1、四川省武胜烈面中学校2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题 理（含解析）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的选项填涂在答题卡上)1.若复数z=为纯虚数，则实数的值为（ ）A. =2B. =C. = 或 =2D. =2且3【答案】A【解析】【分析】由复数为纯虚数，得到，即可求解.【详解】由题意，复数为纯虚数，所以，解得，即实数的值为2，故选A.【点睛】本题主要考查了复数分类及其应用，其中解答中熟记复数的概念和复数的分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.设，其中是实数，则等于（ ）A.
2、1B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】根据复数相等，可求得的值.根据复数模的求法即可得解.【详解】由已知得，根据两复数相等的条件可得，所以.故选：B.【点睛】本题考查了复数相等的应用，复数模的求法，属于基础题.3.已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：要使复数对应的点在第四象限,应满足，解得，故选A.【考点】 复数几何意义【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可复数zabi复平面内的点Z（a，b）（a，bR
3、）复数zabi（a，bR）平面向量.4.函数在点处的切线方程为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先求出函数在点处的导数，也就是切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程【详解】，切线斜率，又，切点为，切线方程为，即故选B【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.5.若函数满足，则的值为（ ）A. 1B. 2C. 0D. 【答案】C【解析】【分析】求出即可【详解】因为所以令时有解得：故选：C【点睛】本题考查的是导数的运算，较简单.6.若函数yf（x）的导函数yf（x）的图象如图所示，则yf（x）的图象可能（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】根据导数与函数单调性
4、的关系，判断函数的单调性即可.【详解】由当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，则由导函数的图象可知：先单调递减，再单调递增，然后单调递减，排除，且两个拐点（即函数的极值点）在x轴上的右侧，排除B.故选：.【点睛】本题主要考查的是导数与函数的单调性，熟练掌握函数的导数与函数单调性的关系是解题的关键，是基础题.7.函数在点处的切线斜率为，则的最小值是（ ）A. 10B. 9C. 8D. 【答案】B【解析】对函数求导可得，根据导数的几何意义，即=()=+52+5=4+5=9，当且仅当即时，取等号.所以的最小值是9.故选B.点睛：本题主要考查导数的几何意义，求分式的最值结合了重要不等式，“1”的巧用
5、，注意取等条件8.函数，则（）A. 为函数的极大值点B. 为函数的极小值点C. 为函数的极大值点D. 为函数的极小值点【答案】A【解析】，故当时函数单调递增，当时，函数单调递减，故为函数的极大值点9.设是直线l的方向向量，是平面的法向量，则直线l与平面（ ）A. 垂直B. 平行或在平面内C. 平行D. 平面内【答案】B【解析】【分析】计算出，即可判断得解.【详解】或故选：B【点睛】本题主要考查利用向量判断直线和平面位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.10.若，且，共面，则（ ）A. 1B. -1C. 1或2D. 【答案】A【解析】【分析】向量，共面，存在实数使得，坐标代
6、入即可得出。【详解】向量，共面，存在实数使得，解得 故选：A【点睛】本题考查空间共面向量基本定理，属于基础题。11.已知三棱锥，点分别为的中点，且，用，表示，则等于() A. B. )C. D. 【答案】D【解析】 ，故选D.12.如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，E为PB的中点，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，根据，得到，解方程即得的值，即得解.【详解】设，则，的坐标为，故选：A【点睛】本题主要考查空间向量所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题：(本
7、大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸上)13.已知，为虚数单位，若为实数，则的值为_【答案】-2【解析】为实数，则.【考点】 复数的分类【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可复数，当时，为虚数，当时，为实数，当时，为纯虚数.14.已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为_【答案】【解析】【详解】分析：由函数的图象可得函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，进而得不等式的解集详解：由图象特征可得，导数，在上，在上，所以等价于或，解得或，即不等式的解集为点睛
8、：本题主要考查了导数与函数单调性的关系，考查学生的识图能力，利用导数求得函数的单调性是本题解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力15.点2，3，4，若的夹角为锐角，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据的夹角为锐角，可得，且不能同向共线解出即可得出【详解】1，2，的夹角为锐角，且不能同向共线解得，则的取值范围为故答案为【点睛】本题主要考查了向量夹角公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16.对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：仿此，若的“分裂数”中有一个是59，则的值为_.【答案】8【解析】【分析】由题意知，的三次方就是个连续奇数相加，且
9、从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可找出的“分裂数”中有一个是59时，的值【详解】由题意，从到，正好用去从3开始的连续奇数共个，59是从3开始的第29个奇数，当时，从到，用去从3开始的连续奇数共个，当时，从到，用去从3开始的连续奇数共个，故，故答案为8.【点睛】本题考查归纳推理，求解的关键是根据归纳推理的原理归纳出结论，其中分析出分解式中项数及每个式子中各数据之间的变化规律是解答的关键三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.已知曲线及曲线上一点（1）求曲线在P点处的切线方程；（2）求曲线过P点的切线方程【答案】（1）（2
10、）或【解析】【分析】（1）利用导数求出，即得切线方程；（2）设切点坐标为，由题得，解方程得的值即得解.【详解】（1），则在处直线的斜率，所求直线的方程为（2）设切点坐标为，则直线l的斜率，切线方程为，解得或，所求直线的方程为，所求直线斜率，于是所求直线的方程为，即综上所述，所求直线的方程为或【点睛】本题主要考查曲线的切线方程的求法，考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.设函数（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最值【答案】（1）单调减区间为，单调增区间为；（2），【解析】【分析】（1）直接利用导数求函数的单调区间；（2）由得，在单调递减，在单调递增，比较即得
11、解.【详解】定义域为，由题得，令，x 所以的单调减区间为，单调增区间为；由得，在单调递减，在单调递增，所以，又，因为，所以，【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.已知x1是函数的一个极值点，()求a的值；()当时，证明：【答案】()；()详见解析.【解析】试题分析：()先求出导函数，再由即可得到；() 当时，要证明.即证明当时，.然后研究函数在区间0,2上的单调性以求出最值.从而证明了本题.试题解析：(),又，当时，在处取得极小值.()证明：由()知，.当时，所以在区间0,1单调递减；当时，所以在区间0,1单调递增；所以在区间0,2上，
12、的最小值为，又，.所以在区间0,2上，的最大值为.对于时，有.所以.考点：1.函数的极值；2导数；3.函数的单调性与最值.20.如图，在矩形ABCD中，AB2AD2，O为CD的中点，沿AO将AOD折起，使DB.(1)求证：平面AOD平面ABCO；(2)求直线BC与平面ABD所成角的正弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明:在矩形ABCD中，AB2AD2，O为CD中点，AOD，BOC为等腰直角三角形，AOB90，即OBOA.取AO中点H，连接DH，BH，则OHDH，在RtBOH中，BH2BO2OH2，在BHD中，DH2BH223，又DB23，DH2BH2DB2，DHBH.又DHOA，O
13、ABHH，DH面ABCO，而DH平面AOD，平面AOD平面ABCO.(2)解分别以OA，OB所在直线为x轴和y轴，O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0)，A(，0,0)，D，C.(，0)，.设平面ABD的一个法向量为n(x，y，z)，由得即xy，xz，令x1，则yz1，取n(1,1,1)设为直线BC与平面ABD所成的角，则sin.即直线BC与平面ABD所成角的正弦值为.21.如图，正四棱锥底面边长为4，侧棱长为以该正四棱锥的底面中心O为坐标原点建立直角坐标系，其中，E为VC中点求向量，的夹角的余弦值；求二面角的余弦值【答案】（1）（2）【解析】【分析】根据条件知正四棱锥的高
14、为，求出，3，由此能求出c向量，的夹角的余弦值求出平面BVC的一个法向量和平面DVC的一个法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值【详解】解：根据条件知正四棱锥的高为，根据条件，2，2，0，1，3，向量，的夹角的余弦值为0，设平面BVC的一个法向量y，则，取，得3，同理可得平面DVC的一个法向量0，设二面角的平面角为，则，二面角的余弦值为【点睛】本题考查两个向量的夹角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题22.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中，若如图所示建立空
15、间直角坐标系：（1）求和点G的坐标；（2）求异面直线EF与AD所成的角；（3）求点C到截面AEFG的距离【答案】（1）（-1,0,1），0，（2）（3）【解析】【分析】（1）设0，利用求出的值，即得解；（2）利用向量所成的角求异面直线EF与AD所成的角；（3）利用空间向量的点到平面的距离公式求点C到截面AEFG的距离【详解】由题意知0，4，4，4，0，又，设0， 0，0，解得，0，0，异面直线EF与AD所成的角为设平面AEFG的法向量，0，4，取，得，4，点C到截面AEFG的距离【点睛】本题主要考查空间异面直线所成的角的向量求法，考查点到平面距离的向量求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.