1、2014学年上海长宁区、嘉定区高三年级第二次质量调研数学试卷（文）一、填空题（本大题有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分1.已知集合,则_【答案】或【解析】试题分析：因为,所以或.考点：集合的运算.2.抛物线的焦点到准线的距离是_【答案】4【解析】试题分析：抛物线的焦点是 ,准线方程是,所以焦点到准线的距离是4.考点：抛物线性质.3.若,其中、,是虚数单位,则_【答案】【解析】试题分析：由得, ,所以.考点：复数相等、复数的模.4.已知函数,若,且,则的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：由 ,又,所以.考点：1.指数运算；2.
2、基本不等式.5.设等差数列满足,的前项和的最大值为,则=_【答案】【解析】试题分析：由,得公差,所以 故,所以,.考点：等差数列的通项及前n项和.6.若（）,且,则 _【答案】【解析】试题分析：由,中取得.考点：二项式定理7.方程在上的解为_【答案】【解析】试题分析： ，因为，所以 .考点：1.三角变换；2特殊角的三角函数值.8.设变量满足约束条件则的最大值为_【答案】6【解析】试题分析：满足约束条件的可行域是以 、 、为顶点的三角形区域，的最大值为必在顶点处取得，经验证，在点处取得最大值6.主视图左视图俯视图考点：1.线性规划. 9.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为_
3、【答案】【解析】试题分析：由三视图可知该 正三棱柱的底面是边长为4，高为2，故该正三棱柱的表面积为.考点：1.三视图；2.几何体的表面积.10.已知定义在上的单调函数的图像经过点、，若函数的反函数为，则不等式的解集为 【答案】【解析】试题分析：的图像经过点、,则 所以,又是单调函数且,所以是减函数,故也是减函数,所以.即不等式的解集为 考点：1.函数单调性；2.反函数；3.不等式.11.现有张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张.从中任取张,要求这张卡片不能是同一种颜色.则不同取法的种数为_【答案】544【解析】试题分析：用间接方法，符合条件的取法的种数为：.考点：排列与组合12.已
4、知函数，若，关于的方程有三个不相等的实数解，则的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：. 如图在同一坐标系画出与 的图像，问题转化为曲线与直线有三个交点，当直线过 时，当直线与曲线段相切时 所以 .考点：函数与方程.13.在平面直角坐标系中，点列，满足若，则_【答案】【解析】试题分析：两式平方相加得，即，所以，因此是公比为的等比数列，又 ，所以= 考点：等比数列前n项和极限. 14.把正整数排列成如图甲三角形数阵,然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数,得到如图乙的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列,若,则_【答案】【解析】试题分析：图乙中第n行有n个数,且第
5、n行最后一个数为 ,前n行共有个数,由 ,可知2015在第45行,第45行第一个数为,又该行的数从小到大构成公差为2的等差数列,因此 ,所以.考点：1. 三角形数阵；2.等差数列.二选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分15.在中,“”是“”的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件【答案】B 考点：1.解三角形；2. 充分条件与必要条件16.已知平面直角坐标系内的两个向量,且平面内的任一向量都可以唯一的表示成为实数）,则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【
6、解析】试题分析：平面内的任一向量都可以唯一的表示成为实数）的充要条件是,不共线,即,故选D.考点：平面向量的基底及向量共线17.设双曲线（，）的虚轴长为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：由题意可得 ，所以，双曲线的渐近线方程为 ，故选C.考点：双曲线的几何性质.18.在四棱锥中,分别为侧棱,的中点,则四面体的体积与四棱锥的体积之比为（ ）ABCD【答案】C【解析】试题分析：由题意可得 平面 ,所以,故选C. 考点：等积法求棱锥的体积三、解答题（本大题共有5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19.（本题满分12
7、分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分在中,已知,外接圆半径（1）求角的大小；（2）若角,求面积的大小. 【答案】（1）；（2）考点：1.诱导公式及三角变换；2.解三角形.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图，四棱锥的底面为菱形，平面，、分别为、的中点（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积【答案】（1）见试题解析；（2） 【解析】（1）要证明平面,可证明,；（2）由及可得.试题分析：试题解析：（1）连结,由已知得与都是正三角形,所以, （1分）因为,所以,（2分）又平面,所以,（4分）因为,所以平面（6分）因为，（2分）且， （4分
8、）所以，考点：1.线面垂直的证明；2三棱锥的体积.21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分9分某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数与时刻（时）的关系为,其中是与气象有关的参数,且若用每天的最大值为当天的综合污染指数,并记作（1）令,求的取值范围；（2）求的表达式,并规定当时为综合污染指数不超标,求当在什么范围内时,该市市中心的综合污染指数不超标【答案】（1）；（2）,.【解析】试题分析：（1）当时,当时,由,可得,所以的取值范围是；（2）先得出,再根据在时是关于的减函数,在时是增函数,可得,再由,解得.试题解析：（1）
9、当时,； （2分）当时,因为,所以, （4分）即的取值范围是 （5分）（2）当时,由（1）,令,则, （1分）所以 （3分）于是,在时是关于的减函数,在时是增函数,因为,由,所以,当时,； 当时,即 （6分）由,解得 （8分）所以,当时,综合污染指数不超标 （9分）考点：1.函数应用题；2.函数最值22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分已知椭圆（）的焦距为，且椭圆的短轴的一个端点与左、右焦点、构成等边三角形（1）求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆上上任意一点，求的最大值与最小值；（3）试问在轴上是否存在一点，使得对于椭圆上任意一点，到的距离
10、与到直线的距离之比为定值若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为；（3）存在满足条件的点，的坐标为. 【解析】试题分析：（1）由 ，可得椭圆的标准方程为；（2）通过数量积的坐标运算可得，由，得的最大值为，最小值为；（3）先假设存在点，设，到的距离与到直线的距离之比为定值可得，整理得对任意的都成立，令，解得.试题解析：（1）已知， （2分）所以， （3分）所以椭圆的标准方程为 （4分）（2），设，则，（）， （2分）因为，所以，（4分）由，得的最大值为，最小值为 （6分）（3）假设存在点，设，到的距离与到直线的距离之比为定值，则有， （1分）整理得， （
11、2分）由，得对任意的都成立 （3分）令，则由得 由得 由，得 由解得得， （5分）所以，存在满足条件的点，的坐标为 （6分）考点：1.曲线方程的求法；2.数量积的最值；3.定值问题23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分已知函数，其中定义数列如下：，,（1）当时，求，的值；（2）是否存在实数，使，构成公差不为的等差数列？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由；（3）求证：当时，总能找到，使得【答案】（1）1，2，5；（2）存在，使得，构成公差不为的等差数列；（3）见试题解析.【解析】试题分析：（1）当 时由可得，的值分别为1,2,5；
12、（2）假设存在实数，使，构成公差不为的等差数列，由可得关于m的不等式：，求得，经检验满足题意.（3）由,可得，将上述不等式全部相加可得， （5分）因此要使成立，只需，所以，只要取正整数，就有.试题解析：（1）因为，故， （1分）因为，所以，（2分）， （3分） （4分）（2）解法一：假设存在实数，使得，构成公差不为的等差数列 则得到，（2分）因为，成等差数列，所以， 3分所以，化简得，解得（舍）, （5分）经检验，此时的公差不为0，所以存在，使得，构成公差不为的等差数列 （6分）方法二：因为，成等差数列，所以，即， （2分）所以，即因为公差，故，所以解得 （5分）经检验，此时，的公差不为0所以存在，使得，构成公差不为的等差数列 （6分）（3）因为, （2分）又 , 所以令 （3分）由，将上述不等式全部相加得，即， （5分）因此要使成立，只需，所以，只要取正整数，就有综上，当时，总能找到，使得 考点：1.叠加法求通项；2裂项求和；3.数列中得恒成立问题.