1、海南省2015年高考模拟测试题理科数学试题卷第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若为虚数单位，图1中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数的共轭复数是 ( )A B. C D第1题图【答案】B【解析】试题分析：由题意，所以.考点：复数的概念与运算.2.能够把圆:的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“和谐函数”,下列函数不是圆的“和谐函数”的是 ( )A B C D 【答案】B【解析】试题分析：圆的圆心是原点，半径为4，函数是奇函数，且图象过原点，及都是奇函数且过原点，因此A、
2、C、D三个函数都是“和谐函数”，而是偶函数，且，不是“和谐函数”，选B.考点：函数奇偶性与对称性.3.若函数的图象在处的切线与圆相切,则的最大值是 ( )A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D考点：导数与切线，直线与圆的位置关系，基本不等式.4.设集合，从集合中随机地取出一个元素，则的概率是 ( )A B C D【答案】C【解析】试题分析：如图，集合是正方形内部（含边界），集合是抛物线下方的点（含边界），抛物线与正方形的交点为，所以正方形内部且在抛物线下方区域的面积为，所求概率为.考点：几何概型.5.在中，边上的高分别为，则以为焦点，且过两点的椭圆和双曲线的离心率的乘积为 ( )A.1 B
3、. C. 2 D. 第5题图【答案】C【解析】试题分析：设，则，设椭圆的长轴长为，则，设双曲线的实轴长为，则，所以.考点：椭圆与双曲线的定义和离心率.6.根据如图所示程序框图，若输入，则输出m的值为( ) A. 34 B. 37 C. 148 D.333【答案】B【解析】试题分析：本题实质是辗转相除法求最大公约数的算法，按照程序，的值依次为，因此最终输出结果为.考点：程序框图，算法.7.下列命题，正确的个数是 ( )直线是函数的一条对称轴将函数的图像上的每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度变为函数的图像设随机变量，若，则 的二项展开式中含有项的二项式系数是210.
4、A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】试题分析：,，不是对称轴，A错；将函数的图像上的每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得，再向左平行移动个单位长度，得，B错；因为，故，因此，C正确；的二项展开式的通项为，令，则，因此项的二项式系数为，D正确，选B.考点：三角函数的对称轴，图象变换，正态分布，二项式定理.8.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为 上任意一点，为上任意两点，且的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是 ( )A. 点到平面的距离 B. 三棱锥的体积 C. 直线与平面所成的角 D.二面角的大小第8题图【答案】C考点：空间线面间的位置关系，空间距离与角.9.
5、已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组 则 的最大值等于 ( )AB C D【答案】A【解析】试题分析：如图，题设不等式组表示的平面区域为内部（含边界），所以 ，而的最大值为，因此 的最大值为.考点：二元一次不等式组表示的平面区域，向量的夹角，两直线的夹角.10.已知函数和函数在区间上的图像交于两点，则的面积是 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：，因为，所以或，线段与轴相交于点，所以.考点：简单的三角方程，三角形的面积.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的离心率为，若双曲线上一点使，点为直线上的一点，且，则的值为 ( )AB C D 【答案】A【解析】
6、试题分析：双曲线中，则，由得，又，所以，设，则，即，代入双曲线方程得（不妨取正），即，由得，所以，选A.考点：双曲线的性质，向量的数量积的坐标运算.12.设等差数列的前项和为，已知， ，则下列结论正确的是 ( )A， B，C， D，【答案】D【解析】试题分析：记，它是奇函数，由题意，因此，即，从而，又是增函数，由题意，所以，数列是递减数列，选D.考点：等差数列的性质，函数的奇偶性与单调性.第卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在中， ，且的面积为，则=_【答案】【解析】试题分析：，.考点：三角形的面积，向量的夹角.14.采用随机模拟试验的方法估计三天中恰有
7、两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为_【答案】0.25【解析】试题分析：20组数中表示恰有2天下雨的是191,271,932,812,393共5组，因此概率为.考点：随机试验.15.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的对应直观图中
8、的面积为_.【答案】【解析】试题分析：在直观图中，的底边，边上的高为，.考点：三视图.16.若对于定义在R上的函数 ,其图象是连续不断的，且存在常数使得对任意实数都成立，则称 是一个“伴随函数”. 有下列关于 “伴随函数”的结论：是常数函数中唯一个“伴随函数”；不是“伴随函数”；是一个“伴随函数”；“ 伴随函数”至少有一个零点. 其中不正确的序号是_（填上所有不正确的结论序号）【答案】【解析】试题分析：时，取，则对任意恒成立，是一个“伴随函数”， 错；时，不能恒成立，正确；时， 不能恒成立，错误；若是“伴随函数”，则恒成立，令，则有，那么和如果不为0，则它们的符号相反，一正一负，于是在上至少有
9、一个零点，正确.故填.考点：新定义.（创新题）三、解答题 （本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）设等差数列的前项和为，且，（1）求等差数列的通项公式. （2）令，数列的前项和为.证明：对任意，都有 .【答案】（1）；（2）证明见解析.考点：等差数列的通项公式，裂项相消法求和，数列与不等式.18.（本小题满分12分）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）线段上是否存在点，使/ 平面？若存在，求出；若不存在，说明理由第18题图【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】试题
10、分析：（1）要证线线垂直，一般先证明线面垂直，题中在平面平面，为了应用面面垂直的性质，取中点为，由已知可得，从而就有平面，结论得证；（2）求直线与平面所成的角，以及第（3）小题的线面平行问题，我们可以建立空间直角坐标系，利用空间向量来解题，在（1）的证明过程中正好有三线两两垂直，以他们为坐标轴建立空间直角坐标系，设，就有，平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则有；（3）设，求出点坐标，再求出平面的法向量，由可求出.当然本题题型只要根据刚才探讨出的值对应的点，证明线面平行.试题解析：证明：（1）取中点，连结，因为，所以 因为四边形为直角梯形，所以四边形为正方形，所以 所以平面 所以 4分
11、 解：（2）因为平面平面，且 ，所以平面，所以 由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，所以 所以 ，平面的一个法向量为 设直线与平面所成的角为，所以 ， 即直线与平面所成角的正弦值为8分 （3）存在点，且时，有/ 平面 证明如下：由 ，所以设平面的法向量为，则有所以 取，得因为 ，且平面，所以 / 平面 即点满足时，有/ 平面12分考点：线线垂直，线面角，线面平行.19.（本小题满分12分）某校对参加高校自主招生测试的学生进行模拟训练，从中抽出N名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示已知成绩在区间内的学生人数为2人。（1）求N的值并估计这次测试数学成
12、绩的平均分和众数；（2）学校从成绩在的三组学生中用分层抽样的方法抽取12名学生进行复试，若成绩在内的频率为，所以 利用中值估算抽样学生的平均分，成绩分布在间的频率最大，所以众数的估计值为区间的中点值；（2）由分层抽样的方法可计算出在内的频率为，所以 利用中值估算抽样学生的平均分：450.05+550.15+650.2+750.3+850.25+950.05 =72.所以，估计这次考试的平均分是72分由频率分布直方图可知，成绩分布在间的频率最大，所以众数的估计值为区间的中点值75分 （6分）（注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分）（2）由（1）知，成绩在内的学生共有人，成
13、绩在80，90）这一小组的人数有人.所以从这一小组中抽出的人数为人，依题意知， ，所以的分布列为：数学期望. .（12分）考点：用样本估计总体，随机变量的颁布列与数学期望.20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点和抛物线的焦点相同. （1）求椭圆的方程. （2）如图，已知直线与椭圆及抛物线都有两个不同的公共点，且直线与椭圆交于两点；过焦点的直线与抛物线交于两点，记，求的取值范围.【答案】(1) ；（2）.【解析】试题分析：（1）求椭圆的标准方程，只要根据椭圆的几何性质求得，抛物线的焦点是，因此有，又，因此；（2）直线与椭圆相交，与抛物线相交可求出的取舍范围，下面要求的范围就要
14、在这个的范围内求解，解决直线与圆锥曲线相交问题，我们还要设出交点坐标，设，利用韦达定理可求出，从而计算出（用表示哟），同样点与抛物线相交的直线的方程为，同样方法求得，再计算恰好有（注意还要讨论一下斜率不存在时也有），这样就计算出了，所以.试题解析：（1）椭圆的离心率，抛物线的焦点为，所以椭圆中的，.所以椭圆的方程为. 4分（2）设，则由消去可得（），由解得或； 由消去可得，由解得，所以。 6分由可得，所以 8分当的斜率不存在时，此时， 当的斜率存在时，设的方程为，由由消去可得，所以，所以，10分则， 因为，所以，所以.12分考点：椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.21.（本小题满分12
15、分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）对于任意正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在最小的正常数，使得：当时，对于任意正实数，不等式恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性.【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增；（2）；（3）这样的最小正常数存在.【解析】由于，所以.构造函数，则令，得.当时，；当时，.所以函数在点处取得最小值，即.因此所求的的取值范围是. (7分)结论：这样的最小正常数存在. 解释如下：.构造函数，则问题就是要求恒成立. (9分)对于求导得 .令，则，显然是减函数.又，所以函数在上是增函数，在上是减函数，而， ，. 所以函数在区间和上各有一个零点
16、，令为和，并且有: 在区间和上，即；在区间上，即. 从而可知函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增. ，当时，；当时，. 还有是函数的极大值，也是最大值. 题目要找的，理由是： 当时，对于任意非零正数，而在上单调递减，所以一定恒成立，即题目所要求的不等式恒成立，说明； 当时，取，显然且，题目所要求的不等式不恒成立，说明不能比小. 综合可知，题目所要寻求的最小正常数就是，即存在最小正常数，当时，对于任意正实数，不等式恒成立. (12分)( 注意：对于和的存在性也可以如下处理：令，即. 作出基本函数和 的图像，借助于它们的图像有两个交点很容易知道方程有两个正实数根和，且，（实际上），可知函数在区
17、间和上单调递减，在区间上单调递增.，当时，；当时，. 还有是函数的极大值，也是最大值. ）考点：导数与函数的单调性，函数的零点，不等式恒成立.四、选答题（请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所选的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.）22.（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，AB是的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，F为BA延长线上一点，且，求证：（1）；（2）第22题图【答案】证明见解析.【解析】试题分析：（1）把已知变形为，这样可得，而是直径所对圆周角，为，因此可得；（2）由于，因此只要能证明就能证得结论，而可通过四点共圆证得.
18、试题解析：（）证明：连接，在中，又，则 5分 ()在中， ， 又 四点共圆； ，又是的直径，则， 10分OEDFACB考点：相似三角形，四点共圆.23.（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：（其中为常数）.（1）若曲线与曲线只有一个公共点，求的取值范围；（2）当时，求曲线上的点与曲线上点的最小距离.【答案】（1）或；（2）. 【解析】试题分析：消去参数把曲线的参数方程化为普通方程，利用公式把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用数形结合的思想可以得出曲线有一
19、个公共点时的的范围；（2）直线N: ，设M上点为，则，由此可求得最小值.试题解析：对于曲线M,消去参数，得普通方程为,曲线 是抛物线的一部分； 对于曲线N，化成直角坐标方程为，曲线N是一条直线. (2分)(1)若曲线M,N只有一个公共点，则有直线N过点时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以满足要求；相切时仍然只有一个公共点，由，得，求得. 综合可求得的取值范围是：或. （6分） (2)当时，直线N: ，设M上点为，则 ，当时取等号，满足，所以所求的最小距离为. (10分)考点：参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离.24.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲设函数（1）若a=1，解不等式；（2）若函数有最小值，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）绝对值不等式，根据绝对值的定义分类讨论去绝对值符号；（2）函数是分段函数，它要存在最小值，则两部分应满足左边是减函数，右边是增函数.试题解析：（）时，.当时，可化为，解之得；当时，可化为，解之得.综上可得，原不等式的解集为5分（）函数有最小值的充要条件为即10分考点：解绝对值不等式，分段函数的单调性与最值.
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