1、一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集，集合，则图中阴影部分面积所表示的集合为（ ）A B C D【答案】A考点：维恩图与交并补运算.【易错点晴】本题考查了集合的交并补运算，属于简单题.本题易错点全集为整数集，不是实数集；正确理解阴影的含义，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为.同学们还要注意表示集合的方法描述法，首抓元素形式，是点还是数；再抓元素的属性.空集是特殊集合，在处理子集问题时，要把空集放在首位来考虑.2.命题，函数的值域为；命题，使得的周期小于，则（ ）A且为假命题 B或为假命题 C为假命题 D为真命题【
2、答案】A【解析】试题分析：对于命题，当时，即，故命题为假命题对于命题，的周期，即|，故或，故存在，使得命题成立，所以且为假命题考点：复合命题的真假判断.3.已知,，则（ ）A B C. D 【答案】C【解析】试题分析：不难发现；，故.考点：利用幂指对函数性质比较大小.4.有两条不同的直线与两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A，且，则 B，且，则 C.，且，则 D，且，则【答案】D考点：线面位置关系判定.5.已知，其中.若，则的值等于（ ）111A1 B-1 C. D111【答案】A【解析】试题分析：因为，所以，即所以，即，而，所以，即考点：向量数量积公式与两向量共线的条件、倍角公式及弦切互
3、化公式6.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）A向右平移个单位 B向左平移个单位 C.向右平移个单位 D向左平移个单位【答案】C考点：图象变换.7.在中，分别为角所对应的三角形的边长，若，则（ ）A B C. D【答案】A【解析】试题分析：，,不共线，即，则；故选A考点：向量减法的四边形法则，平面向量的基本定理及余弦定理的综合应用.8.如图所示，在中，为的中点，在线段上，设，则的最小值为（ ）A B8 C.6 D【答案】B【解析】考点：向量共线定理.9.已知实数满足不等式组若目标函数取得最大值时的唯一最优解是，则实数的取值范围为（ ）A B C. D【答案】D【解析】试题分析：由约束条件
4、作出可行域如图，化目标函数为，联立，解得，使目标函数取得最大值时的唯一最优解为，由图可知，实数的取值范围为故选：D考点：线性规划.10.分别是的中线，若，且与的夹角为，则（ ）A B C. D【答案】D考点：数量积定义及其平行四边形法则、三角形法则等基础知识与基本技能.11.已知某几何体的三视图如图所示，俯视图中正方形的边长为2，正视图中直角梯形的两底长为1和2，则此几何体的体积为（ ）A3 B C. D4【答案】B【解析】试题分析：几何体是由正方体截掉两个四棱锥得到.考点：三视图及体积求法. 【思路点晴】本题考查的是三视图及体积的求法，属于中等题.处理三视图的口诀为“长对正，高平齐，宽相等”
5、，通过口诀判断几何体的各个顶点的大致位置，同时要注意特殊的载体，特别是正方体，一些比较难处理的三视图问题，往往可以放到正方体中进行适当的切割即可.本题中的几何体就可以放到正方体中，截去两个四棱锥就是所求.12.设定义在上的连续函数满足：（1） 对任意的实数，都有；（2） 对任意的实数，都有；（3） 当时，；（4） 当时，有（其中为函数的导函数）.则方程在上的根的个数为（ ）A4 B6 C. 8 D10【答案】C考点：函数与导数的综合应用. 1111【方法点晴】本题具有较强的综合性，本题涉及了奇偶性、周期性、单调性、值域等知识，属于中等题.判断函数的零点问题往往转化为两个新函数图像的交点问题.本
6、题涉及的两个函数一个是具体的、一个是抽象的，问题的关键大致勾勒抽象函数，这就需要我们清楚函数的各个性质，其实画图像就是在研究函数的性质，研究顺序为：定义域、对称性、单调性、边界值及特殊点.第卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13. 【答案】【解析】试题分析：原式.1111考点：三角恒等变换.14.数列的前项和为，已知，且对任意正整数，都有，若恒成立，则实数的最小值为 【答案】考点：等比数列.15.在三棱锥中，底面为边长为2的正三角形，顶点在底面上的摄影为的中心，若为的中点，且直线与底面所成角的正弦值为，则三棱锥外接球的表面积为 【答案】【解析】试题分析：定
7、点在底面上的射影为三角形的中心，而且底面是正三角形，三棱锥是正三棱锥，令底面三角形的重心（即中心）为，底面为边长为的正三角形，是边上的高，,直线与底面所成角的正切值为，（勾股定理），于是，三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为，正方体的对角线长为，外接球的半径为外接球的表面积.考点：与球相关的组合体问题.【方法点晴】本题考查的是与球相关的组合体问题，属于中等题.与球相关的切接问题的核心问题是定球心的位置常用的方法：把球心转移到特定平面内，补体转化为特殊几何体与球的位置关系问题.本题通过条件明确出四面体为正四面体，所以我们可以把正四面体请进正方体，问题划归为正
8、方体与外接球问题，问题迎刃而解.16.用表示两个数中的较小的数，设，那么由函数的而图像、轴、直线和直线所围成的封闭图形的面积为 【答案】考点：定积分.【方法点晴】本题考查利用定积分知识求曲边图形面积，属于中等题.根据阴影的形状，我们把它分隔为两部分，一部分与的图象相关、一部分与的图象相关，分别求积分即可.定积分主要应用在这几方面：定义的考查、结合奇偶性考查、直接利用定积分公式求积分、物理意义等.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设函数.（1）证明：；（2）若不等式的解集为非空集，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.（2）函数的图象
9、如图所示.当时，依题意：，解得，的取值范围是.考点：绝对值不等式.18.在中，角所对的边分别为，,且.（1）求角的值；（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.（2）由（1）得，即，又为锐角三角形，故，从而，由，所以，故，所以.由，所以，所以，即.考点：正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的值域.19.如图，三棱锥,分别在线段上,均是等边三角形，且，若为的中点.（1）求证；（2）为何值时，.【答案】（1）证明见解析；（2）.（2）为的中点，且，故，要使，则需，延长交于，则，即时，.考点：线面垂直转化.20.某公司生产的某批产品的销售量万件（生产量与销售量
10、相等）与销售费用万元满足（其中为正常数）.已知生产该批产品还要投入成本万元（不包含销售费用），产品的销售价格定为元/件.（1）将该产品的利润万元表示为销售费用万元的函数；（2）当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？【答案】（1）；（2）当时，销售费用投入万元时，该公司的利润最大；当时，销售费用投入万元时，该公司的利润最大.（2）当且仅当时，取等号当时，销售费用投入万元时，该公司的利润最大当时，此时函数在上单调递增所以当时，函数在上单调递增所以时，函数有最大值，即销售费用投入万元时，该公司的利润最大综上，当时，销售费用投入万元时，该公司的利润最大；当时，销售费用投入万元时，该公司的利润最大
11、.考点：函数模型的选择与应用.21.已知数列中，.（）求证：数列是等比数列；求数列的通项公式；（）设，若，使成立，求实数的取值范围.【答案】（I）证明见解析；（II）.试题解析：（）证明：，.数列是首项、公比均为的等比数列.解：是等比数列，首项为，通项，故，当时，符合上式.数列的通项公式为.考点：递推关系、等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”方法、“累加求和”方法、数列的单调性、不等式的解法.【思路点睛】数列两大核心问题：数列的项与数列的前项和.本题第一问证明数列为等比数列，主要有两种方式，利用等比定义证明或数列任三项满足等比中项（各项均不为零），第二问求递推数列的通项，考查了累加法，常用
12、方法还有：累乘法、待定系数法、取倒数法、取对数法等等，第三问数列求和问题，通项结构为分式型，一般考察的是裂项求和法；后面恒成立问题转化为最值问题.22.已知函数.（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；111（2）设，且对于任意的，试比较与的大小.【答案】（1）最大值是，最小值为；（2）.所以函数在区间仅有极大值点，故这个极大值点也是最大值点，故函数在上的最大值是，又，故，故函数在上的最小值为.（2）由题意，函数在处取到最小值，又设的两个根为，则不妨设，则在单调递减，在单调递增，故，考点：函数与导数的综合应用.【思路点睛】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题第一问给出了两个参数的值，求最值问题就转化为研究单调性及极值问题；第二问条件隐含了函数的最小值，通过研究函数的最值明确字母间的关系，然后构造新函数，二元转一元，问题就转化为最值与零的关系.