1、目标导航1理解用坐标表示的平面向量共线的条件(重点)2能应用向量共线的坐标表示解决相关问题(难点)1 新知识预习探究 知识点一 平面向量共线的坐标表示阅读教材 P98P99，完成下列问题 若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，(b0)，当且仅当时，ab.x1y2x2y10【练习】(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量(1,2)与向量(2,4)共线()(2)向量(2，3)与向量(2,3)反向()(3)若向量 ab，bc，则 ac.()2 新视点名师博客 两个向量共线坐标表示的正确理解已知 a(x1，y1)，b(x2，y2)，(1)当 b0 时，ab.这是几何运算，体现了向量 a 与 b 的长
2、度及方向之间的关系(2)x1y2x2y10.这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征(3)当 x2y20 时，x1x2y1y2，即两向量的对应坐标成比例通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误.3 新课堂互动探究 考点一 向量共线的坐标表示的应用例 1 已知向量 a(1,2)，b(，1)，若(a2b)(2a2b)，则 的值等于()A.12 B.13C1 D2分析：有两种思想，一是分别求出 a2b 与 2a2b 的坐标，用平面向量共线的坐标表示列方程求出参数；二是假设 a，b 不共线，推
3、出矛盾从而求得 的值解析：方法一：a2b(1,2)2(，1)(12，4)，2a2b2(1,2)2(，1)(22，2)，由(a2b)(2a2b)可得 2(12)4(22)0，解得 12.方法二：假设 a，b 不共线，则由(a2b)(2a2b)可得 a2b(2a2b)，从而12，22，方程组显然无解，即 a2b 与 2a2b 不共线，这与(a2b)(2a2b)矛盾，从而假设不成立，故应有a，b 共线，所以121，即 12.答案：A点评：向量共线问题常涉及两个方面：已知两个向量的坐标或四点的坐标，判定两向量共线，已知向量共线求参数的值解题时要注意方程思想的运用，向量共线的条件、向量相等都可作为列方程
4、的依据变式探究 1 已知 a(1,2)，b(3,2)，当 k 为何值时，kab 与 a3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解析：由已知得，kab(k3,2k2)，a3b(10，4)，kab 与 a3b 平行，(k3)(4)10(2k2)0，解得 k13.此时 kab133，232103，43 13(a3b)，当 k13时，kab 与 a3b 平行，并且反向.考点二三点共线问题例 2(1)已知OA(3,4)，OB(7,12)，OC(9,16)，求证：A，B，C 三点共线(2)设向量OA(k,12)，OB(4,5)，OC(10，k)，当 k 为何值时，A，B，C 三点共线？分析：解析：(1)证明
5、：ABOB OA(4,8)，ACOC OA(6,12)，AC32AB，即AB与AC共线又AB与AC有公共点 A，A，B，C 三点共线(2)方法一：若 A，B，C 三点共线，则AB，AC共线，则存在实数，使得ABAC.ABOB OA(4k，7)，ACOC OA(10k，k12)，(4k，7)(10k，k12)，4k10k，7k12，解得 k2，或 k11.方法二：若 A，B，C 三点共线，则AB，AC共线ABOB OA(4k，7)，ACOC OA(10k，k12)，(4k)(k12)7(10k)0，k29k220，解得 k2，或 k11.点评：三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满
6、足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的利用向量平行证明三点共线需分两步完成：(1)证明向量平行；(2)证明两个向量有公共点变式探究 2 如果向量ABi2j，BCimj，其中 i、j 分别是 x 轴，y 轴正方向上的单位向量，试确定实数 m 的值使 A，B，C三点共线解析：依题意知 i(1,0)，j(0,1)则AB(1,0)2(0,1)(1，2)，BC(1,0)m(0,1)(1，m)而AB，BC共线，1m1(2)0.m2，当 m2 时，A，B，C 三点共线.考点三 利用向量共线确定点的坐标例 3 如图，已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求 AC 与OB
7、 的交点 P 的坐标分析：先设出点 P 的坐标，然后利用共线条件求解解析：方法一：由题意知 P、B、O 三点共线，可设OP OB(4，4)，则APOP OA(44,4)，ACOC OA(2,6)，由AP与AC共线，得(44)64(2)0，解之得 34，OP 34OB(3,3)，P(3,3)即为所求方法二：设 P(x，y)，则OP(x，y)，且OB(4,4)，又OP 与OB 共线，所以 xy.又AP(x4，y)，AC(2,6)，AP与AC共线，则得(x4)6y(2)0，解之得 xy3.点评：求解直线或线段的交点问题，常规方法为写出直线或线段对应的直线方程，建立方程组求解，而利用向量方法借助共线向
8、量定理可减少运算量，且思路简单明快变式探究 3 在AOB 中，已知点 O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，OC14OA，OD 12OB，AD 与 BC 交于点 M，求点 M 的坐标解析：点 O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，OA(0,5)，OB(4,3)OC(xc，yc)14OA 0，54，点 C 的坐标为0，54.同理可得点 D 的坐标为2，32.设点 M 的坐标为(x，y)，则AM(x，y5)，而AD 2，72.A，M，D 三点共线，AM 与AD 共线72x2(y5)0，即 7x4y20.而CM x，y54，CB40，354 4，74.C，M，B 三点共线，CM 与CB共线7
9、4x4y54 0，即 7x16y20.由得 x127，y2，点 M 的坐标为127，2.4 新思维随堂自测1.已知两点 A(1,0)，B(1，3)，O 为坐标原点，点 C 在第二象限，且AOC135，设OC OA OB(R)，则实数 等于()A.312 B.312C.212 D.212解析：根据题意设 C(x0，x0)，OC(x0，x0)，OA(1,0)，OB(1，3)，代入OC OA OB 得：(x0，x0)(1，3)，x01，x0 3，解得 312.故选 A.答案：A2若 A(x，1)，B(1,3)，C(2,5)三点共线，则 x 的值为()A3 B1C1 D3解析：由已知，得AB(1x,4
10、)，BC(1,2)，则 2(1x)40，解得 x1.答案：B3已知向量 a(3,4)，b(sin，cos)，且 ab，则 tan()A.43 B43C.34 D34解析：由 ab 得 3cos4sin，tan34.答案：C4设向量 a(1,2)，b(2,3)，若向量 ab 与向量 c(4，7)共线，则 _.解析：ab(2,23)，4(23)7(2)812714，2.答案：25已知向量 a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则 m_.解析：ab(21，1m)(1，m1)，由(ab)c，得 12(m1)(1)0，即 m1.答案：15 辨错解走出误区易错点：混淆向量相等与向量的模相
11、等【典例】已知线段 AB 的端点为 A(x,5)，B(2，y)，直线 AB上的点 C(1,1)，且有|AC|2|BC|，求 x、y 的值【错解】由|AC|2|BC|，可知AC2BC，又AC(1x,15)，2BC2(12,1y)，所以1x6，422y，解得x5，y3.【错因分析】错解中的主要错误是把向量相等与向量的模相等混淆，其实|AC|2|BC|与AC2BC的含义是不一样的，不可等同，前者为模之间的关系，而后者是向量之间的关系，前者是后者的必要条件，实际上当 A，B，C 三点共线时，由|AC|2|BC|可得到AC2BC.【正解】由|AC|2|BC|，可得AC2BC，又AC(1x,15)，2BC2(12,1y)，当AC2BC时，同错解；当AC2BC时，有1x6，422y，解得x7，y1.故由可知x5，y3或x7，y1.【反思】向量相等不仅需要向量的长度相等，而且还需要它们的方向相同，向量的模相等仅仅是向量的长度相等.