1、第二章解析几何初步1直线与直线的方程11直线的倾斜角和斜率知识点一直线倾斜角 填一填1直线的确定在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向2倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角；通常倾斜角用表示，如图和所示(2)范围：如图所示，当直线l与x轴平行时，它的倾斜角为0.倾斜角的取值范围为0180.(3)作用：在平面直角坐标系中，直线的倾斜角刻画了直线倾斜的程度，即用角表示直线的倾斜程度答一答1每一条直线都有唯一的倾斜角吗？提示：直线的倾斜角是分两种情
2、况定义的：第一种是与x轴相交的直线；第二种是与x轴平行或重合的直线，此时构不成角，所以定义为0，作了这样的定义之后，就可以使平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角了2若0180，任给定一个角，有多少条直线与之对应？提示：有无数条，这无数条直线互相平行知识点二 斜率 填一填1斜率(1)定义：直线的倾斜角的正切值叫作这条直线的斜率通常用小写字母k表示，即ktan.直线的斜率的取值范围是R.倾斜角是90的直线没有斜率(2)符号：当倾斜角090时，斜率0，倾斜角越大，直线的斜率就越大当倾斜角90180时，斜率0，倾斜角越大，直线的斜率就越大(3)公式：在直线上任取两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，
3、y2)(x1x2)，过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率公式为k.2斜率与倾斜角的对应关系答一答3是否所有直线都有斜率？斜率的几何意义是什么？提示：不一定当直线与x轴垂直时，直线不存在斜率斜率决定直线相对于x轴的倾斜程度4直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大，这句话对吗？提示：这句话不对，当倾斜角0时，k0，当00，并且随的增大，k也增大，当90时，k不存在，当90180时，k0，并且随的增大，k也增大5斜率公式与所选取的两点的顺序是否有关？为什么？提示：斜率公式与所选取的两点的顺序无关，即两点的横坐标和纵坐标在公式中的次序可以同时调换，即k(x1x2)，但只颠倒其中一个的顺序
4、是不行的6过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的所有直线都有斜率吗？提示：不是，当x1x2，y1y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90.1倾斜角理解倾斜角的概念，需注意以下三个方面：角的顶点是直线与x轴的交点；角的一条边的方向是指向x轴正方向；角的另一边的方向是由顶点指向直线向上的方向2斜率公式(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换这就是说，如果分子是y2y1，分母必须是x2x1；反过来，如果分子是y1y2，分母必须是x1x2，即k(x1x2)(2)用斜率公式时要一看、二用、三求值一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜
5、率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论.类型一 直线的倾斜角 【例1】设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()A45B135C135D当0135时倾斜角为45，当135180时倾斜角为135【思路探究】【解析】由倾斜角的范围知只有当045180，即0135时，l1的倾斜角才是45；而0180，所以当135180时，l1的倾斜角为135，如图所示，故选D.【答案】D规律方法 研究直线的倾斜角，必须明确倾斜角的范围是01
6、80，否则将造成角度范围的扩大，产生不符合范围的角度如对不分类，选项A将出现大于等于180的角；选项B，C将出现小于0的角已知直线l的倾斜角为，090，若l绕着它与x轴的交点A顺时针旋转90，得到直线l1，那么l1的倾斜角为多少？解：如下图所示，直线l1的倾斜角为90.类型二 斜率的概念 【例2】已知l1的倾斜角45，若直线l2的斜率k2与直线l1的斜率k1，满足k1k20，求l2的倾斜角【思路探究】由l1的倾斜角可知l1的斜率，从而可求l2的斜率，再由斜率的定义求倾斜角【解】l1的倾斜角为45，k1tan451.又k1k20，k21，即tan1(为l2的倾斜角)，0，180)，135.规律方
7、法 求倾斜角一般先求直线的斜率，然后由倾斜角的范围，进一步确定求倾斜角为下列数值的直线的斜率(1)45；(2)120；(3)0.解：(1)ktan451；(2)ktan120tan(18060)tan60；(3)ktan00.类型三 斜率公式 【例3】如图所示，直线l1，l2，l3，l4都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3，l4分别经过点Q1(2，1)，Q2(4，2)，Q3(3，2)，Q4(3,0)，试计算直线l1，l2，l3，l4的斜率【思路探究】【解】设直线l1，l2，l3，l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4.直线l1过点P(3,2)，Q1(2，1)，k1，直线l2过点P(3,2)
8、，Q2(4，2)，k24，直线l3过点P(3,2)，Q3(3,2)，k30，直线l4过点P(3,2)，Q4(3,0)且P(3,2)，Q4(3,0)的横坐标相等，直线l4斜率不存在，直线l1，l2，l3的斜率分别为，4,0，直线l4的斜率不存在规律方法 在应用直线的斜率公式时，要特别注意横、纵坐标的位置，否则可能因坐标位置的原因而出现不应有的错误例如过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率k绝对不可写为k或k的形式已知直线l1与l2向上的方向所成的角为100，若l1的倾斜角为20，求直线l2的斜率解：如图，设直线l2的倾斜角为，斜率为k，则10020120，ktanta
9、n120.直线l2的斜率为.类型四 三点共线问题 【例4】已知A(1,2)，B(1,0)，C(3,4)三点，这三点是否在同一条直线上，为什么？【思路探究】分别求出直线AB，AC的斜率，看是否相等【解】A(1,2)，B(1,0)，C(3,4)，经过A，B两点的直线的斜率kAB1，经过A，C两点的直线的斜率kAC1，kABkAC.又直线AB与AC经过同一点A，A，B，C三点在同一条直线上规律方法 已知三点A，B，C，判断是否共线，只要直线AB，BC，AC中任意两条直线的斜率相等即可(斜率存在时)解题过程中，要注意说明两条直线经过同一点若A(2,3)，B(3，2)，C三点共线，则m的值为(A)A.B
10、C2 D2解析：设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC，则由过两点的直线的斜率公式，得kAB1，kBC(m2)A，B，C三点共线，kABkBC，即(m2)1，解得m.类型五 斜率公式的应用 【例5】已知两点A(3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角的取值范围【解】如图所示，由题意可知kPA1，kPB1.(1)要使l与线段AB有公共点，故直线l的斜率k的取值范围是(，11，)(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45，PA的倾斜角是135，故的取值范围是45135.规律
11、方法 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式ktan(90)解决(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k(x1x2)求解(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解已知A(3,3)，B(4,2)，C(0，2)，(1)求直线AB和AC的斜率(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围解：(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB.直线AC的斜率kAC.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.易错警示系列对斜率的变化情况判断错误【例6】如下图所示，已知点
12、A(2,3)，B(3,2)，P(0，2)，过点P的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的变化范围【错解】因为kPB，kPA，所以k的变化范围是.【错因分析】对斜率k与倾斜角间的变化关系理解得不准确【正解】直线l从PB位置逆时针转到PA位置的过程中，其倾斜角从锐角1连续变大到钝角2，其斜率从kPB逐渐变大到，又从逐渐增大到kPA，其中当倾斜角为90时，斜率k不存在因为kPB，kPA，所以k的变化范围为.已知过点P(1，)的直线l与y轴的正半轴没有公共点，求直线l的倾斜角的取值范围解：如图，可知直线l与y轴的正半轴没有公共点可分为两种情况：(1)直线l的倾斜角小于或等于直线OP的倾斜角，因为
13、kOP，所以直线OP的倾斜角为60，此时直线l的倾斜角的取值范围是0，60(2)直线l的倾斜角大于或等于90时，也满足题意，此时直线l的倾斜角的取值范围是90，180)综上所述，直线l的倾斜角的取值范围是0，6090，180)一、选择题1已知直线l的倾斜角30，则其斜率k的值为(B)A0 B. C. D1解析：ktan30.2若直线l经过点M(2,3)，N(2，1)，则直线l的倾斜角为(D)A0 B30 C60 D90解析：M，N的横坐标相同，所以l的倾斜角为90.3已知直线l的斜率k满足1k1，则它的倾斜角的取值范围是(D)A4545B4545C045或135180D045或135180二、
14、填空题4已知点P(3,2)，点Q在x轴上，若直线PQ的倾斜角为150，则点Q的坐标为(32，0)解析：设Q(x,0)，则由tan150可求之三、解答题5如右图，已知ABC三个顶点坐标A(2，1)，B(1,1)，C(2,4)，求三边所在直线的斜率，并根据斜率求这三条直线的倾斜角解：由斜率公式知直线AB的斜率kAB0.直线BC的斜率kBC1.由于点A，C的横坐标均为2，所以直线AC的倾斜角为90，其斜率不存在又0，180)时，tan00，AB的倾斜角为0，tan135tan451，BC的倾斜角为135.直线AB的斜率为0，倾斜角为0；直线BC的斜率为1，倾斜角为135；直线AC的斜率不存在，倾斜角为90.