1、6 垂直关系61 垂直关系的判定 知识点一直线与平面垂直的定义填一填如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，就说直线 l 与平面 互相垂直，记作 l.直线 l 叫作平面 的垂线，平面 叫作直线 l的垂面直线与平面垂直时，它们唯一的公共点 P 叫作垂足答一答1如果直线 l 与平面 内的无数条直线垂直，l 与 垂直吗？提示：不一定若平面内的无数条直线是平行的，则直线 l 与平面可能平行，也可能垂直，也可能是相交但不垂直，也可能直线 l 在平面内2“任何直线”“所有直线”“无数条直线”表达的是同一意思吗？提示：“任何直线”与“所有直线”的意义相同，但与“无数条直线”不同，“无数条直线”仅是“任
2、何直线”中的一部分3若 l，a 为平面 内的任一条直线，则 l 与 a 是否垂直？提示：垂直，由直线和平面垂直的定义可知，直线和平面内的所有直线都垂直，这也是证明两条直线垂直的一种方法知识点二 直线与平面垂直的判定定理填一填1文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直2图形语言：如下图所示3符号语言：a，b，abP，la，lbl.答一答4如果一条直线和平面内的两条直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直吗？为什么？提示：无法判断这条直线和这个平面是否垂直因为当这两条直线相交时，由判定定理可知直线和平面垂直；而当这两条直线相互平行时，直线和平面不一定垂直，直线可能在平面
3、内，也可能与平面平行，还可能与平面斜交5直线与平面垂直的判定定理的作用是什么？提示：直线与平面垂直的判定定理是证明线面垂直的依据，体现了相互转化的数学思想，在应用时，应该注意定理条件的完备性知识点三 二面角及其平面角填一填二面角(1)定义：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作这个二面角的平面角，其范围是0，二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的度数就
4、是二面角的度数平面角是直角的二面角叫作直二面角(3)记法：以直线 AB 为棱、半平面，为面的二面角，记作二面角 AB，如图所示答一答6确定二面角的平面角的方法有哪些？提示：方法 1：(定义法)在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线如图：方法 2：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角如图：注意：在平面角的定义中，平面角的两边必须有共同的顶点且分别在两个半平面内；平面角的两边必须都与棱垂直“特殊”两字的作用，在于平面角的大小易于求出知识点四 平面与平面垂直填一填1定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成
5、的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直如果平面 与平面 垂直，记作.2画法：两个互相垂直的平面，通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直如下图(1)(2)所示3判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直符号语言：l，l.图形语言：如下图所示：答一答7面面垂直的判定定理的条件有几个，减少一个条件定理是否还成立？提示：判定定理有两个条件，若去掉一个条件，则定理不一定成立8当开启房门时，为什么房门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？提示：因为房门无论转到什么位置，都始终经过与地面垂直的门轴，根据两个平面垂直的判定定理知，门所在平面都与地面垂直9过一点有多少个平面与已知
6、平面垂直？为什么？提示：过一点有无数个平面与已知平面垂直，虽然过一点有且只有一条直线和已知平面垂直，但是经过这条垂线的所有平面都和已知平面垂直1直线与平面垂直的判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直2要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可至于这两条直线是否与已知直线有交点，这是无关紧要的3对于二面角及其平面角的理解(1)二面角是一个空间图形，而二面角的平面角是平面图形，二面角的大小通过其平面角的大小表示，体现了由空间图形向平面图形转化的
7、思想(2)二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角 的取值范围是 0180.4对于平面与平面垂直的判定理解平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到一条直线和另一个平面垂直即可类型一 有关概念和定理的判断【例 1】判断题：正确的在括号内打“”，不正确的打“”(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行()(2)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边()(3)
8、过点 A 垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A 垂直于 a 的平面内()(4)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面()【解析】(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种平行，异面，因此应打“”(2)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，应打“”(3)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第个命题知：过点 A 垂直于直线 a的平面唯一，因此，过点 A 且与直线 a 垂直的直线都在过点 A 且与直线 a 垂直的平面内，应打“”(4)三条共点
9、直线两两垂直，设为 a，b，c 且 a，b，c 共点于 O，ab，ac，bcO，且 b，c 确定一平面，设为，则 a.同理可知 b 垂直于由 a，c 确定的平面，c 垂直于由 a，b 确定的平面应打“”【答案】(1)(2)(3)(4)规律方法 处理此类问题关键是正确理解概念及定理所具备的条件，只有具备相应条件，才能得到相应结论若 l，m 是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中是真命题的是(D)A若 l，m，l，m，则 B若，l，则 lC若，则 D若 l，l，则 解析：A 中未说明 l，m 相交，只有直线 l，m 相交时，才能得到；B 中 l 可能在 内或与其相交、平行，故 B 不正
10、确；C 中平面的垂直关系不具有传递性，与 可能斜交、平行；D 中若 l，则在 内能找到一条直线 l使 ll，而 l，则有 l，根据面面垂直的判定定理可得.类型二 线面垂直的判定【例 2】如图所示，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ABC90，在平面 PAB 中，作 AHPB 于点 H.求证：(1)BC平面 PAB；(2)AH平面 PBC.【思路探究】证明线面垂直的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直，而在证明线线垂直时，可根据线面垂直的定义【证明】(1)由于 PA平面 ABC，BC平面 ABC，PABC.又ABC90，BCAB.又 ABPAA，BC平面 PAB.(2)由题图可知
11、 AH平面 PAB.BC平面 PAB.BCAH.又AHPB，且 PBBCB，AH平面 PBC.规律方法 利用直线和平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直的步骤如下：(1)在这个平面内找两条直线，证明它和这两条直线垂直；(2)说明这个平面内的两条直线是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论在证明线面垂直时，需要先证明线线垂直，而线线垂直关系的获得往往是先证得线面垂直，从而根据线面垂直的定义得出线线垂直，因此证明过程通常是反复利用线面垂直的定义及线面垂直判定定理的过程如图，已知四棱锥 PABCD 的底面是菱形，且 PAPC，PBPD.若 O 是 AC 与 BD 的交点，求证：PO平面 ABCD.证明
12、：在PBD 中，PBPD，O 为 BD 的中点，POBD.在PAC 中，PAPC，O 为 AC 的中点，POAC，又ACBDO，PO平面 ABCD.类型三 面面垂直的判定【例 3】如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为 BB1 的中点，F 为 CD 的中点，G 为 AB 的中点求证：平面 ADE平面 A1FG.【思路探究】据条件得A1D1AE，AEA1G AE平面A1FG 平面ADE平面A1FG【证明】G、F 分别为 AB、CD 的中点，GF 綊 A1D1，又ABCDA1B1C1D1 为正方体，A1D1平面 ABB1A1，A1D1AE.E 为 BB1 的中点，在 RtABE 与
13、RtA1AG 中，ABA1A，BEAG，ABEA1AG，AEBA1GA，又AEBEAB90，设 AEA1GM，AGMMAG90，AMG90，AEA1G.由 AEA1G，AEA1D1 且 A1D1A1GA1，A1D1，A1G平面A1GFD1，AE平面 A1GF.又AE平面 ADE，平面 ADE平面 A1FG.规律方法(1)证明平面与平面垂直的方法有两个：利用定义：证明一个平面角为直角；利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求一个平面角为直角通常情况下利用判定定理要比定义简单些，证面面垂直，只要
14、转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直如图，在空间四边形 ABCD 中，ABBC，CDDA，E、F、G 分别为 CD，DA 和 AC 的中点，求证：平面 BEF平面 BGD.证明：ABBC，CDAD，G 是 AC 的中点，BGAC，DGAC，又 BG平面 BGD，DG平面 BGD，BGDGG，AC平面 BGD.又 EFAC，EF平面 BGD.又EF平面 BEF，平面 BGD平面 BEF.类型四 二面角问题【例 4】已知 RtABC，斜边 BC平面，点 A，AO，O为垂足，ABO30，ACO45，求二面角 ABCO 的大小【思路探究】选特殊点 O，作 ODBC，连接
15、 AD.若 ADBC，则ADO 即为二面角 ABCO 的平面角，所以只需证明 ADBC 即可【解】如图，在平面 内，过点 O 作 ODBC，垂足为点 D，连接 AD.设 OCa.AO，BC，AOBC.又AOODO，BC平面 AOD.而 AD平面 AOD，ADBC，ADO 是二面角 ABCO 的平面角由 AO，OB，OC，知 AOOB，AOOC.又ABO30，ACO45，OCa，AOa，AC 2a，AB2a.在 RtABC 中，BAC90，BC AC2AB2 6a，ADABACBC 2a 2a6a 2 33 a.在 RtAOD 中，sinADOAOADa2 33 a 32，ADO60，即二面角
16、ABCO 的大小是 60.规律方法 求二面角问题的关键是找出(或作出)该二面角的平面角，再把平面角放到三角形中求解一般采取垂线法来作平面角，即过二面角的一个平面内一点作另一平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角这种方法通用于求二面角的所有题目，其步骤可简写为“一找、二证、三求”如图，在四面体 SABC 中，若BAC 是边长为 a 的正三角形，且SA底面 ABC，AS12a，求二面角 ABCS 的大小解：设 D 是 BC 的中点，连接 AD，SD.由ABC 是等边三角形知ADBC.SA平面ABCBC平面ABC SABCADBCAD，SA平面SADADSAABC平
17、面 SAD，BC平面SADSD平面SAD SDBC.ADS 是二面角 ABCS 的平面角在 RtSAD 中，tanADSSAAD12a32 a 33，ADS30.即所求二面角 ABCS 的大小为 30.类型五 折叠问题【例 5】如图，在ABC 中，ADBC，E 在 AD 上，AE12ED，过 E 的直线 MNBC，分别交 AB，AC 于 M，N，将AMN 折起，点A 对应的点为 A，且使AED60.求证：平面 AMN平面 ABC.【思路探究】欲证平面 AMN平面 ABC，运用判定定理，须转化为证线面垂直，而已知条件中 ADBC，MNBC，从而折起后，MNAE，MNED 得出 MN平面 AED，
18、MNAD，从而只要再证 AD 与平面 AMN 内另一条直线垂直即可考虑到所给条件，AED60未用，可考虑计算证明 ADAE.【证明】ADBC，BCMN，AEMN，EDMN，又AED60，AEAE12EDEDcos60，AED 是直角三角形，且 AEAD，又AEMN，MNBC，AEBC.又 BCADD，AE平面 ABC，AE平面 AMN，平面 AMN平面 ABC.规律方法 对于折叠问题，应全面分析平面图形中的垂直关系、平行关系、长度关系等在折叠后有没有发生改变，由本题的所证结论知，应抓好折叠前后没有改变的垂直关系如下图(1)，在矩形 ABCD 中，已知 AB2AD，E 为 AB 的中点，将AED
19、 沿 DE 折起，使 ABAC，如图(2)求证：平面 ADE平面BCDE.证明：如图，取 DE 的中点 M，BC 的中点 N，连接 AM，MN，AN，则 MNBC.因为 ABAC，所以 ANBC.又 MNBC，MNANN，所以 BC平面 AMN，则 BCAM.因为 AB2AD，E 为 AB 的中点，所以 ADAE，所以 AMDE.而易知 BC 所在直线与 DE 所在直线相交所以 AM平面 BCDE.因为 AM平面 ADE，所以平面 ADE平面 BCDE.规范解答系列空间中垂直关系的判定方法1线面垂直的判定方法(1)利用定义，即要证明直线 a平面，转化为证明直线 a 垂直于平面 内的任意一条直线
20、 c，这种方法很难实施，一般用反证法来证明(2)利用判定定理，即要证直线 l平面，只需在平面 内找两条相交直线 m，n，证明 lm，ln，从而证得 l，即“线线垂直线面垂直”(3)利用判定定理的推论，即如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面2面面垂直的判定方法(1)利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，那么这两个平面互相垂直(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若
21、图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，作辅助线应有理论依据并有利于证明，不能随意添加【例 6】如图，已知 PAO 所在的平面，AB 是O 的直径，C 是O 上任意一点，过 A 作 AEPC 于点 E，AFPB 于点 F，求证：(1)AE平面 PBC；(2)平面 PAC平面 PBC；(3)PBEF.【精解详析】(1)因为 AB 是O 的直径，所以ACB90，即ACBC.因为 PAO 所在的平面，所以 PA平面 ABC.又因为 BC平面 ABC，所以 BCPA.又因为 ACPAA，所以 BC平面 PAC.因为 AE平面 PAC，所以 B
22、CAE.又因为 AEPC，PCBCC，所以 AE平面 PBC.(2)因为 AE平面 PBC，且 AE平面 PAC，所以平面 PAC平面 PBC.(3)因为 AE平面 PBC，且 PB平面 PBC，所以 AEPB.又因为 AFPB 于点 F，且 AFAEA，所以 PB平面 AEF.又因为 EF平面 AEF，所以 PBEF.【解后反思】证明两个平面垂直的方法有两种：一是运用两个平面垂直的定义；二是运用两个平面垂直的判定定理大多数题目利用判定定理证明，有时将线面垂直、面面垂直多次使用得出证明结论如图所示，在空间四边形 ABCD 中，ABBC，ADDC，E，F，G 分别是 AD，DC，CA 的中点求证
23、：平面 BEF平面 BDG.证明：E，F，G 分别是 AD，DC，CA 的中点，且 ADDC，DF 綊 EG，且 DFDE，四边形 EDFG 为菱形，EFDG.又ABBC，AGGC，ACBG.又EFAC，EFBG.又BGDGG，直线 EF平面 BDG.又EF平面 BEF，平面 BEF平面 BDG.一、选择题1已知 m 和 n 是两条不同的直线，和 是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出 m 的是(B)A，且 m Bmn，且 nC，且 mDmn，且 n解析：，且 mm，或 m，或 m 与 相交，故 A 不成立；mn，且 nm，故 B 成立；，且 mm，或m，或 m 与 相交，故 C
24、不成立；由 mn，且 n，知 m 不成立，故 D 不正确故选 B.2如图，AB 是O 的直径，C 是圆周上不同于 A，B 的任意一点，PA平面 ABC，则四面体 P-ABC 的四个面中，直角三角形的个数有(A)A4 个B3 个C2 个D1 个解析：AB 是O 的直径，ACB90，即 BCAC，三角形 ABC 是直角三角形又PAO 所在平面，PAC，PAB 是直角三角形，BC 在这个平面内，PABC，因此 BC 垂直于平面 PAC 中两条相交直线，BC平面 PAC，PBC 是直角三角形，因此直角三角形的个数是 4.二、填空题3已知 A 是BCD 所在平面外一点，则ABC、ABD、ACD、BCD
25、中直角三角形最多有 4 个解析：三棱锥底面及三个侧面同时为直角三角形时，如图，此时最多为 4 个4设 l，m 表示两条不同的直线，表示一个平面，从“、”中选择适当的符号填入下列空格，使其成为真命题，即lml m.解析：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面三、解答题5如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA底面 ABCD，PAAB，点 E 是棱 PB 的中点证明：AE平面 PBC.证明：如图，连接 BD.由于 PA底面 ABCD，且 AB平面 ABCD，PAAB.又 PAAB，故PAB 为等腰直角三角形，而点 E 是 PB 的中点，AEPB.PABC，BCAB，又 PAABA，BC平面PAB，又 AE平面 PAB.BCAE，AE平面 PBC.