1、题型练8大题专项(六)函数与导数综合问题1.已知函数f(x)=ax-1x-2ln x(aR).(1)若a=2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)设函数g(x)=-ax.若至少存在一个x01,e,使得f(x0)g(x0)成立,求实数a的取值范围.2.已知f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2.(1)若函数g(x)的单调递减区间为-13,1,求函数g(x)的解析式;(2)在(1)的条件下,求函数y=g(x)的图象在点P(-1,1)处的切线方程;(3)若不等式2f(x)g(x)+2恒成立,求实数a的取值范围.3.(2015江苏高考)已知函数f(x)=x3+ax2+
2、b(a,bR).(1)试讨论f(x)的单调性;(2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(-,-3)1,3232,+,求c的值.4.(2015四川高考)已知函数f(x)=-2xln x+x2-2ax+a2,其中a0.(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;(2)证明:存在a(0,1),使得f(x)0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+)内有唯一解.5.(2015江西九江二模)已知函数f(x)=x2-ax,g(x)=ln x,h(x)=f(x)+g(x)(aR).(1)若不等式f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围.(
3、2)若函数h(x)有两个极值点x1,x2.求实数a的取值范围;当x10,12时,求证:h(x1)-h(x2)34-ln 2.6.设函数f(x)=ablnxx,g(x)=-12x+(a+b)(其中e为自然对数的底数,a,bR,且a0),曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=ae(x-1).(1)求b的值;(2)若对任意x1e,+,f(x)与g(x)有且只有两个交点,求a的取值范围.答案：1.解:(1)当a=2时,f(x)=2x-1x-2ln x,f(x)=21+1x2-2x,f(1)=2.又f(1)=0,在点(1,0)处的切线斜率k=f(1)=2,切线方程为y=2(x-1),即2x
4、-y-2=0.(2)g(x)=-ax,f(x0)g(x0),ax0-1x0-2ln x0-ax0,ax02ln x0,x01,e,a2ln x0x0,依题意a2ln x0x0min,x01,e,令h(x0)=2ln x0x0,h(x0)=2(1-ln x0)x02.由h(x0)=0,得x0=e,h(x0)在1,e上为增函数,h(x0)min=h(1)=0,a0.2.解:(1)g(x)=3x2+2ax-1,由题意得3x2+2ax-10的解集是-13,1,即3x2+2ax-1=0的两根分别是-13,1.将x=1或x=-13代入方程3x2+2ax-1=0,得a=-1.g(x)=x3-x2-x+2.(
5、2)由(1)知,g(x)=3x2-2x-1,g(-1)=4,点P(-1,1)处的切线斜率k=g(-1)=4,函数y=g(x)的图象在点P(-1,1)处的切线方程为y-1=4(x+1),即4x-y+5=0.(3)f(x)的定义域为(0,+),2f(x)g(x)+2恒成立,即2xln x3x2+2ax+1在x(0,+)上恒成立.可得aln x-3x2-12x在x(0,+)上恒成立.令h(x)=ln x-3x2-12x,则h(x)=1x-32+12x2=-(x-1)(3x+1)2x2.令h(x)=0,得x=1或x=-13(舍).当0x0;当x1时,h(x)0(x0),所以函数f(x)在(-,+)上单
6、调递增;当a0时,x-,-2a3(0,+)时,f(x)0,x-2a3,0时,f(x)0,所以函数f(x)在-,-2a3,(0,+)上单调递增,在-2a3,0上单调递减;当a0,x0,-2a3时,f(x)0,所以函数f(x)在(-,0),-2a3,+上单调递增,在0,-2a3上单调递减.(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f-2a3=427a3+b,则函数f(x)有三个零点等价于f(0)f-2a3=b427a3+b0,-427a3b0或a0,0b0时,427a3-a+c0或当a0时,427a3-a+c0.设g(a)=427a3-a+c,因为函数f(x)有三个零点时,a的取值范
7、围恰好是(-,-3)1,3232,+,则在(-,-3)上g(a)0均恒成立,从而g(-3)=c-10,且g32=c-10,因此c=1.此时,f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)x2+(a-1)x+1-a,因函数有三个零点,则x2+(a-1)x+1-a=0有两个异于-1的不等实根,所以=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-30,且(-1)2-(a-1)+1-a0,解得a(-,-3)1,3232,+.综上c=1.4.(1)解:由已知,函数f(x)的定义域为(0,+),g(x)=f(x)=2(x-1-ln x-a),所以g(x)=2-2x=2(x-1)x.当x(0,1)时,g(x)0,g(
8、x)单调递增.(2)证明:由f(x)=2(x-1-ln x-a)=0,解得a=x-1-ln x.令(x)=-2xln x+x2-2x(x-1-ln x)+(x-1-ln x)2=(1+ln x)2-2xln x,则(1)=10,(e)=2(2-e)0.于是,存在x0(1,e),使得(x0)=0.令a0=x0-1-ln x0=u(x0),其中u(x)=x-1-ln x(x1).由u(x)=1-1x0知,函数u(x)在区间(1,+)上单调递增.故0=u(1)a0=u(x0)u(e)=e-21.即a0(0,1).当a=a0时,有f(x0)=0,f(x0)=(x0)=0.再由(1)知,f(x)在区间(
9、1,+)上单调递增,当x(1,x0)时,f(x)f(x0)=0;当x(x0,+)时,f(x)0,从而f(x)f(x0)=0;又当x(0,1时,f(x)=(x-a0)2-2xln x0.故x(0,+)时,f(x)0.综上所述,存在a(0,1),使得f(x)0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+)内有唯一解.5.解:(1)由f(x)g(x),得ax-lnxx(x0),令(x)=x-lnxx(x0),得(x)=x2-1+lnxx2.当0x1时,x2-10,ln x0,从而(x)1时,x2-10,ln x0,从而(x)0,(x)在(1,+)上是增函数,(x)min=(1)=1,a1,即实数a的取值范围
10、是(-,1.(2)(方法一)h(x)=x2-ax+ln x(x0),h(x)=2x+1x-a,h(x)22-a当且仅当x=22时取等号,当a22时,h(x)0,函数h(x)在区间(0,+)上单调递增,函数h(x)无极值点,当a22时,h(x)=2x2-ax+1x,当x0,a-a2-84时,h(x)0;当xa-a2-84,a+a2-84时,h(x)0.故函数h(x)在区间0,a-a2-84内单调递增,在区间a-a2-84,a+a2-84内单调递减,在区间a+a2-84,+上单调递增.函数h(x)有两个极值点x1=a-a2-84,x2=a+a2-84,综上所述,实数a的取值范围是(22,+).(方
11、法二)h(x)=x2-ax+ln x(x0),h(x)=2x+1x-a=2x2-ax+1x问题等价于方程2x2-ax+1=0有两相异正根x1,x2,=(-a)2-80,x1+x2=a20,x1x2=120,解得a22,故实数a的取值范围是(22,+).由知,x1,x2即方程2x2-ax+1=0的两个根,x1x2=12,h(x1)-h(x2)=x12-x22-a(x1-x2)+ln x1-ln x2.又2x12+1=ax1,2x22+1=ax2,h(x1)-h(x2)=14x12-x12+2ln x1+ln 2.令k(x)=14x2-x2+2ln x+ln 2,x0,12,得k(x)=-(2x2
12、-1)22x3k12=34-ln 2.h(x1)-h(x2)34-ln 2.6.解:(1)由f(x)=ablnxx,得f(x)=ab(1-lnx)x2,由题意得f(1)=ab=ae.a0,b=e.(2)令h(x)=x(f(x)-g(x)=12x2-(a+e)x+aeln x,则任意x1e,+,f(x)与g(x)有且只有两个交点,等价于函数h(x)在1e,+有且只有两个零点.由h(x)=12x2-(a+e)x+aeln x,得h(x)=(x-a)(x-e)x,当a1e时,由h(x)0得xe;由h(x)0得1exe.此时h(x)在1e,e内单调递减,在(e,+)上单调递增.h(e)=12e2-(a
13、+e)e+aeln e=-12e20(或当x+时,h(x)0亦可),要使得h(x)在1e,+上有且只有两个零点,则只需h1e=12e2-a+ee+aeln1e=(1-2e2)-2e(1+e2)a2e20,即a1-2e22e(1+e2).当1ea0得1exe;由h(x)0得axe.此时h(x)在(a,e)内单调递减,在1e,a和(e,+)上单调递增.此时h(a)=-12a2-ae-aeln a-12a2-ae+aeln e=-12a2e时,由h(x)0得1exa,由h(x)0得exa,此时h(x)在1e,e和(a,+)上单调递增,在(e,a)上单调递减,且h(e)=-12e20,h(x)在1e,+上至多只有一个零点,不合题意.综上所述,a的取值范围为-,1-2e22e(1+e2).6
