1、巩固层知识整合提升层题型探究函数的零点与方程的根由于函数的零点、方程的根、函数的图像与x轴的交点之间有着内在的本质的联系，所以函数问题可转化为方程的问题，方程的问题可转化为函数问题解决，根据函数的性质和方程根的存在条件我们常借助不等式来求解相关的问题，其间，要善于结合函数图像，从中体会数形结合的作用【例1】已知函数f(x)x1x22，试利用基本初等函数的图像判断f(x)有几个零点，并利用判断区间内是否有零点的方法确定各零点所在的范围(各区间长度不超过1)思路探究函数f(x)x1x22的图像不易作出，而将方程x1x220变形为x1x22后，函数yx1与yx22的图像较容易作出，它们交点的横坐标就
2、是方程x1x220的实数解，即函数f(x)x1x22的零点解由f(x)0，得x1x22.令y1x1，y2x22，在同一直角坐标系中画出它们的图像，如图所示由图可知，它们有3个交点，因此，函数f(x)x1x22有3个零点由f(x)知x0，f(x)图像在(，0)，(0，)上分别是连续曲线f(3)(3)1(3)220，f(2)(2)1(2)220，f(1)111220，即f(3)f(2)0，ff(1)0，f(1)f(2)0，函数f(x)x1x22的3个零点分别在区间(3，2)，(1,2)内.函数建模建模思想就是建立数学模型解决实际应用问题函数是重要的数学模型，不同的函数模型能够刻画现实世界中不同的变
3、化规律，因此，不同的问题需选择适当的函数模型来描述在初中学过的一次函数、二次函数以及现在学习的指数函数、对数函数和幂函数都是常用的描述现实世界中不同增长规律的函数类型对于函数模型的应用，一方面是利用已知函数模型解决问题，另一方面是建立适当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测，因此，应切实掌握建立函数模型，解决实际问题的基本过程纵观近几年高考，实际应用题层出不穷，并且向跨学科知识渗透，像有关环境问题、经济问题已成为热点，还有经典的成本最低问题、效率最大问题等也都是极为重要的考点1一次函数模型的应用一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般我们可以用“问什么，设什
4、么，列什么”这一方法来处理【例2】某文具店出售软皮本和铅笔，软皮本每本2元，铅笔每支0.5元该店推出两种优惠办法：(1)买一本软皮本赠送一支铅笔；(2)按总价的92%付款现要买软皮本4本，铅笔若干支(不少于4支)，若购买铅笔数为x支，支付款数为y元，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并说明使用哪种优惠办法更合算？解优惠办法(1)：y420.5(x4)0.5x6(x4，且xN)，优惠办法(2)：y(420.5x)0.920.46x7.36(x4，且xN)，令0.5x60.46x7.36，解得x34，且当4x34时，0.5x634时，0.5x60.46x7.36，即当购买铅笔数少于3
5、4支(不少于4支)时，优惠方法(1)合算；当购买铅笔数多于34支时，优惠办法(2)合算；当购买铅笔数是34支时，两种优惠办法支付的总钱数是相同的，即一样合算2二次函数模型的应用在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最省等问题【例3】某租赁公司出租同一型号的设备40套，当每套月租金为270元时，恰好全部租出在此基础上，每套月租金每增加10元，就少租出1套设备，而未租出的设备每月需支付各种费用每套20元设每套设备实际月租金为x元(x270元)，月收益为y元(总收益设备租金收入
6、未租出设备费用)(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当x为何值时，月收益最大？最大值是多少？思路探究(1)利用总收益设备租金收入未租出设备费用，列出函数关系式；(2)转化为求二次函数的最大值解(1)每套设备实际月租金为x元(x270元)时，未租出的设备为套，租出的设备为40套，未租出的设备费用为20元，月租金总额为x元，所以yx200.1x265x540(x270)(2)y0.1x265x5400.1(x325)211 102.5.则当x325时，y取最大值为11 102.5，即当每套设备实际月租金为325元时，月收益达到最大值11 102.5元3指数函数、对数函数模型的应用实际问题中，有关
7、人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型来表示，在建立函数模型时注意用列举、归纳等方法来探求内在的规律【例4】某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%.(1)写出水中杂质含量y与过滤的次数x之间的函数关系式；(2)要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤几次？(lg 20.301 0)思路探究(1)利用归纳猜想的方法得函数关系式；(2)利用(1)的结论转化为解不等式解(1)设刚开始水中杂质含量为1，第1次过滤后，y120%；第2次过滤后，y(120%)(120%)(120%)2；第3次过滤后，y(120%)2(120%)(120%)3；第x
8、次过滤后，y(120%)x.y(120%)x0.8x(x1，且xN)(2)由(1)得0.8xlog0.80.0513.4.至少需要14次4拟合函数模型的应用【例5】我们知道：人们对声音有着不同的感觉，这与它的强度有关系，声音的强度用I(单位：W/m2)表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平L1表示，它们满足以下公式：L110lg(单位为分贝，L10，其中I011012，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)解决以下问题：(1)树叶沙沙声的强度是11012 W/m2，耳语的强度是11010 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1108 W/m2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的小
9、区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I的范围解(1)由题意可知：树叶沙沙声的强度是I111012 W/m2，则1，LI110lg 10.即树叶沙沙声强度水平为0分贝；耳语的强度是I211010 W/m2，则102，LI210lg 10220，即耳语声的强度水平为20分贝；恬静的无线电广播的强度是I31108 W/m2，则104，LI310lg 10440，即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝(2)由题意知：0L150，即010lg50，1105，即1012Ix.思路探究本题为无理不等式问题，我们还没有接触过，如果我们借用函数，设f(x)，g(x)x，然后
10、在同一坐标系中分别画出它们的图像，其中f(x)的图像在g(x)x的图像上方所对应的x的取值范围就是所求不等式的解集解如图所示，在同一直角坐标系中分别画出f(x)和g(x)x的图像，由得两图像的交点P(2,2)，由图像易知f(x)的图像在g(x)的图像上方时对应的x的取值范围是2x2，所以不等式的解集为x|2x22转化与化归的思想【例7】设aR，试讨论关于x的方程lg(x1)lg(3x)lg(ax)的实根个数解原方程等价于由得1x3.由得x25x3a(1x或a1时，两函数图像无交点，原方程无实数解；(2)当a或1a3时，两函数图像有一个交点，故原方程有一个解；(3)当3aa，这时将x9代入中得982(9a)c，即2ac17与矛盾，故a9.即可知1月份付款方式应选式，则有8c9.所以，c1，a10.从而，a10，b2，c1.