1、专题能力训练7导数与函数的单调性、极值、最值能力突破训练1.已知a0,函数f(x)=(x2-2ax)ex.若f(x)在-1,1上是单调递减函数,则a的取值范围是()A.0a34B.12a34C.a34D.0a0时,xf(x)-f(x)0成立的x的取值范围是()A.(-,-1)(0,1)B.(-1,0)(1,+)C.(-,-1)(-1,0)D.(0,1)(1,+)3.(2015福建高考)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f(x)满足f(x)k1,则下列结论中一定错误的是()A.f1k1k-1C.f1k-1kk-14.已知常数a,b,c都是实数,f(x)=ax3+bx2+cx-
2、34的导函数为f(x),f(x)0的解集为x|-2x3.若f(x)的极小值等于-115,则a的值是()A.-8122B.13C.2D.55.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为.6.在曲线y=x3+3x2+6x-1的切线中,斜率最小的切线方程为.7.设函数f(x)=aex+1aex+b(a0).(1)求f(x)在0,+)上的最小值;(2)设曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=32x,求a,b的值.8.设函数f(x)=x3-kx2+x(kR).(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当k1,函数f(x)=(1+x2)ex-a.
3、(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)在(-,+)上仅有一个零点;(3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点),证明:m3a-2e-1.10.已知函数f(x)=13x3+1-a2x2-ax-a,xR,其中a0.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;(3)当a=1时,设函数f(x)在区间t,t+3上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间-3,-1上的最小值.思维提升训练11.若0x1x2ln x2-ln x1B
4、.ex2-ex1x1ex2D.x2ex10时,若f(x)kx+1恒成立,求整数k的最大值.14.已知函数f(x)=ln x-12ax2+x,aR.(1)若f(1)=0,求函数f(x)的单调递减区间;(2)若关于x的不等式f(x)ax-1恒成立,求整数a的最小值;(3)若a=-2,正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,求证:x1+x25-12.15.(2015安徽合肥高三一模)设函数f(x)=x3-3ax2+3(2-a)x,aR.(1)求f(x)的单调递增区间.(2)若y=f(x)的图象与x轴相切于原点,当0x2x1时,f(x1)=f(x2).求证:x1+x28.参考答案能力
5、突破训练1.C解析:(方法一)当a=1时,f(x)=(x2-2x)ex,f(x)=(2x-2)ex+(x2-2x)ex=ex(x2-2),当-1x1时,x2-20,f(x)0时,令F(x)=f(x)x,则F(x)=xf(x)-f(x)x20时,F(x)=f(x)x为减函数.f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0.在区间(0,1)上,F(x)0;在(1,+)上,F(x)0,即当0x0;当x1时,f(x)0;当x(-1,0)时,f(x)0的解集为(-,-1)(0,1).故选A.3.C解析:构造函数F(x)=f(x)-kx,则F(x)=f(x)-k0,函数F(x)在R上
6、为单调递增函数.1k-10,F1k-1F(0).F(0)=f(0)=-1,f1k-1-kk-1-1,即f1k-1kk-1-1=1k-1,f1k-11k-1,故C错误.4.C解析:依题意得f(x)=3ax2+2bx+c0的解集是-2,3,于是有3a0,-2+3=-2b3a,-23=c3a,则b=-3a2,c=-18a.函数f(x)在x=3处取得极小值,于是有f(3)=27a+9b+3c-34=-115,则-812a=-81,解得a=2.故选C.5.(-,-1)(2,+)解析:f(x)=3x2+6ax+3(a+2),由题意知f(x)=0有两个不相等的实根,则=(6a)2-433(a+2)0,即a2
7、-a-20,解得a2或a0,即x-ln a时,f(x)在(-ln a,+)上单调递增;当f(x)0,即x-ln a时,f(x)在(-,-ln a)上单调递减.当0a0,f(x)在(0,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+)上单调递增,从而f(x)在0,+)内的最小值为f(-ln a)=2+b;当a1时,-ln a0,f(x)在0,+)上单调递增,从而f(x)在0,+)上的最小值为f(0)=a+1a+b.(2)依题意f(2)=ae2-1ae2=32,解得ae2=2或ae2=-12(舍去).所以a=2e2,代入原函数可得2+12+b=3,即b=12.故a=2e2,b=12.8.解:f(x)=
8、3x2-2kx+1.(1)当k=1时,f(x)=3x2-2x+1,=4-12=-80,f(x)在R上单调递增,即f(x)的单调递增区间为(-,+),f(x)没有单调递减区间.(2)当k0时,f(x)=3x2-2kx+1,其开口向上,对称轴为直线x=k3,且过点(0,1).当=4k2-12=4(k+3)(k-3)0,即-3k0,即k-3时,令f(x)=3x2-2kx+1=0,解得x1=k+k2-33,x2=k-k2-33,注意到kx2x1k,从而kx2x10,f(x)的最小值m=f(k)=k.f(x2)-f(-k)=x23-kx22+x2-(-2k3-k)=(x2+k)(x2-k)2+k2+10
9、,f(x)的最大值M=f(-k)=-2k3-k.综上所述,当k1,f(0)=1-a1+a2-a2a-a=a0.函数f(x)在区间(0,a)上存在零点.又由(1)知函数f(x)在(-,+)上单调递增,函数f(x)在(-,+)上仅有一个零点.(3)由(1)及f(x)=0,得x=-1.又f(-1)=2e-a,即P-1,2e-a,kOP=2e-a-0-1-0=a-2e.又f(m)=(1+m)2em,(1+m)2em=a-2e.令g(m)=em-m-1,则g(m)=em-1,由g(m)0,得m0,由g(m)0,得m0.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,-1)-1(-1,a)a(a,
10、+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值故函数f(x)的单调递增区间是(-,-1),(a,+);单调递减区间是(-1,a).(2)由(1)知f(x)在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,从而函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点当且仅当f(-2)0,f(0)0,解得0a0,且x趋近于0时,xex-10,因此在(0,1)上必然存在x1x2,使得f(x1)=f(x2),因此A,B不正确.设g(x)=exx,当0x1时,g(x)=(x-1)exx2g(x2),即ex1x1ex2x2,所以x2ex1x1ex2.故选C.12.1.2解析:以梯形的下底为x轴,上、下底边的中
11、点连线为y轴,建立如图所示的坐标系,设抛物线的方程为y=ax2,则抛物线过点(5,2),故2=25a,得a=225,故抛物线的方程为y=225x2.最大流量的比,即截面的面积比,由图可知,梯形的下底长为6 m,故梯形的面积为(10+6)22=16(m2),而当前的截面面积为205 2-225x2dx=22x-2325x3|05=403(m2),故原始流量与当前流量的比为16403=1.2.13.解:(1)由f(x)=1+ln(x+1)x,知x(-1,0)(0,+).f(x)=-1+(x+1)ln(x+1)x2(x+1).令h(x)=1+(x+1)ln(x+1),则h(x)=1+ln(x+1).
12、令h(x)=0,得x=1e-1,易得h(x)在-1,1e-1内单调递减,在1e-1,+上单调递增.h(x)min=h1e-1=1-1e0,f(x)0时,f(x)kx+1恒成立,则k0)(x)=-xx+10,(3)=2ln 2-20.则f(x)=1x-2x+1=-2x2+x+1x(x0).令f(x)0.又x0,所以x1.所以f(x)的单调递减区间为(1,+).(2)(方法一)令g(x)=f(x)-(ax-1)=ln x-12ax2+(1-a)x+1,则g(x)=1x-ax+(1-a)=-ax2+(1-a)x+1x.当a0时,因为x0,所以g(x)0.所以g(x)在(0,+)上是增函数,又g(1)
13、=ln 1-12a12+(1-a)+1=-32a+20,所以关于x的不等式f(x)ax-1不能恒成立.当a0时,g(x)=-ax2+(1-a)x+1x=-ax-1a(x+1)x(x0),令g(x)=0,得x=1a.所以当x0,1a时,g(x)0;当x1a,+时,g(x)0,h(2)=14-ln 20,又h(a)在a(0,+)上是减函数,且a为整数,所以当a2时,h(a)0.所以整数a的最小值为2.(方法二)由f(x)ax-1恒成立,得ln x-12ax2+xax-1在(0,+)上恒成立,问题等价于alnx+x+112x2+x在(0,+)上恒成立.令g(x)=lnx+x+112x2+x,因为g(
14、x)=(x+1)-12x-lnx12x2+x2,令g(x)=0,得-12x-ln x=0.设h(x)=-12x-ln x,因为h(x)=-12-1x0;当x(x0,+)时,g(x)0,h(1)=-120,所以12x01,此时11x00.由f(x1)+f(x2)+x1x2=0,得ln x1+x12+x1+ln x2+x22+x2+x1x2=0,从而(x1+x2)2+x1+x2=x1x2-ln(x1x2).令t=x1x2(t0),(t)=t-ln t,则(t)=t-1t.可知,(t)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+)上单调递增.所以(t)(1)=1,所以(x1+x2)2+x1+x21,因
15、此x1+x25-12或x1+x2-5-12(舍去).15.解:(1)f(x)=3x2-6ax+3(2-a),=36(a2+a-2)=36(a+2)(a-1).当a1时,由f(x)=0得x=aa2+a-2.f(x)的单调递增区间为(-,a-a2+a-2),(a+a2+a-2,+).当-2a1时,f(x)的单调递增区间为(-,+).(2)证明:f(x)=3x2-6ax+3(2-a),由f(0)=0,得a=2.即f(x)=x3-6x2,f(0)=0.由(1)知f(x)在(-,0),(4,+)上单调递增,在(0,4)内单调递减,则a=2符合题设.(方法一)f(x1)=f(x2),0x2x1,0x24,则8-x24,而f(x2)-f(8-x2)=(2x2-8)(x2-4)20.f(x2)f(8-x2).又f(x1)=f(x2),f(x1)f(8-x2),f(x)在(4,+)上单调递增,故x18-x2,即x1+x28.(方法二)由f(x1)=f(x2),得x13-6x12=x23-6x22,化简,得(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=6(x1+x2)(x1-x2).0x2(x1+x2)2-(x1+x2)24=34(x1+x2)2,6(x1+x2)34(x1+x2)2,解得x1+x28.8
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