1、2.4.1向量在几何中的应用1教学目标知识与技能：能用平面向量的知识来解决有关的平面几何中的实际问题；过程与方法：进一步巩固所学知识，提高分析和解决简单实际问题的能力，动手操作的能力以及用数学语言进行交流的能力；情感态度与价值观：增强学生应用数学的意识，培养学生善于用辩证联系的观点看待问题。教学重点：两种基本技巧基底法和建系法的渗透。教学难点：平面几何与平面向量的相互转化和联系。学情分析：由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，这节课主要是把平面几何中的相关运算转换成向量运算。教学过程：【
2、知识梳理】1向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：ab(b0)_.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：ab_.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos _.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|_.（5）用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如_、_等问题；把运算结果“翻译”成几何关系2直线的方向向量和法向量(1)直线ykxb的方向
3、向量为_，法向量为_(2)直线AxByC0的方向向量为_，法向量为_答案1(1)abx1y2x2y10(2)ab0x1x2y1y20(3)(4)（5）距离，夹角2(1)(1，k)(k，1)(2)(B，A)(A，B)【自主探究】题型一：平面几何的数值问题例1设AM是ABC的边BC上的中线任作一直线，使之顺次交AB、AC、AM于点P、Q、N求证：2=+思路导析：直接利用平面几何的知识求解这类数值问题，由于直线PQ的任意性，很难找到入手解题的突破口而引入平面向量，通过平面向量的运算、共线、相等等性质加以解题，可以非常巧妙地达到目的解析：设=m，=t，=n，则由，共线可知，存在R使得=，即=（），于是
4、（1）=，（1）=， 又=（+）， 由、得：（）（+）=，解得m+n=2t，即命题得证点评：通过引入平面向量，要按照平面向量已知的相关的定义或运算等结合平面几何的相应知识加以分析、推理、运算要注意平面向量与平面几何两者知识的联系和结合通过平面向量的引入，达到巧妙解答平面几何中的数值问题，也是经常碰到的一类问题题型二：利用向量证明平行和垂直问题已知梯形ABCD中，ADBC，E、F分别是BD、AC的中点，如图所示，求证：EFBC，EFAD.图24【思路点拨】选取a，b作基底，先证，再数形结合说明与无公共点证得EFBC，最后由平行线传递性证得EFAD.【规范解答】设a，b.ADBC，.ba.E为BD
5、的中点，(ba)又F为AC的中点，()(ba)(ba)(ba)b.又b，.又、不在同一条直线上，EFBC.又BCAD，EFAD.回顾归纳(1)本题利用平行向量基本定理证明两直线平行，解题时要注意灵活运用已知条件(2)向量法证明直线平行，恰是向量平行问题的一种存在形式它们的基线无公共点与前面例1比较，最大的区别在于，此处共线的两个向量没有公共端点例2如图所示，在平行四边形ABCD中，BC2BA，ABC60，作AEBD交BC于E，求的值例2解方法一(基向量法)设a，b，|a|1，|b|2.ab|a|b|cos 601，ab.设b，则ba.由AEBD，得0.即(ba)(ab)0.解得，.方法二以B为
6、坐标原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，根据条件，设B(0,0)，C(2,0)，A，D.又设E(m,0)，则，.由AEBD，得0.即0，得m，.回顾归纳利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明变式训练2已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，PFCE为矩形求证：PAEF且PAEF.变式训练2证明以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy(如图所示)，设正方形边长为1，|，则A(0,1)，P，E，F，于是，.|
7、，同理|，|，PAEF.0，.PAEF.题型三：利用向量求长度和夹角问题例1.在平行四边形中有下列的结论：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的2倍请用向量法给出证明例2.三角形ABC是等腰直角三角形，B90，D是BC边的中点，BEAD，延长BE交AC于F，连结DF.求证：ADBFDC.证明如图所示，建立直角坐标系，设A(2,0)，C(0,2)，则D(0,1)，于是(2,1)，(2,2)，设F(x，y)，由，得0，即(x，y)(2,1)0，2xy0又F点在AC上，则，而(x,2y)，因此2(x)(2)(2y)0，即xy2.由、式解得x，y，F，(0,1)，又|cos cos ，cos
8、 ，即cosFDC，又cosADB，cosADBcosFDC，故ADBFDC.题型四：向量在解析几何中的应用问题例1：【思路探究】在直线上任取一点P(x，y)，则(x2，y1)，由a可以得【自主解答】设所求直线上任意一点P(x，y)，A(2,1)，(x2，y1)(1)由题意知a，(x2)13(y1)0，即x3y50.所求直线方程为x3y50.(2)由题意，知b，(x2)(1)(y1)20，即x2y40，所求直线方程为x2y40.思考：直线的倾斜角、斜率、方向向量三者之间的关系？1则_2.变式一:【总结归纳】变式二：已知直线的方向向量，利用向量平行的条件求过一点与方向向量平行的直线方程已知直线的
9、法向量，利用向量垂直的条件求过一点与法向量垂直的直线方程设直线和直线 则例2：(1)（2）垂直，则例4.在ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(4,7)，求A的平分线的方程解(3,4)，(8,6)，A的平分线的一个方向向量为：.A的平分线过点A.所求直线方程为(x4)(y1)0.整理得：7xy290.回顾归纳直线AxByC0的方向向量为v(B，A)，法向量n(A，B)这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系求两条直线的夹角时非常有用变式训练在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(3,4)，若点C在AOB的平分线上且|2，则_.解析已知A(0,1)，B(3,4)，设E(0,5)，
10、D(3,9)，四边形OBDE为菱形AOB的角平分线是菱形OBDE的对角线OD.设C(x1，y1)，|3，.(x1，y1)(3,9)，即.【总结归纳】1利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明2在直线l：AxByC0(A2B20)上任取两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则就是直线l的一个方向向量，(R且0)也是直线l的方向向量所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线同理，与直线l：AxByC0 (A2B20)垂直的向量都叫直线l的法向量一条直线的法向量也有无数多个熟知以下结论，在解题时可以直接应用ykxb的方向向量v(1，k)，法向量为n(k，1)AxByC0(A2B20)的方向向量v(B，A)，法向量n(A，B).