1、2.2平面向量的线性运算22.1向量加法运算及其几何意义目标 1.通过实例知道向量加法的由来2.记住向量加法定义，并会用三角形法则及平行四边形法则求两个向量的和，体会其几何意义3.会用向量加法的交换律和结合律，能够进行向量化简运算重点 向量加法的三角形法则及平行四边形法则难点 向量加法的几何意义知识点一 向量的加法 填一填1定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法2三角形法则前提：已知非零向量a，b，作法与图示：(1)在平面内任取一点A.(2)作a，b，再作向量.(3)向量叫做a与b的和，记作ab，即ab.3平行四边形法则前提：已知不共线的向量a，b，作法与图示：(1)在平面内任取一点O.(2
2、)以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作OACB.(3)对角线就是a与b的和即ab.答一答1两向量和的三角形法则的实质是什么？能否推广到多个向量和的多边形法则？提示：两向量和的三角形法则的实质是两向量“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即为两向量的和可以推广到多个向量和的多边形法则，即An1An.2向量加法的三角形法则和平行四边形法则之间有什么关系？它们各自的适用条件是什么？提示：当向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半，从某种意义上讲，三角形
3、法则是平行四边形法则的简化向量共线时，平行四边形法则不再适用由于向量共线，因此也不能构成三角形，但由于三角形法则运用时要求“首尾相接”，这一点对共线向量仍然适用3如图，在正六边形ABCDEF中，.解析：，.知识点二 向量加法的运算律 填一填1交换律：abba.2结合律：(ab)ca(bc)答一答4化简下列各式(1)；(2)0.解析：(1).(2)()0.类型一 向量加法的法则 例1(1)如图所示，求作向量和ab.(2)如图所示，求作向量和abc.解(1)首先作向量a，然后作向量b，则向量ab.如图所示 (2)方法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量a，再作向量b，则得向量
4、ab，然后作向量c，则向量(ab)cabc即为所求方法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量a，b，c，以OA，OB为邻边作OADB，连接OD，则ab，再以OD，OC为邻边作ODEC，连接OE，则abc即为所求利用向量的三角形法则求ab，务必使它们的“首尾顺次连接”；利用平行四边形法则求ab，务必使它们的起点重合.变式训练1已知两非零向量a，b(如图所示)，求作ab.解：如图所示：在平面内任取一点O，作a，b，则ab.类型二 向量加法的运算 例2(1)化简：；.(2)如图，已知O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：；.分析根据加法的交换律使各向量首尾相接，再运用向
5、量的结合律，调整向量顺序相加解(1)；0.(2)由题图知，OAFE为平行四边形，；由题图知，OABC为平行四边形，；由题图知，AEDB为平行四边形，.在向量的加法运算中，通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过加法的结合律调整向量相加的顺序，可以省去画图步骤，加快解题速度.变式训练2如图，已知四边形ABCD是平行四边形，且E，F，G，H分别是所在边的中点，点O是对角线的交点，则下列各式中正确的有.； ； .解析：由向量加法的平行四边形法则，知.又，正确，.，.而，不正确，.，正确，而，不正确类型三 向量加法的应用 命题视角1：向量在平面几何中的应用例3用向量方法证明对角线互相平分的四边
6、形是平行四边形证明如图，根据向量加法的三角形法则有，.又，.ABDC且ABDC，即AB与DC平行且相等四边形ABCD是平行四边形要证四边形是平行四边形，只需证一组对边平行且相等.根据向量相等的意义，只需证其一组对边对应的向量相等即可.此问题是纯文字叙述的问题，首先应转化为符号语言描述.变式训练3在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上，分别取点F，E，使BEDF(如图)，用向量的方法证明四边形AECF也是平行四边形证明：，又，即AE，FC平行且相等故四边形AECF是平行四边形命题视角2：向量加法的实际应用例4长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输如图所示，一艘船从长江南
7、岸A点出发，以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5 km/h.(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度方向间的夹角表示)解 (1)如图所示，表示船速，表示江水速度易知ADAB，以AD，AB为邻边作矩形ABCD，则表示船实际航行速度(2)在RtABC中，|5，|5，所以|10.因为tanCAB，所以CAB60.因此，船实际航行的速度大小为10 km/h，方向与江水速度方向间的夹角为60.向量应用题要首先画出图形.解决的步骤是：(1)将应用问题中的量抽象成向量；(2)化归为向量问题，进行向量运算；(3)将向
8、量问题还原为实际问题.变式训练4某人在静水中游泳，速度为4千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？解：如图，设此人的实际速度为，水流速度为，游速为，则，在RtAOD中，|4，|4，则|4，cosDAO.故此人沿向量的方向游(即逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为)，实际前进的速度大小为4千米/小时1在四边形ABCD中，则(D)AABCD一定是矩形BABCD一定是菱形CABCD一定是正方形DABCD一定是平行四边形解析：由知，由A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形2下列等式不成立的是(C)A0aaBabbaC.
9、2 D.解析：对于C，与方向相反，0.3化简()().解析：原式()().4若a“向北走8 km”，b“向东走8 km”，则|ab|8 km；ab的方向是东北方向解析：由向量加法的平行四边形法则，知|ab|8，方向为东北方向5如图，在ABC中，O为重心，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，化简下列三式：(1)；(2)；(3).解：(1).(2)().(3).本课须掌握的三大问题1三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则2向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行3向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量