1、1六安一中 2020 届高三年级自测试卷文科数学（二）命题人：考试范围：立体几何 考试时间：120 分钟一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，沿 AC 将三角形 ABC 折起，得到的四面体 ABCD 的体积的最大值为（）A 43B125C 245D52若圆台两底面周长的比是 14，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是()A 12B 14C1D 391293设 m、n 是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列四个命题：若m，/n ，则mn；若/，m，则m；若/m
2、 ，/n ，则/m n；若m，则/m .其中真命题的序号为（）A和B和C和D和4一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45，腰和上底均为 1 的等腰梯形，则原平面图形的面积为（）A212B122+C22D125如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 2 的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（）A 4B 54CD 326已知三棱锥 PABC中，PA 平面 ABC，23ABC，4PA，若三棱锥 PABC外接球的表面积为32，则直线 PC 与平面 ABC 所成角的正弦值为（）A77B66C 2 77D 2727如图，长方体1111ABCDA B C D中，4ABBC
3、，12 2BB，点 E，F，M 分别为11A B，11A D，11B C 的中点，过点 M 的平面 与平面 AEF 平行，且与长方体的面相交，则交线围成的几何图形的面积为（）A6 5B6 6C12D248如图，矩形 ABCD 的边,2ABa BC，PA 平面 ABCD，2PA，当在 BC 边上存在点Q，使 PQQD时，则实数 a 的范围是（）A0,1B(0,2C1,D2,9下列四个命题：任意两条直线都可以确定一个平面；若两个平面有 3 个不同的公共点，则这两个平面重合；直线 a、b、c，若 a 与 b 共面，b 与 c 共面，则 a 与 c 共面；若直线 l 上有一点在平面 外，则 l 在平面
4、 外，其中真命题的个数是（）A1B2C3D410如图，已知三棱锥VABC，点 P 是VA的中点，且2AC，4VB，过点 P 作一个截面，使截面平行于VB 和 AC，则截面的周长为（）A12B10C8D611九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（米堆所成的几何体的三视图如图所示）.米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.6 立方尺，圆周率3，估算出堆放的米约有（）A20 斛B21 斛C22 斛D23 斛12如图，正方体
5、1111ABCDA B C D的棱长为 1，线段11B D 上有两个动点 E、F，且12EF，则下列结论中错误的是（）3A ACBEB/EFABCD平面C三棱锥 ABEF的体积为定值D AEFBEF的面积与的面积相等二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分.13已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，5,PABC13,PBAC2 5PCAB，则球 O 的表面积为_.14如图，已知正方体1111ABCDA B C D的棱长为 2，E、F、G 分别为11,ABADB C 的中点，给出下列命题：异面直线 EF 与 AG 所成的角的余弦值为26；过点 E、F、G 作正方体的截面，所
6、得的截面的面积是4 3；1AC 平面 EFG三棱锥CEFG的体积为 1其中正确的命题是_（填写所有正确的序号）15已知正方体1111ABCDA B C D棱长为 1，动点 P 在此正方体的表面上运动，且03PArr，记点 P 的轨迹长度为 f r，则关于 r 的方程 32f r的解集为16已知ACB=90，P 为平面 ABC 外一点，PC=2，点 P 到ACB 两边 AC，BC 的距离均为 3，那么 P 到平面 ABC 的距离为_三、解答题:解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤，17（本小题满分 10 分）如图，三棱锥 D-ABC 中，2,ABAC2 3,BC 3DBDC，E，F 分别为 D
7、B，AB 的中点，且90EFC.（1）求证：平面 DAB 平面 ABC；（2）求点 D 到平面 CEF 的距离.18（本小题满分 12 分）如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，四边形 AA1B1B 为矩形，平面 AA1B1B平面 ABC，点 E，F 分别是侧面 AA1B1B，BB1C1C 对角线的交点（1）求证：EF平面 ABC；（2）BB1AC419（本小题满分 12 分）如图，在四面体 PABC 中，,PCAB PABC点,D E F G 分别是棱,AP AC BC PB 的中点（1）求证：DE 平面 BCP；（2）求证：四边形 DEFG 为矩形；（3）是否存在点Q，到四面体 PAB
8、C 六条棱的中点的距离相等？说明理由20（本小题满分 12 分）图 1 是由矩形,ADEB Rt ABC和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中1,2ABBEBF，60FBC，将其沿,AB BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2.（1）证明图 2 中的,A C G D四点共面，且平面 ABC 平面 BCGE；（2）求图 2 中的四边形 ACGD 的面积.21（本小题满分 12 分）如图，在空间四边形 ABCD 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，,G H 分别在,BC CD 上，且:1:2BG GCDH HC.（1）求证：,E F G H 四点共面；（2）设 EG
9、与 FH 交于点 P，求证：,P A C 三点共线.22（本小题满分 12 分）在如图所示的多面体中，四边形11ABB A 和11ACC A 都为矩形（1）若 ACBC，证明：直线 BC 平面11ACC A；（2）设 D，E 分别是线段 BC，1CC 的中点，在线段 AB 上是否存在一点 M，使直线/DE平面1A MC？请证明你的结论5六安一中 2020 届高三年级自测试卷文科数学（二）参考答案1C【解析】矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，沿 AC 将三角形 ABC 折起，当平面 ABC平面 ACD时，得到的四面体 ABCD的体积取最大值，此时点 B 到平面 ACD 的距离4 31251
10、69ABBCdAC，所以14 362ADCS，四面体 ABCD 的体积的最大值为：11122463355ADCVSd,故选 C.2D【解析】由题意设上、下底面半径分别为 r、4r,截面半径为 x,圆台的高为 2h,则有15,322xrxrr则VV上下2222139311294163h rrxxh xrxr.本题选择 D 选项.3A【解析】对于命题，若/n ，过直线 n 作平面 ，使得a，则/a n，m，a，ma，mn，命题正确；对于命题，对于命题，若/，m，则m，命题正确；对于命题，若/m ，/n ，则 m 与 n 相交、平行或异面，命题错误；对于命题，若 m，则 m或/m ，命题错误.故选：
11、A.4C【解析】根据平面图形的斜二测直观图的画法，作出图形原来的平面图形图形，如图所示图 1 平面图形的斜二测直观图，图 2 为图形原来的平面图形.根据平面图形的斜二测直观图的画法,则原来的平面图形 2 为直角梯形，且上底是 1，下底是1+2，高是 2，它的面积是1+1+22=2+22.故选：C5A【解析】由三视图可知该几何体是底面半径为 1 高为 2 的圆柱，该几何体的侧面积为2124，故选：A6C【解析】如图所示，设1O 为 ABC的外心，O 为三棱锥 PABC外接球的球心，由 PA 平面 ABC，1OO 平面 ABC，知1PAOO，取 PA 的中点 D，由三棱锥 PABC外接球的表面积为
12、 32，得2 2OPOA，知四边形1DAOO 为矩形，又4PA，所以12DAOO，6ABC外接圆的半径为122(2 2)22rAO，在 ABC中，由 2sinACrABC，得22 sin1202 3AC，2 7PC，由 PA 平面 ABC，所以PCA是直线 PC 与平面ABC 所成的角，2 7sin7PAPCAPC.故选：C.7A【解析】取11C D 中点 N，连11,MN BM BD DN B D，点 E，F，M 分别为11A B，11A D，11B C 的中点，11111/,2EFMNB D EFMNB D由长方体111,/,/ACBDB DMNBD，,MN BD确定平面 MNDB，/,E
13、FMN EF 平面MNDB，MN 平面 MNDB，/EF平面 MNDB，同理可证/AF平面 MNDB，,EFAFF EF AF平面 AEF，平面/AEF平面 MNDB，平面 MNDB 即为所求的平面，11112 2,2 322MNB DBDBMDN，平面 与长方体交线围成的图形是等边梯形 MNDB 等腰梯形的高为 12210，面积为 1(2 24 2)106 52.故选:A8A【解析】因为 PA 平面 ABCD，QD 平面 ABCD，所以 PAQD，又 PQQD，PQPAP，从而QD 平面 PAQ.因为 AQ 平面 PAQ，故 AQQD.故在平面ABCD 中，Q 在以 AD 为直径的圆上，所以
14、12BCAB 即01a.故选：A.9A【解析】在中，两条异面直线不能确定一个平面，故错误；在中，若两个平面有 3 个不共线的公共点，则这两个平面重合，若两个平面有 3 个共线的公共点，则这两个平面相交，故错误；在中，直线 a，b，c，若 a 与 b 共面，b 与 c 共面，则 a 与 c 不一定共面，如四面体 SABC 中，SA 与 AB 共面，AB 与 BC 共面，但 SA 与 BC 异面，故错误；在中，若直线 l 上有一点在平面外，则由直线与平面的位置关系得 l 在平面外，故正确故选：C710D【解析】如图所示，设 AB、BC、VC 的中点分别为 D,E,F，连接 PD,DE,EF,PF.
15、由题得PD|VB,DE|AC,因为,PD DE 平面 DEFP,VB,AC 不在平面 DEFP 内，所以 VB|平面DEFP,AC|平面 DEFP,所以截面 DEFP 就是所作的平面.由于11|,|,22PD VB EF VB PDVB EFVB,所以四边形 DEFP 是平行四边形，因为VB=4,AC=2,所以 PD=FE=2,DE=PF=1,所以截面 DEFP 的周长为 2+2+1+1=6.故选：D11C【解析】由题得该米堆为四分之一的圆锥.故体积118320853292V 立方尺.即 3202001.62299斛.故选：C12D【解析】可证11ACD DBBACBE平面，从而，故 A 正确
16、；由平面 ABCD，可知/EFABCD平面，B 也正确；连结 BD 交 AC 于 O，则 AO 为三棱锥 ABEF的高，三棱锥 ABEF的体积为为定值，C 正确；D 错误。选 D。1329【解析】如图所示，将三棱锥 PABC补成长方体，球O 为长方体的外接球，边长分别为 a，b，c，则222222251320abacbc，所以22229abc，所以292R，则球O 的表面积为24SR22942 29.故答案为：29.14【解析】取11C D 的中点为点 H，连接 GH、AH，如图 1 所示，因为/EF GH,所以AGH就是异面直线 EF 与 AG 所成的角 易知在 AGH中，3,2AGAHGH
17、，所以8222cos36AGH，正确；图 1图 2图 3矩形 EFGH 即为过点 E、F、G 所得正方体的截面，如图 2 所示，易知2,6EFEG,所以262 3EFGHS，错误；分别以 DA、DC、DD1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图 3 所示直角坐标系,则(2,0,2),(2,1,0),AE(1,0,0),(1,2,2)FG，1(2,2,2),(1,1,0),(1,1,2)ACFEEG ，因为110,0AC FEAC EG ，所以11,ACEF ACEG，又 EF 平面 EFG，EG 平面 EFG 且 EFEGE，所以1AC 平面 EFG，故正确134(1 1 1 2 1 2)22E
18、FCS ，1113G ECFEFCVSC C，正确.故答案为：151,2【解析】解：P 的轨迹为以 A 为球心，PA 为半径的球面与正方体的交线当01r 时，133242f rrr，当1,2r 时，轨迹长度由减小到增加;之后逐渐减小，由于 3122ff，关于 r 的方程 32f r的解集为1,2，故答案为1,2 162.【解析】作,PD PE 分别垂直于,AC BC，PO 平面 ABC，连 CO，知,CDPD CDPO，=PDOD P，CD 平面 PDO，OD 平面 PDO，CDOD3PDPE，2PC 3sinsin2PCEPCD，60PCBPCA，POCO，CO 为ACB平分线，451,2O
19、CDODCDOC，又2PC，422PO917（1）证明见解析；（2）217.【详解】（1）如图，取 BC 的中点 G，连接 AG，DG，因为2ABAC，所以 BCAG，因为 DBDC，所以 BCDG，又因为 AGDGG，所以 BC 平面 DAG，所以 BCDA.因为 E，F 分别为 DB，AB 的中点，所以 DAEF.因为90EFC，即 EFCF，则 DACF.又因为 BCCFC，所以 DA 平面 ABC，又因为 DA 平面 DAB，所以平面 DAB 平面 ABC.（2）因为点 E 为 DB 的中点，所以点 D 到平面 CEF 的距离等于点 B 到平面 CEF 的距离.设点 D 到平面 CEF
20、 的距离为 h，因为B CEFE BCFVV，又因为 EF 平面 ABC，所以 1133CEFBCFShSEF，在ABC中，222cos2ABACBCBACAB AC44 122 2 2 12.所以120BAC，在 ACF中，2,AC 1,AF 120CAF，所以14 1 2 2 172CF ，又因为22DADCAC22325,12EFDA52，所以15357224CEFS，而1132 2222BCFS 32，则 13534h135322217h.所以点 D 到平面 CEF 的距离为217.18（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）三棱柱111ABCA B C，四边形11AA B B，四边形
21、11BB C C 均为平行四边形10（2）四边形11AA B B 为矩形1BBAB，平面 ABC，AC 平面 ABC1BBAC19证明：（）因为 D，E 分别为 AP，AC 的中点，所以 DE/PC又因为 DE平面 BCP，所以DE/平面 BCP（）因为 D，E，F，G 分别为 AP，AC，BC，PB 的中点，所以 DE/PC/FG，DG/AB/EF所以四边形 DEFG 为平行四边形，又因为 PCAB，所以 DEDG，所以四边形 DEFG 为矩形（）存在点 Q 满足条件，理由如下：连接 DF，EG，设 Q 为 EG 的中点由（）知，DFEG=Q，且 QD=QE=QF=QG=EG.分别取 PC，
22、AB 的中点 M，N，连接 ME，EN，NG，MG，MN与（）同理，可证四边形 MENG 为矩形，其对角线点为 EG 的中点 Q，且 QM=QN=EG，所以 Q 为满足条件的点.20(1)见详解；(2)4.【详解】(1)证：/ADBE，/BFCG，又因为 E 和 F 粘在一起./ADCG，A，C，G，D 四点共面.又,ABBE ABBC.AB 平面 BCGE，AB 平面 ABC，平面 ABC 平面 BCGE，得证.(2)取 CG 的中点 M，连结,EM DM.因为/ABDE，AB 平面 BCGE，所以 DE 平面 BCGE，故 DECG，由已知，四边形 BCGE 是菱形，且60EBC 得 EM
23、CG，故CG 平面 DEM因此 DMCG在 RtDEM中，DE=1，3EM，故2DM 所以四边形 ACGD 的面积为 4.21证明：（1）因为,E F 分别为,AB AD 的中点，所以 EFBD.在 BCD中，BGDHGCHC，所以GHBD，所以 EFGH.所以,E F G H 四点共面.（2）因为 EGFHP，所以 PEG，又因为 EG 平面 ABC，所以 P平面 ABC，同理 P平面 ADC，所以 P 为平面 ABC 与平面 ADC 的一个公共点.又平面 ABC 平面 ADCAC.所以 PAC，所以,P A C 三点共线.22（1）证明详见解析；（2）存在，M 为线段 AB 的中点时，直线
24、 DE 平面1A MC.11（）因为四边形11ABB A 和11ACC A 都是矩形，所以11,AAAB AAAC.因为 AB，AC 为平面 ABC 内的两条相交直线，所以1AA 平面 ABC.因为直线 BC 平面 ABC 内，所以1AABC.又由已知，1,ACBC AA AC为平面11ACC A 内的两条相交直线，所以，BC 平面11ACC A.（2）取线段 AB 的中点 M，连接111,A M MC AC AC，设 O 为11,AC AC 的交点.由已知，O 为1AC 的中点.连接 MD，OE，则 MD，OE 分别为的中位线.所以，11,22MDAC OEACMD OE，连接 OM，从而四边形 MDEO 为平行四边形，则 DEMO.因为直线 DE 平面1A MC，MO 平面1A MC，所以直线 DE 平面1A MC.即线段 AB 上存在一点 M（线段 AB 的中点），使得直线 DE 平面1A MC.
