1、9.2.3向量的数量积【考点梳理】考点一两向量的夹角与垂直1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作a，b，则AOB(0)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当0时，a与b同向；当时，a与b反向.2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作ab.考点二向量数量积的定义非零向量a，b的夹角为，数量|a|b|cos 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.考点三投影向量在平面内任取一点O，作a，b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为
2、，则与e，a，之间的关系为|a|cos e.考点四平面向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为，e是与b方向相同的单位向量.则(1)aeea|a|cos .(2)abab0.(3)当ab时，ab特别地，aa|a|2或|a|.(4)|ab|a|b|.考点五平面向量数量积的运算律1.abba(交换律).2.(a)b(ab)a(b)(数乘结合律).3.(ab)cacbc(分配律).【题型归纳】题型一：向量的数量积的定义和几何意义1（2022高一课）已知，向量在方向上投影向量是，则为（）A12B8C-8D22（2022春江苏宿迁高一沭阳县修远中学校考期末）已知向量，在方向上的投影向量为，
3、则（）A4B8CD3（2022春湖南衡阳高一统考期末）若，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为（）ABC2D4题型二：数量积的运算4（2023高一）下列式子中，正确的是（）AB若，则C若，则D5（2022高一）已知平面向量均为非零向量，则下列结论正确的是（）A若，则BC若，则D若，则6（2022春江苏南通高一金沙中学校考期末）如图，矩形内放置5个边长均为1的小正方形，其中，在矩形的边上，且为的中点，则（）ABC5D7题型三：数量积和模关系问题7（2022春吉林长春高一长春市实验中学校考阶段练习）已知，则（）AB2CD48（2022春云南保山高一统考期末）向量，的夹角为120，且，则等于（
4、）A2BCD9（2022春内蒙古呼伦贝尔高一校考期末）已知向量，满足，则向量，的夹角为（）ABCD题型四：向量夹角的计算10（2022春陕西渭南高一校考期末）已知，则与的夹角是（）A30B60C120D15011（2022春广西高一校考期中）已知平面向量，满足，则（）ABCD12（2022春江苏苏州高一统考期中）已知平面向量，满足，则向量与的夹角为（）ABCD题型五：垂直关系的向量表示13（2022春陕西商洛高一统考期末）已知向量满足，则的最大值为（）ABCD14（2022春北京高一北京二中校考阶段练习）已知非零向量与满足，且，则与的夹角为（）ABCD15（2022春陕西榆林高一榆林市第一中学
5、校考期中）已知向量，的夹角为，且，则（）ABCD题型六：已知模求参数或数量积问题16（2022春贵州黔西高一统考期末）已知向量是非零向量，、，则“”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件17（2022春全国高一期末）已知，点在线段上，且的最小值为，则（）的最小值为（）ABC2D18（2022春山西朔州高一校考阶段练习）已知向量满足：，若，的最大值和最小值分别为，则等于（）ABCD题型七：数量积的综合问题19（2023高一单元测试）已知，与的夹角为求：(1)；(2)；(3)20（2022春上海普陀高一曹杨二中校考期中）已知，(1)求；(2)求的值21（202
6、2秋江苏盐城高一滨海县五汛中学校）如图，在矩形中，点在边上，且，是线段上一动点(1)若是线段的中点，求的值；(2)若，求解.【双基达标】一、单选题22（2023高一课时练习）已知两个非零向量、满足，则（）ABCD23（2023秋北京西城高一统考期末）正方形的边长为1，则（）A1B3CD24（2022秋河南洛阳高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知向量，是两个单位向量，则“”为锐角是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件25（2022春安徽淮南高一淮南市第五中学校考阶段练习）已知向量，则（）ABC5D2526（2022高一单元测试）己知为的外接圆圆心，若
7、，则向量在方向上的投影向量为（）ABCD27（2022春广东江门高一台山市华侨中学校考期中）已知平面向量，且与的夹角为(1)求(2)若与垂直，求k的值28（2022春上海浦东新高一校考期末）已知向量的夹角为，且，设，.(1)求；(2)试用来表示的值；(3)若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围.【高分突破】一、单选题29（2022高一课时练习）八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2中的正八边形，其中，给出下列结论：与的夹角为；向量在向量上的投影向量为（其中是与同向的单位向量）.其中正确结论的个数为（）A1B2C3D430（2022春河南濮阳高一统考期中）在中，是的中点，
8、点在上且满足，则等于（）ABCD31（2021春上海普陀高一曹杨二中校考阶段练习）已知向量，对任意的，恒有，则（）ABCD32（2022春山西吕梁高一统考期末）易经是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是易经中记载的几何图形八卦图图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点P是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（）ABCD33（2022春辽宁高一校联考期末）已知函数，图象上每一点横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，的部分图象如图所示，若，则等于（）ABCD二、多选题34（2022春山东聊城高一山东聊城一中校考期
9、中）下列说法中正确的有（）A已知在上的投影向量为且，则；B已知，且与夹角为锐角，则的取值范围是；C若非零向量满足，则与的夹角是.D在中，若，则为锐角；35（2022春湖北十堰高一丹江口市第一中学校联考阶段练习）边长为2的等边中，为的中点.下列正确的是（）ABCD36（2022秋江苏盐城高一滨海县五汛中学校考阶段练习）已知非零平面向量，则说法正确的是（）A存在唯一的实数对，使B若，则CD若，则37（2022高一课时练习）设均为单位向量，对任意的实数有恒成立，则（）A与的夹角为BC的最小值为D的最小值为38（2022高一课时练习）向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研
10、究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，则（）AB与的夹角为CD在上的投影向量为39（2022春山东临沂高一校考阶段练习）已知非零平面向量满足，其中.若，则的值可能为（）A BCD三、填空题40（2023高一单元测试）已知为单位向量，而在方向上的数量投影为2，则_41（2023高一课时练习）给出以下结论：；或；其中正确的序号是_42（2023高一课时练习）已知，若，则_43（2022春湖北襄阳高一襄阳五中校考阶段练习）已知非零向量满足，且，则_44（2022春上海浦东新高一上海市川沙中学校考期中）已知平面向量满足，则的最大值是_.四、解答题45（2022春吉林白城高一校考期末）已知非零向量
11、与满足，且(1)若，求向量的夹角.(2)在（1）的条件下，求的值.46（2022春重庆铜梁高一统考期末）已知向量满足：，(1)若，求在方向上的投影向量；(2)求的最小值47（2022春四川绵阳高一统考期末）已知平面向量满足，且(1)求与的夹角；(2)求向量在向量上的投影48（2021春山东高一阶段练习）在中，a、b、c分别为角A，B，C的对边，平面内点O满足，且(1)证明：点O为三角形的外心；(2)求的取值范围49（2022春山西晋中高一校考期末）已知向量满足.(1)求关于的解析式；(2)求向量与夹角的最大值；(3)若与平行，且方向相同，试求的值.10原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
12、【答案详解】1A【分析】由投影向量和数量积的定义即可得出结论.【详解】在方向上投影向量为，.故选：A2C【分析】根据投影向量与投影之间的关系可知在方向上的投影为，进而根据数量积的几何意义即可求解.【详解】由得，根据在方向上的投影向量为，可知在方向上的投影为，故根据数量积的几何意义，等于与在方向上的投影的乘积，故，故选：C3C【分析】利用在的方向上的投影即可求得在的方向上的投影向量的模长【详解】，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为故选：C4C【分析】根据向量数量积的运算，向量垂直与数量积的关系等知识逐项进项检验即可求解.【详解】对于，因为 ，当共线时，才有，故选项错误；对于，若且时，则，
13、而不一定相等，故选项错误；对于，因为，所以，即，所以，故选项正确；对于，故选项错误，故选：.5A【分析】由共线向量、相等向量、向量的数量积依次判断4个选项即可.【详解】对于A，由可得同向，又分别表示方向上的单位向量，故，A正确；对于B，两者不一定相等，B错误；对于C，只能得到模长相等，方向不确定，C错误；对于D，当，时，成立，但不成立，D错误.故选：A.6D【分析】由题图，利用向量数乘、加法的几何意义，结合向量数量积的运算律求目标式的值.【详解】由题图知：，所以，由，故.故选：D7B【分析】由数量积的运算性质计算即可得解.【详解】因为，所以，故选：B8D【分析】根据数量积的定义求出，再根据及数
14、量积的运算律计算可得.【详解】解：因为的夹角为120，且，所以，所以.故选：D9C【分析】对等式两边平方即可求得夹角.【详解】，即，即，又，解得，所以.故选：C10C【分析】利用向量夹角余弦公式进行求解.【详解】，因为，所以，与的夹角是120.故选：C11A【分析】利用向量垂直的性质、向量的模长公式以及夹角公式求解.【详解】因为，所以，又，所以，所以，故B，C，D错误.故选：A.12C【分析】根据数量积的运算律求出，再根据夹角公式计算可得；【详解】解：因为，所以，所以，设向量与的夹角为，则，因为，所以；故选：C13A【分析】化简可得，进而根据数量积的性质得，从而得到的最大值【详解】，因为，所以
15、，所以.又，所以，当且仅当与反向时，等号成立，所以的最大值为36+6.故选：A14C【分析】根据向量垂直的条件及向量的夹角公式即可求解.【详解】由，得，即，又，所以，因为，所以,所以与的夹角为.故选：C.15C【分析】先利用向量垂直得到，再结合模长公式求出，进而利用平面向量的夹角的余弦公式进行求解.【详解】由，得，即又由，得，则，所以 ，即故选：C.16A【分析】根据得，两边平方化简即可得即或，由此即可判断【详解】若，则，两边平方可得，即，即，即或，故“”是“”的充分不必要条件故选：A17B【分析】由取得最小值得点为线段的中点，由得，由配方可得答案.【详解】当时，取得最小值，因为，所以此时点为
16、线段的中点，因为，所以，故，则，因为，故故选：B.18D【详解】分析：由已知可得，设，则，结合，可得y1=3，不妨取=（，3），设=（x，y），结合=0，可得x，y所满足的关系式，数形结合得答案详解：因为，即12，设，则且y1=3，不妨取=（，3）设=（x，y），则=（1x，y），=（x，3y），由题意=0，（1x）（x）y（3y）=0，化简得，x2+y23y+=0，即则点（x，y）表示圆心在（），半径为的圆上的点，如图所示，则=的最大值为m=|OC|+r=，最小值为n=|OC|r=m+n=故答案为：D点睛：(1)本题主要考查了平面向量的坐标运算和数量积的计算,意在考查学生对这些基础知识的掌握
17、能力和数形结合的解法方法(2)解题的关键是求出=（x，y）的轨迹,求出它的轨迹,后面求它的最大值和最小值就迎刃而解了.19(1)3(2)(3)【分析】（1）根据平面向量数量积的定义即可得到答案；（2）将式子展开化简，结合向量的模和数量积即可得到答案；（3）先将化为，进而展开化简可得答案.【详解】（1）因为，与的夹角为，所以；（2）由（1），所以；（3）由（1），所以.20(1)(2)【分析】（1）用平面向量的模长及数量积运算即可求解.（2）用公式，展开即可求解.【详解】（1）因为，所以，即，即，又，所以（2）21(1)；(2)4.【分析】（1）根据平面向量基本定理结合已知条件将用表示出来，从而
18、可求出，进而可求出的值；（2）根据平面向量基本定理结合已知条件将，用表示出来，再由列方程可求出.【详解】（1）因为点在边上，且，所以，因为是线段的中点，所以，因为，不共线，所以，所以；（2）由题意可得，因为，所以，所以，所以，因为，所以，得，所以.22B【分析】由两边平方，结合数量积的性质化简可得结论.【详解】因为，所以，所以，化简可得，又、为非零向量，故，故选：B.23D【分析】利用向量数量积的运算性质，结合正方形中垂直关系及边长即可求解.【详解】在正方形中，如图所示,，故选：D.24A【分析】根据充分不必要条件的概念，平面向量数量积的定义与性质即可判断【详解】向量，是两个单位向量，由为锐角
19、可得，反过来，由两边平方可得，不一定为锐角，故“为锐角”是“”的充分不必要条件，故选：A25C【分析】利用向量的数量积的性质结合题给条件即可得到关于的方程，进而得到的值【详解】由，可得由，可得又，则，解之得故选：C26A【分析】根据已知条件判断出三角形的形状，从而计算出在上的投影向量.【详解】依题意三角形的外接圆圆心为，即，所以是的中点，即是圆的直径，且，又，所以，所以，所以在上的投影向量为.故选：A.27(1)(2)【分析】（1）利用向量的平方等于模长的平方和数量积公式求解即可；（2）利用向量垂直数量积为0求解即可.【详解】（1）由题意可得，所以.（2）因为向量与垂直，所以，解得.28(1)
20、(2)(3)【分析】（1）利用向量数量积运算求得正确答案.（2）利用向量数量积运算求得正确答案.（3）根据与的夹角为钝角列不等式，由此求得的取值范围.【详解】（1）.（2）.（3）由于与的夹角为钝角，于是且与不平行.其中，而，于是实数的取值范围是.29B【分析】利用正八边形的特征，结合向量的线性运算及投影向量的定义逐一分析各个命题即可求解.【详解】对于，因为八边形为正八边形，所以，所以与的夹角为，错误；对于，显然不成立，错误；对于，所以，所以，正确；对于，向量在向量上的投影向量为，正确，故选：B.30C【分析】由是的中点可知：，则，由此即可计算出答案.【详解】因为是的中点，所以,又因为，所以所
21、以.故选：C.31C【分析】根据数量积的运算律求得，再根据数量积的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】由可得，又，令则上式等价于，对任意的恒成立，故，解得，解得，即；对A：由，故不成立，A错误；对B：，不确定其结果，故不一定成立，B错误；对C：，故，C正确；对D： ，不确定其结果，故不一定成立，D错误.故选：C.32B【分析】先求出在方向上的投影的取值范围，再由数量积的定义求出的取值范围即可.【详解】如图，作的延长线于M，的延长线于N，根据正八边形的特征，可知，于是在方向上的投影的取值范围为，结合向量数量积的定义可知，等于的模与在方向上的投影的乘积，又，的最大值为，的最小值为
22、则的取值范围是.故选：B33B【分析】先利用向量的数量积求得的长度，进而求得的最小正周期，从而求得的值.【详解】由三角函数图象的对称性，可知，由，可得，又，所以，由图象最高点的纵坐标为，可知，所以的周期为12，则的周期为6，则，故选：B34AC【分析】结合投影向量的概念以及平面向量数量积的定义可判断A选项，结合平面向量数量积和向量共线的坐标运算即可判断B选项，根据平面向量夹角的公式以及数量积的运算律即可判断C选项，结合平面向量数量积的定义即可判断D选项.【详解】设与的夹角为，又因为在上的投影向量为，所以，即，所以，故A正确；因为，则，又因为与夹角为锐角，所以，且与不共线，即，解得，所以则的取值
23、范围是，故B错误；因为，两边同时平方得，即，所以，即，因此，又因为向量夹角的范围是，所以，故C正确；因为，所以，因为，故，又因为，故，因此为钝角，故D错误，故选：AC.35ACD【分析】由向量加减法法则，可以判断选项ABD，再由向量数量积公式可判断C.【详解】根据向量加法法则可知，故A正确；根据向量减法法则可得，故B错误；由向量数量积公式得，故C正确；根据向量加法法则可知，所以D正确.故选：ACD.36BC【分析】假设与共线，与，都不共线，可判断A；根据向量垂直的数量积表示及向量共线的概念可判断B；向量的数量积的定义可判断C；根据向量数量积法则，可判断D.【详解】A选项，若与共线，与，都不共线
24、，则与不可能共线，故A错；B选项，因为，,是非零平面向量，若，则，所以，故B正确；C选项，因为，故C正确；D选项，若，则，所以，故D错误.故选：BC.37BD【分析】根据已知条件求得的夹角以及数量积，对每个选项进行逐一分析即可判断和选择.【详解】对：设的夹角为，两边平方可得：，即对任意的恒成立，故可得：，即，则，又，故，故错误；对：，故正确；对：，当且仅当时取得等号，故错误；对：，对，当且仅当时取得最小值，故的最小值为，故正确.故选：.38BC【分析】利用向量的模长公式以及题中条件即可判断A,C,由夹角公式可判断B，根据投影向量的求法即可判断D.【详解】，,解得,故A错误,，由于，与的夹角为，
25、故B正确,故C正确在上的投影向量为，故D错误,故选：BC39BC【分析】根据题意求得且，以及，设，求得，则，列出不等式组，求得的取值范围，利用，设，结合二次函数的性质和选项，即可求解.【详解】因为，可得，可得且，由，其中，所以，设，可得，即，代入上式，可得，即，解得，则，又由且，解得或，因为，设，当时，可得；当时，可得，结合选项，可得的值可能为和.故选：BC.404【分析】利用投影公式以及向量的数量积公式即可求解.【详解】由题知，所以，解得：.故答案为：4.41【分析】根据向量数量积的定义和性质，以及数乘向量的定义，即可判断选项.【详解】，故错误；，故错误；，故错误；或或，故错误；，故正确.故
26、答案为：42【分析】化简即得解.【详解】因为，所以即，所以.故答案为：.43【分析】先求得，从而求得.【详解】由两边平方得，.所以.故答案为：44【分析】计算得到，平方化简得到，计算得到最值.【详解】由，得，所以，当和共线时等号成立，所以，即，所以，又，当时取等号.所以的最大值是.故答案为：45(1)(2)1【分析】（1）根据和，得到，再利用向量的夹角公式求解；（2）根据（1）的结果，利用向量的模公式求解.（1）解：因为，所以，又，所以，因为，所以；（2），46(1)(2)【分析】(1)根据投影向量定义可得在方向上的投影向量为，结合条件化简即可；(2)根据向量的模的性质由条件求出的表达式，再通
27、过换元法求其最小值.（1）由数量积的定义可知：，所以在方向上的投影向量为：；（2）又，所以令所以所以当时，取到最小值为47(1)(2)【分析】（1）将两边平方，求出，再根据数量积得定义即可得解；（2）根据数量积的运算律求出，再根据向量在向量上的投影为即可得解.（1）解：，即，又，又向量夹角范围是，与的夹角为；（2）解：，向量在向量上的投影为48(1)证明见解析(2)【分析】（1）已知，根据向量的运算可得，得证点O为三角形的外心.（2）延长AO交外接圆于点D，则AD是圆O的直径，可得，利用向量的加减和数量积的运算求得，因为，所以，求出二次函数的值域即可.【详解】（1）证明：由可得：，所以，即，同理：，所以，所以点O为三角形的外心.（2）由于O是三角形外接圆的圆心，故O是三边中垂线的交点如图所示，延长AO交外接圆于点D，则AD是圆O的直径所以，所以，因为，所以，令，则当时，有最小值又因为，所以，所以的取值范围是49(1)(2)(3)【分析】（1）根据模长公式即可化简求解；（2）由二次函数的性质即可求最值；（3）根据向量相等可求数量积即可求解.(1)由题意得，即.因为，所以，所以，即.(2)设向量的夹角为，则，当，即时，有最小值.因为，所以.(3)因为且方向相同，所以，所以，解得.33原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
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