1、函数的基本性质(二)基础知识：函数的周期性如果函数yf(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(xT)f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期.一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(kN)也是f(x)的周期.关于函数的周期性，请参考陕西师范大学高中数学竞赛辅导(刘诗雄主编)例题：1 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm)f(x),求证:2m是f(x)的一个周期.证明：因为f(xm)f(x)所以，f(x2m)f(xm)m f(xm) f(x)所以f(x)是以2m为周期的周期函数.2 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm)f(xm),求
2、证:2m是f(x)的一个周期.证明：因为f(xm)f(xm)令xmt，则xmt2m于是f(t2m)f(t)对于tR恒成立，所以f(x)是以2m为周期的周期函数.3 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm),求证:2m是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x2m)f(xm)m f(x)所以f(x)是以2m为周期的周期函数.4 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm),求证:4m是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x2m)f(xm)m 于是f(x4m)f(x)所以f(x)是以4m为周期的周期函数.5 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(ax)f(ax)且f(bx)f(bx),求证:2|
3、ab|是f(x)的一个周期.(ab)证明：不妨设ab于是f(x2(ab)f(a(xa2b) f(a(xa2b) f(2bx) f(b(xb) f(b(xb) f(x) 2(ab)是f(x)的一个周期当ab时同理可得所以，2|ab|是f(x)的周期6 已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)f(x1)f(x1)若f(0)2004，求f(2004)解：因为f(x)f(x1)f(x1)所以f(x1)f(x)f(x2)两式相加得0f(x1)f(x2)即：f(x3)f(x) f(x6)f(x)f(x)是以6为周期的周期函数20046334 f(2004)f(0)20047 已知对于任
4、意a，bR，有f(ab)f(ab)2f(a)f(b)，且f(x)0求证：f(x)是偶函数；若存在正整数m使得f(m)0，求满足f(xT)f(x)的一个T值(T0)证明：令ab0得，f(0)1(f(0)0舍去)又令a0，得f(b)f(b)，即f(x)f(x)所以，f(x)为偶函数令axm，bm得f(x2m)f(x)2f(xm)f(m)0所以f(x2m)f(x)于是f(x4m)f(x2m)2m f(x2m) f(x)即T4m(周期函数)8 数列an中，a1a，a2b，且an2an1an(nN)求a100；求S100.解：由已知a1a，a2b，所以a3ba，a4a，a5b，a6ab，a7a，a8b，
5、由此可知，an是以6为周期的周期数列，于是a100a6164a4a又注意到a1a2a3a4a5a60 S100a1a2a3a96a97a98a99a100 0a97a98a99a100 a1a2a3a4 ab(ba)(a) 2ba9 对每一个实数对x,y,函数f(t)满足f(xy)f(x)f(y)xy1,若f(2)=2,试求满足f(a)a的所有整数a.解：令xy0，得f(0)1再令xy1，得f(2)2f(1)2，又f(2)2所以f(1)2又令x1，y1，可得f1令xy1得f2f114令y1，得f(x1)f(x)x2即f(x1)f(x)x2 当x取任意正整数时，f(x1)f(x)0又f10所以f
6、(x)0于是f(x1)f(x)x2x1即对任意大于1的正整数t，f(t)t在中，令x3，得f(3)1，进一步可得f(4)1注意到f(x)f(x1)(x2)所以当x4时，f(x)f(x1)0即f(x)f(x1)f(x2)f(4)1所以x4时，f(x)x综上所述，满足f(a)a的整数只有a1或a210 设f(x)是一个从实数集R到R的一个映射,对于任意的实数x,都有|f(x)|1,并且f(x)+,求证:f(x)是周期函数.证明：由已知f(x)+所以 即 同理有即 由 于是f(x1)f(x)f(x2)f(x1)，记这个差为d同理f(x3)f(x2)f(x2)f(x1)d f(xn1)f(xn)f(x
7、n)f(xn1) f(x1)f(x)d即是说数列f(xn)是一个以f(x)为首项，d为公差的等差数列因此f(xn)f(x)ndf(x)nf(x1)f(x)对所有的自然数n成立，而对于xR，|f(x)|1，即f(x)有界，故只有f(x1)f(x)0即f(x1)f(x) xR所以f(x)是周期为1的周期函数.习题:1. 函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)3，对任意的xR，均有f(x4)f(x)f，求f(2001)的值.2. 设f(x)是定义在实数集上的以2为周期的周期函数，且是偶函数，当x2，3时，f(x)x，那么，当x2，0时，求f(x)的解析式.3. 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm),求证:2m是f(x)的一个周期.4. 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm)(其中:a,b,cR,且a2bc0),求证:2m是f(x)的一个周期.5. 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(mx)f(mx)，且f(x)是偶函数,求证:2m是f(x)的一个周期.6. 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(mx)f(mx)，且f(x)是奇函数,求证:4m是f(x)的一个周期.