1、高考仿真测试(七)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(2014贵州贵阳适应性监测,1)设集合A=x|-1x2,集合B为函数y=lg(x-1)的定义域,则AB=()A.(1,2)B.1,2C.1,2)D.(1,2解析:由题意,得B=x|x1,所以AB=(1,2,故选D.答案:D2.(2014河北衡水中学第二次调研,2)在复平面内,复数-2+3i3-4i(i是虚数单位)所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:-2+3i3-4i=(-2+3i)(3+4i)(3-4i)(3+4i)=-18+i25
2、=-1825+125i,-1825+125i对应的点为-1825,125,在第二象限,故选B.答案:B3.(2014东北三校一模,3)命题“xR,x2-3x+20”的否定是()A.xR,x2-3x+20C.xR,x2-3x+20D.xR,x2-3x+20解析:全称命题的否定是特称命题,“”改为“”,“”改为“0,即k0时,A,B两点都可能是最优点,但代入后检验都矛盾;当-k0时,显然点A(4,4)是最优解,代入后可得k=94.答案:C6.(2014辽宁大连双基测试,6)执行如图所示的程序框图,若n=2,a1=1,a2=2,则输出的s等于()A.1B.32C.2D.3解析:依题意得,当n=2,a
3、1=1,a2=2,执行第一次循环时,i=12,此时结束循环,故输出的s=32,选B.答案:B7.(2014河南新乡许昌平顶山第二次调研,8)已知函数f(x)=ex,如果x1,x2R,且x1x2,下列关于f(x)的性质:(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,f(x1)+f(x2)1,根据指数函数的性质可得f(x)=ex为定义域内的增函数,故正确;f(x1)+f(x2)=ex1+ex22ex1ex2=2ex1+x2=2fx1+x22,故错误;画出函数f(x)=ex和y=x2的图象可知,两函数图象在(0,+)内无交点,故正确.结合选项可知,选B.答案:B8.(2014安徽高考,文10)设a,b为非
4、零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成,若x1y1+x2y2+x3y3+x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为()A.23B.3C.6D.0解析:设a与b的夹角为.x1y1+x2y2+x3y3+x4y4有以下三种可能:2aa+2bb=2|a|2+2|b|2=10|a|2;4ab=4|a|2|a|cos =8|a|2cos ;aa+2ab+bb=|a|2+2|a|b|cos +|b|2=5|a|2+4|a|2cos .由此易知最小,则8|a|2cos =4|a|2,解得cos =12,=3.答案:B9.(2
5、014课标全国高考,文10)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=54x0,则x0=()A.1B.2C.4D.8解析:由抛物线方程y2=x知,2p=1,p2=14,即其准线方程为x=-14.因为点A在抛物线上,由抛物线的定义知|AF|=x0+p2=x0+14,于是54x0=x0+14,解得x0=1,故选A.答案:A10.(2014云南第一次统测,11)函数f(x)=lnx-2xx的图象在点(1,-2)处的切线方程为()A.2x-y-4=0B.2x+y=0C.x-y-3=0D.x+y+1=0解析:f(x)=1-lnxx2,则f(1)=1,故该切线方程为y-(-2
6、)=x-1,即x-y-3=0.答案:C二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.已知向量a,b满足|a|=2|b|0,且关于x的函数f(x)=13x3+12|a|x2+abx在R上有极值,则向量a,b的夹角的取值范围是.解析:设a,b的夹角为.f(x)=13x3+12|a|x2+|a|b|cos x=13x3+12|a|x2+12|a|2cos x,f(x)=x2+|a|x+12|a|2cos ,函数f(x)有极值,f(x)=0有2个不同的实根,=|a|2-2|a|2cos 0,即1-2cos 0,cos 12,30,b0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p0)的焦
7、点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为.解析:由已知得|OA|=a,|AF|=c,|OF|=|AF|2-|OA|2=c2-a2=b2=b,b=p2.抛物线的准线y=-p2=-b.把y=-b代入双曲线x2a2-y2b2=1得x2=2a2,直线y=-p2被双曲线截得的线段长为22a,从而22a=2c.c=2a,a2+b2=2a2,a=b,渐近线方程为y=x.答案:y=x15.(2014河南新乡许昌平顶山第二次调研,16)如图,将正整数排成三角形数阵,每排的数称为一个群,从上到下顺次为第1群,第2群,第n群,第n群恰好有n个数,则第n群中n个数的和是.
8、解析:根据规律观察可得每排的第一个数1,2,4,8,16,构成以1为首项,以2为公比的等比数列,所以第n群的第一个数是2n-1,第n群的第2个数是32n-2,第n群的第n-1个数是(2n-3)21,第n群的第n个数是(2n-1)20,所以第n群的所有数之和为2n-1+32n-2+(2n-3)21+(2n-1)20,根据错位相减法求和得其和为32n-2n-3.答案:32n-2n-3三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)已知等比数列an的前n项和为Sn,且a1+a3=52,a2+a4=54,求Snan的值.解:设an的公比为q,a1
9、+a3=52,a2+a4=54,a1+a1q2=52,a1q+a1q3=54.3分由可得1+q2q+q3=2,q=12,代入得a1=2,an=212n-1=42n.8分Sn=21-12n1-12=41-12n,Snan=41-12n42n=2n-1.12分17.(本小题满分12分)(2014贵州贵阳适应性监测,17)已知向量a=(sin x,-1),b=3cosx,-12,函数f(x)=(a+b)a-2.(1)求函数f(x)的最小正周期T;(2)已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,其中A为锐角,a=23,c=4,且f(A)=1,求ABC的面积S.解:(1)f(x)=(a+b)a-2
10、=|a|2+ab-2=sin2x+1+3sin xcos x+12-2=1-cos2x2+32sin 2x-12=32sin 2x-12cos 2x=sin2x-6.因为=2,所以T=22=.(2)f(A)=sin2A-6=1.因为A0,2,2A-6-6,56,所以2A-6=2,A=3.9分又a2=b2+c2-2bccos A,所以12=b2+16-24b12,即b2-4b+4=0,则b=2.从而S=12bcsin A=1224sin 60=23.12分18.(本小题满分12分)(2014河北衡水中学第二次调研,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABC=ACD=90,BAC=CAD=60,P
11、A平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2.(1)求证:CE平面PAB;(2)求四面体PACE的体积.(1)证明:法一:取AD的中点M,连接EM,CM,则EMPA.因为EM平面PAB,PA平面PAB,所以EM平面PAB.2分在RtACD中,CAD=60,CM=AM,所以ACM=60,而BAC=60,所以MCAB.3分因为MC平面PAB,AB平面PAB,所以MC平面PAB.4分又因为EMMC=M,所以平面EMC平面PAB,因为EC平面EMC,所以EC平面PAB.6分法二:延长DC,AB交于N点,连接PN.因为NAC=DAC=60,ACCD,所以C为ND的中点.3分因为E为PD的中点,所以E
12、CPN,因为EC平面PAB,PN平面PAB,所以EC平面PAB.6分(2)解:法一:由已知条件有AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD=23,7分因为PA平面ABCD,所以PACD.8分又因为CDAC,ACPA=A,所以CD平面PAC.10分因为E是PD的中点,所以点E到平面PAC的距离h=12CD=3,SPAC=1222=2.所以四面体PACE的体积V=13SPACh=1323=233.12分法二:由已知条件有AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD=23.因为PA平面ABCD,所以VP-ACD=13SACDPA=13223=433,10分因为E是PD的中点,所以四面体PACE的体积V=1
13、2VP-ACD=233.12分19.(本小题满分12分)(2014北京高考,文18)从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:组号分组频数10,2)622,4)834,6)1746,8)2258,10)25610,12)12712,14)6814,16)2916,18)2合计100(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率;(2)求频率分布直方图中的a,b的值;(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.(只需
14、写出结论)解:(1)根据频数分布表,100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名,所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1-10100=0.9.从该校随机选取一名学生,估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.4分(2)课外阅读时间落在组4,6)的有17人,频率为0.17,所以a=频率组距=0.172=0.085.课外阅读时间落在组8,10)的有25人,频率为0.25,所以b=频率组距=0.252=0.125.8分(3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组.12分20.(本小题满分13分)(2014云南第一次统测,20)已知F1,F2分别是椭圆
15、E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,P是椭圆E上的点,以F1P为直径的圆经过F2,PF1PF2=116a2.直线l经过F1,与椭圆E交于A,B两点,F2与A,B两点构成ABF2.(1)求椭圆E的离心率;(2)设F1PF2的周长为2+3,求ABF2的面积S的最大值.解:(1)F1,F2分别是椭圆E的左、右焦点,P是椭圆E上的点,以F1P为直径的圆经过F2,PF2x轴,|PF2|=b2a.2分又PF1PF2=116a2,b4a2=116a2,即b2a=14a,4分a2=4b2,即a2=4(a2-c2),化简得3a2=4c2,ca=32,椭圆E的离心率等于32.6分(2)F1PF2的周
16、长为2+3,2a+2c=2+3.解方程组2a+2c=2+3,ca=32,得a=1,c=32,b2=14,椭圆E的方程为x2+4y2=1.8分当直线l的斜率不存在时,ABF2的面积S=122b2a2c=34.当直线l的斜率存在时,设为k,由F2与A,B两点构成ABF2得到k0.由已知得直线l的方程为y=kx+32,即2kx-2y+3k=0,F232,0到直线l的距离d=3|k|1+k2.由y=kx+32,x2+4y2=1,得(1+4k2)x2+43k2x+3k2-1=0,x1+x2=-43k21+4k2,x1x2=3k2-11+4k2.|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=2(1+k2
17、)1+4k2.S=12|AB|d=3|k|1+k21+4k2=3|k|1+4k21+k21+4k2123k21+4k2+1+k21+4k2=12.10分此时,ABF2的面积S的最大值为12.又1234,ABF2的面积S的最大值等于12.13分21.(本小题满分14分)(2014山西四校第三次联考,20)已知函数f(x)=ax2+x-xln x.(1)若a=0,求函数f(x)的单调区间;(2)若f(1)=2,且在定义域内f(x)bx2+2x恒成立,求实数b的取值范围.解:(1)当a=0时,f(x)=x-xln x,函数定义域为(0,+).f(x)=-ln x,由-ln x=0,得x=1.3分当x(0,1)时,f(x)0,f(x)在(0,1)上是增函数;当x(1,+)时,f(x)0,b1-1x-lnxx恒成立.9分令g(x)=1-1x-lnxx,可得g(x)=lnxx2,g(x)在(0,1上单调递减,在1,+)上单调递增,g(x)min=g(1)=0,b的取值范围是(-,0.14分
