1、专题15等差数列与等比数列C卷一、单选题 1.已知等差数列中，设函数，记，则数列的前项和为()A.B.C.D.2.等差数列的前项和为，若，则()A.B.C.D.3.已知两个等差数列，及，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列。则这个新数列的各项之和为()A.B.C.D.4.设函数，设是公差为的等差数列，则()A.B.C.D.5.已知数列的首项，数列为等比数列，且若，则()A.B.C.D.6.设是递增的等差数列，为，的等比中项，则数列的前项和为()A.B.C.D.7.已知等比数列的前项和，数列的前项和为，若数列是等差数列，则非零实数的值是()A.B.C.D.8.设等比数列的前项和
2、为，首项，且，已知，若存在正整数，使得，成等差数列，则的最小值为()A.B.C.D.二、多选题 9.设等比数列的公比为，前项和为，前项积为，并满足条件，则下列结论中正确的有()A.B.C.D.是数列中的最大项 10.已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，则下列结论正确的是()A.数列为等差数列 B.对任意正整数，C.数列一定是等差数列 D.数列一定是等比数列 11.已知是数列的前项和，且，则下列结论正确的是()A.数列为等比数列 B.数列为等比数列 C.D.三、填空题 12.已知数列满足奇数项成等差，公差为，偶数项成等比，公比为，且数列的前项和为，若，则正整数 13.已知数列是公差为的等
3、差数列，设，若存在常数，使得数列为等比数列，则的值为 14.张丘建算经记载“今有女子善织布，逐日所织布以同数递增，初日织五尺，计织三十日，共织九匹三丈，问日增几何？”，其所描述的就是中学等差数列求和的相关知识。现如今已知某化工厂污染物排放量随产量增加而同数递增，为保护环境，该厂决定斥资修复被污染的水土，经相关机构测算，修复被污染水土的单位费用随排放量的增加而成倍递增。设该厂第年污染物排放量为个单位，修复费用为每单位万元，第年该厂污染物排放量为个单位，修复费用为每单位万元，不计科技提升带来的影响，以此类推，则年后，该厂修复被污染水土的总费用为万元，年后，该厂修复被污染水土的总费用为万元 四、解答
4、题 15.设数列的前项和为，已知，且求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围16.已知数列的首项，求证：数列为等比数列；记，若，求最大的正整数 是否存在互不相等的正整数，使，成等差数列且，成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由 17.在各项均不相等的等差数列中，且，成等比数列，数列的前项和求数列，的通项公式设，数列的前项和，若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围答案和解析1.【答案】【解析】【分析】本题考查了三角恒等变换，三角函数性质，等差数列性质的应用，属于中档题 根据三角恒等变换化简，然后可确定关于中心对称，即，然
5、后根据等差数列性质可知，即可求解【解答】解：函数，由，可得，当时，则关于中心对称，则，等差数列中，则，则，则数列的前项和为2.【答案】【解析】【分析】本题主要考查等差数列的性质，属于中档题 由题意利用等差数列的性质可得，仍然是等差数列，由此求得的值【解答】解：等差数列前项和为，若，设，则，成等差数列，则，解得，由等差数列的性质可得，仍然是等差数列，公差为，所以，故选 B3.【答案】【解析】【分析】本题考查等差数列通项公式及前项和公式，属于中档题根据等差数列前项和公式及通项公式即可得解【解答】解：设两个数列分别为，由题易得，数列与首项，构成的新数列也是等差数列，且首项，公差为和的最小公倍数，所以
6、，且，解得，即新数列有项，前项和为 故选 C4.【答案】【解析】【分析】本题考查等差数列的性质，奇函数性质的应用，属于中档题【解答】解：，可令，则其是定义在上的奇函数，是公差为的等差数列，5.【答案】【解析】【分析】本题考查数列的递推关系，等比数列的性质，考查计算能力，属于中档题 由题知，从而得，由即可求出答案【解答】解：因为，所以，所以 又数列是等比数列，且，所以 故选 A6.【答案】【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力 设等差数列的公差为，由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差，进而得到所求通项公式
7、；求得，运用数列的裂项相消求和，计算可得所求和【解答】解：设等差数列的公差为，由为，的等比中项，可知，即，整理，得，解得，舍去，故；由，设为数列的前项和，所以 所以 故选：7.【答案】【解析】【分析】本题考查等比数列求和，利用等差数列的性质求解参数问题，分类讨论，属于较难题 根据求出通项公式，利用可求出，求出，利用等差数列的性质，分类讨论确定的范围即可得到选项【解答】解：因为等比数列的前项和，当时，则当时，而等比数列，满足，则，所以，则，即是以为首项，为公比的等比数列，若时，则，因为是等差数列，所以满足题意 若时，则，则，因为是等差数列，所以，即，解得，与矛盾，综上所述：，故选：8.【答案】【
8、解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式及前项和，等差数列的性质，考查了利用基本不等式求最值，是中档题 由数列是等比数列，且首项，结合等比数列的前项和可得得到再由，成等差数列，得到，整理可得，再由，得，满足条件，使得，则答案可求【解答】解：数列是等比数列，且首项，则，化简得：，则 又，成等差数列，上式两边同时除以，得，当且仅当时，取等号，整理可得，又，满足条件，使得，此时，故选：9.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了等比数列的通项公式及其性质，递推关系，不等式的性质，属于中档题 根据题意分析可得：，逐一分析各选项即可【解答】解：依题意等比数列满足条件：，；若，则，则，则，与已知条件矛盾，所
9、以不符合题意，故 A 选项错误；由于，结合上述分析可得，所以，所以，选项正确；因此，前项都大于，从第项开始起都小于，因此的值是中最大的项，所以选项正确 故选 BCD10.【答案】【解析】【分析】本题主要考查等比等差数列的通项，前项和公式，属于中档题 由等差数列定义判断，；由等比数列通项和基本不等式判断；由等比数列定义判断【解答】解：对于，所以，所以数列为等差数列，故 A 正确；对于，当且仅当时等号成成立，故 B 正确；对于，故 C 正确；对于，当时，当时，所以不是等比数列，故 D 错误 故选 ABC11.【答案】【解析】【分析】本题考查数列递推式，等比数列的通项公式及求和公式，考查转化思想与运
10、算求解能力，属于难题 已知，两边同时加上，即可判断选项 A，两边同时减去，即可判断选项 B，由，中等比数列的通项公式即可求得，从而判断选项 C，利用分组求和及等比数列的前项和公式即可求解，从而判断选项 D【解答】解：，因为，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，故选项 A 正确；，所以是首项为，公比为的等比数列，故选项 B 正确；，所以，故选项 C 错误；，故选项 D 正确 故选：12.【答案】【解析】【分析】本题主要考查对数列抽出的项构成等差、等比数列的综合问题的研究 先由，；先对进行分类 正奇数与正偶数，分别求通项公式，对进行分类 正奇数与正偶数，利用求得的通项公式分别求满足题意
11、的即可【解答】解：因为，所以，即解得，当为奇数时，设，则，当为偶数时，设，则综上；当为奇数时，由，即，当时，不合题；当时，右边小于，左边大于，等式不成立；当为偶数时，所以 综上，；故答案为13.【答案】【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式以及等比数列概念与的前项和公式的应用，对逻辑推理和代数运算能力有较高要求 解答本题，首先要讨论数列的公差是否为，当的公差为时，易判断不合条件；当的公差时，利用等比数列的求和公式化简求出，再根据，求出，然后对一般情况作出验证即可【解答】解：由已知，数列是公差为的等差数列，于是，若存在常数，使得数列为等比数列，当时，即为非零常数，则，且，解之，得，不合条件；
12、当时，记为非零常数，则，首先，由，得：，化简，得：当时，这时，这说明，当且仅当时，数列成等比数列 故答案为：14.【答案】【解析】【分析】本题考查等差数列和等比数列的实际应用，考查学生的逻辑推理能力和计算能力，属于较难题 根据题意用等差数列表示第年污染物排放量，用等比数列表示第年每单位修复费用，用表示第年修复总费用，则表示年后，该厂修复被污染水土的总费用；再由错位相减法求出的前项和即可得年后，该厂修复被污染水土的总费用【解答】解：由题意，用表示第年污染物排放量，是一个等差数列，且，用表示第年每单位修复费用，是一个等比数列，且，用表示第年修复总费用，则，所以年后，该厂修复被污染水土的总费用为万元
13、；年后，该厂修复被污染水土的总费用：，则，得，即年后，该厂修复被污染水土的总费用为 故答案为：；15.【答案】证明：当时，又，所以，当时，由，得，两式相减得，即，所以，即，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，即由可得，当不等式对于任意的恒成立时，即恒成立，令，当时，恒成立，则满足条件当时，由二次函数的性质可知不等式不恒成立，则不满足条件当时，的对称轴为，则在上单调递减，所以恒成立，则满足条件，综上所述，实数的取值范围是【解析】本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的单调性，一元二次不等式恒成立，属于中档题 由题意求，两式相减得，进而得到，即可求解；先求，代入得不等式对任意的恒成立，构造函数，
14、利用单调性解决 16.【答案】解：证明：因为，所以，所以，化为，又因为，所以，所以是首项为，公比为的等比数列；由可得，所以，若，则，因为函数单调增，时，时，所以最大正整数的值为；假设存在，则，因为，所以，化简得，因为，当且仅当时等号，又，互不相等，所以不存在【解析】本题主要考查等比数列的性质、等差数列的性质以及等比数列求和 根据题意整理项，可得，变形可得，又，则是首项为，公比为的等比数列，即证明为等比数列；先由得出数列的通项公式，然后根据分组方法并结合等比数列前项和公式求出，则不等式可化简为，又函数单调递增，由此可得最大整数的值；假设存在互不相等的正整数、，根据等差数列的性质及等比数列的性质得
15、，由知，化简可得，又因为，当且仅当时等号成立，又、互不相等，所以，与假设矛盾，由此可得答案 17.【答案】解：由题意设数列的公差为，则，成等比数列，即，整理得，解得舍去 或，；当时，当时，验证：当时，满足上式，数列的通项公式为由得，所以，令，则在恒成立，所以在上为增函数 所以当时，要使不等式对任意的正整数恒成立，只要即可 所以，又，所以 所以实数的取值范围为【解析】本题考查等差数列和等比数列的性质、通项公式和求和公式的运用，数列的递推式的运用，以及数列的求和，属于较难题 由已知条件利用，成等比数列，即可求得数列的公差，进而得到数列的通项公式；由等比数列数列的前项和，得到，进而得到数列的通项公式；由得到，再根据等比数列和等差数列的求和公式即可求出的前项和从而，令，则在恒成立，所以在上为增函数，所以当时，要使不等式对任意的正整数恒成立，只要即可求解