1、 高二数学（理）参考答案 第 1 页（共 8 页）高二数学（理）参考答案 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1B【解析】20202 10103()3(1 3)(1)1211(1)(1)iiiiiiziiiii+=+，所以选 B.2D【解析】“0 x=且0y=”的否定是“0 x 或 0y”，所以选 D.3B【解析】切点代入曲线方程得12a=，又2312yx=，15k=.再将切点代入直 线方程得45a=，所以选 B.4D【解析】依据甲的参赛情况共分两类：（1）甲不参加，共有4424A=种不同选法；（2）甲参加，共有133
2、34372C C A=种不同选法，所以共有 96 种不同方案，所以选 D.5C【解析】()28fxx=+，()()()()()001 211 21lim2 lim212xxfxffxffxx =2 1020=，所以选 C.6A【解析】两颗骰子各掷一次，共有 36 种不同结果，11225211()3636C CCP B+=，112510()3636C CP AB=，()10(|)()11P ABP A BP B=，所以选 A.7B【解析】每个数据变为原来的 a 倍，则方差变为原来的2a 倍，标准差变为原来的|a倍；x 和 y 负相关，斜率为-5，所以正确；|r 越大，相关性越强，所以错误；()(
3、)21,0N，即=1，所以 位于区域()1,+内的概率为 0.5，错误；2R 越大，拟合的效果越好.所以正确，故选 B.8A【解析】5X=表示“取出的 3 球中有 2 个新球 1 个旧球”，所以219331227(5)55C CP XC=.9C【解析】假设当 n=k 时成立，则12131211)(+=kkf（*Nk），当 n=k+1时121112112131211)1(1+=+kkkkf，共有kkkkk2222)12(121=+项，从 n=k 到 n=k+1 成立时，)(kf所需要加的项数为k2 项，所以选 C.高二数学（理）参考答案 第 2 页（共 8 页）10 A【解析】二项式nxx)2(
4、的展开式中第 3 项二项式系数比第 2 项大 9，则912=nnCC 即92)1(=nnn，01832=nn，解得 n=6 或 n=-3，0n6=n.则原式为6)2(xx，其通项为kkkkkkkkxCxxCT266661)2()2(+=)2,1,0(nk,常数项即 6-2k=0，解得k=3，160)2(03364=xCT.11B【解析】函数)(ln)(axxxxf=的定义域为(0,)+.()ln21(0)fxxaxx=+，令()0fx=得，ln21xax=.射线21yax=恒过定点(0,-1)，由数形结合：当20a，即0a 时，函数()f x 仅有一个极小值点，符合题意；当20a，即0a 时，
5、求出切点坐标为(1,0)，此时12a=.当102a时，()0fx时，2lnax+递增，所以必有(1)2fa，即2eaa，3ea.故实数a 的取值范围是2,3ee.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13【答案】0.2【解析】3.0)10()21(=xPxP，2.0)21(5.0)2(=xPxP.14【答案】254 【解析】()(0,1,2,3)1cPkkk=+，(0)(1)(2)(3)pPPP=+=+=+=1234cccc=+=，2512=c，2524)2(=p.15【答案】()()+,11,0 高二数学（理）参考答案 第 3 页（共 8 页）【解 析】0ln)(2=
6、+=axaxxxf，)0(ln2+=xaxaxx.)1(ln=xaxx，令)1()(,ln)(=xaxhxxxg.函数)(xf有两个零点，即)(xg的图像与)(xh的图像有两个交点.又2ln1)(xxxg=，则)(xg在()e,0单调递增，在()+,e单调递减，eegxg1)()(max=，且)(xg恒过()0,1.又)1()(=xaxh恒过()0,1,画出二者图像分析知：10a时，)(xg的图像与)(xh的图像有两个交点.故()()+,11,0a.16【答案】ln 2 【解析】由定积分的定义，考查函数1()f xx=与直线 xn=和1xn=+及 x 轴围成的曲边梯形的面积满足11111nnd
7、xnxn+，即11ln(1)ln1nnnn+；同理，2111121nndxnxn+，即11ln(2)ln(1)21nnnn+，以此类推，11ln(2)ln(21)221nnnn，1212xyyx+，两式相加得2()2()xyxy+，即2xy+，10 分 这与2xy+矛盾，故假设错误，即12xy+与12yx+且2 分 即2420nn+=，即(7)(6)0nn+=，解得6n=.4 分（2）由（1）得，6n=，由61(2)xx+得：366216 2(0,1,2,3,6)kkkkTCxk+=.6 分 令36k=0k=42得：故42056 260TCx=因此，展开式中的常数项为 60.8 分（3）因为6
8、n=，所以展开式中第 4 项的二项式系数最大，10 分 即3333246 2160TCxx=因此，二项式系数最大的项为3160 x.12 分 19【解析】（1）()()(1)()-00bf xaxx=+已知，定义域为，2)(xbaxf+=且 2 分 01247)2(,2()(=yxfxf处的切线方程为在点.=+=2221)2(447)2(bafbaf，解得13ab=.综上所述，xxxf3)(=.5 分（2）证明：xxxf3)(=，()()+，定义域为00-6 分 0023()1,(,),fxP xyx=+设切点的坐标为则切线斜率为 200220033()1xfxxx+=+=，,3)(03000
9、 xxxfy=.7 分 则切线方程为:)(3302020030 xxxxxxy+=，8 分 高二数学（理）参考答案 第 5 页（共 8 页）当 x=0 时切线与 y 轴的交点为06,0 x，9 分 又由+=0202063xxxxyxy 得=0022xyxx 直线xy=与直线)(3302020030 xxxxxxy+=的交点为()00 2,2xx，.10 分 围成的三角形的高为02x，底为06x，0016262Sxx=.11 分 所以，曲线)(xfy=上任意一点处的切线方程与直线0=x和直线xy=所围成的三角形的面积为定值，且定值为 6.12 分 20【解析】（1）令()sin,(0,),()c
10、os12f xxx xfxx=，1 分(0,),()cos102xfxx=.2 分 故()sinf xxx=在(0,)2 上为减函数.3 分 又(0)0,()sin0ff xxx=，故当(0,)2x时，sin xx.4 分（2）因为数列na的首项为12sin,()a=为锐角 且满足2214-a2nna+=，所以，当1n=时，得22124-a2a+=，即2224-4sin2a+=，得22(1 cos)2sin 2a=.5 分 当2n=时，得22234-a2a+=，即2234-4sin22a+=，得32sin 4a=，由此猜想12sin()2nnanN=.6 分 数学归纳法证明如下:当1n=时，1
11、2sin,a=等式成立；.7 分 高二数学（理）参考答案 第 6 页（共 8 页）假设当*()nk kN=时，等式成立，即12sin 2kka=，.8 分 则当1nk=+时，得2214-a2kka+=，即22114-4sin22kka+=，112(1 cos)2sin22kkka+=，所以，当1nk=+时，等式成立.9 分 故12sin 2nna=对任意的nN都成立.所以，12sin()2nnanN=.10 分 若4=，则由(1)得1211(sinsinsin)2()2222nnnaaaa+=+11121(1)22222nnn=+=.11 分 2112nn，122naaa+.故124naaa=
12、+，()f x 为减函数；.2 分 当(1,)xa+时，()0fx，()f x 为增函数，3 分()f x 有极小值1(1)1af aae=+，无极大值，.4 分 故()f x 的减区间为(,1)a，增区间为(1,)a+，极小值为1(1)1af aae=+，无极大值5 分（2）法一：函数()f x 在(0,)+上有唯一零点，即当(0,)x+时，方 程()0f x=有唯一解，11xxaxe+=+有唯一解，6 分 高二数学（理）参考答案 第 7 页（共 8 页）令1()1xxg xxe+=+，则()()22()(0)1xxxeexg xxe=.7 分 令()2(0)xh xexx=，则()1xh
13、xe=，当(0,)x+时，()0h x，故函数()h x 为增函数，.8 分 又(1)30he=，2(2)40he=，()h x 在(0,)+上存在唯一零点0 x，则0(1,2)x，且002xex=+，.9 分 当()00,xx时，)(0g x，.10 分 ()g x 在(0,)+上有最小值()0000011(2,3)1xxg xxxe+=+=+，.11 分 23a，共有两种情况：当10a 即1a 时，()f x 在(0,+)为增函数.又(0)1f=，故()1f x 在(0,+)上恒成立，函数()f x 无零点；.7 分 当10a 即1a 时，()f x 在(0,1)a 递减，在(1,)a+递
14、增，当1xa=时，()f x 取极小值1(1)1af aae=+.8 分 ()f x在在(0,+)上有唯一零点，1(1)10(1)af aaea=+=9 分 设1()1(1)xg xxex=+，则()0g a=.又1()1ag xe=，1x，()0g x，2(3)40ge=，所以23a12 分 22【解析】（1）曲线1C 的直角坐标方程为()2262xy+=.由22101 9sin=+，222xy=+，siny=，.2 分 高二数学（理）参考答案 第 8 页（共 8 页）得222910 xyy+=，即2C 的直角坐标方程为：22110 xy+=.4 分（2）由（1）得1C 的圆心为()0,6A
15、，半径2r=，设()10 cos,sinN，6 分()()22210 cos0sin6NA=+2210cossin12sin36=+229 sin503=+，8 分 当2sin3=时，max5 2NA=，MN 的最大值为5 226 2+=10 分 23【解析】（1）当3m=时，原不等式可化为|3|1|5xx+1 分 若1x ，则135xx+，即425x，解得12x ；.2 分 若13x，则原不等式等价于25，不成立；3 分 若3x，则135xx+，解得92x.4 分 综上所述，原不等式的解集为19|22x xx 或.5 分（2）由不等式的性质可知，()|1|1|f xxmxm=+，.6 分 所以要使不等式()21f xm 恒成立，则|1|21mm.8 分 即112mm 或121mm ，解得23m.9 分 所以实数m 的取值范围是3|2mm10 分