，利用变量代换解题【例7】已知函数f(x)的定义域是xR|x0，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当x1时f(x)0，f(2)1.(1)求证：f(x)是偶函数；(2)f(x)在(0，)上是增函数；(3)解不等式f(2x21)x10，则f(x2)f(x1)ff(x1)f(x1)ff(x1)f.x2x10，1，f0，即f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)，f(x)在(0，)上是增函数(3)f(2)1，f(4)f(2)f(2)2，f(x)是偶函数，不等式f(2x21)2可化为f(|2x21|)f(4)，又函数在(
11、0，)上是增函数，|2x21|4，且2x210，即42x214，且2x21，解得x，且x，即不等式的解集为.4.分类讨论思想当某些数学问题含有参数时，常常运用分类讨论的思想，把问题转化为小问题一一解决分类讨论相当于增加了具体的条件，使思路更加开阔分类标准视具体情形确定，但要遵循“不重复、不遗漏”的原则进行分类【例8】已知函数f(x)x2(x0，常数aR)，讨论函数f(x)的奇偶性并说明理由解当a0时，f(x)x2，对任意x(，0)(0，)，f(x)(x)2x2f(x)，f(x)为偶函数当a0时，f(x)x2(a0，x0)，取x1，得f(1)f(1)20，f(1)f(1)2a0，f(1)f(1)
12、，f(1)f(1)函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数5待定系数法一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫作待定系数法【例9】设f(x)为定义在R上的偶函数，当x1时，yf(x)的图像是经过点(1,1)、(2,0)的射线又在yf(x)的图像中有一部分是顶点在(0,2)，且过点(1,1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并作出其图像解当x1时，设f(x)kxb，则由即得f(x)x2；当1x1时，设f(x)ax22，则由1a(1)22，即a1，得f(x)x22；当x1时，x1，又f(x)在定义域R上为偶函数，则f(x)x2f(x)f(x)x2.故f(x)