1、52.2 同角三角函数的基本关系1能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式2理解同角三角函数的基本关系式3能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tansincosk2，kZ.这就是说，同一个角 的正弦、余弦的平方和等于 1，商等于角 的正切(k2，kZ)温馨提示：(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立，即与角的表达形式无关，如 sin23cos231 成立，但是 sin2cos21 就不一定成立(2)sin2 是
2、(sin)2 的简写，读作“sin 的平方”，不能将 sin2 写成 sin2，前者是 的正弦的平方，后者是 2 的正弦(3)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2cos21 对一切 R 恒成立，而 tansincos仅对 2k(kZ)成立判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)对任意角，sin23cos231 都成立()(2)对任意角，sin2cos2tan2 都成立()(3)若 cos0，则 sin1.()(4)若 sin35，则 cos 1sin245.()答案(1)(2)(3)(4)题型一利用同角三角函数的基本关系式求值【典例 1】(1)已知 cos4
3、5，求 sin 和 tan.(2)已知 tan3，求sin22sincoscos24cos23sin2的值思路导引 利用同角三角函数的基本关系式求解解(1)sin21cos21452352，因为 cos450，所以 是第二或第三象限角，当 是第二象限角时，sin35，tansincos34；当 是第三象限角时，sin35，tansincos34.(2)原式tan22tan143tan292314332 223.变 式 (1)由 本 例(2)条 件 变 为：“sincossincos 2”，求4sincos3sin5cos的值(2)若本例(2)条件不变，求34sin212cos2 的值解(1)由
4、sincossincos2 得 tan3，所以原式4tan13tan54313351114.(2)原式34sin212cos2sin2cos234tan212tan21 3491291 2940.已知三角函数值求其他三角函数值的方法(1)若已知 sinm，可以先应用公式 cos 1sin2求得 cos的值，再由公式 tansincos求得 tan 的值(2)若已知 cosm，可以先应用公式 sin 1cos2求得 sin的值，再由公式 tansincos求得 tan 的值(3)已知tanm，可以求asinbcoscsindcos或asin2bsincosccos2dsin2esincosfco
5、s2的值，将分子分母同除以 cos 或 cos2，化成关于 tan 的式子，从而达到求值的目的(4)对于 asin2bsincosccos2 的求值，可看成分母是 1，利用1sin2cos2进行代替后分子分母同时除以cos2，得到关于tan的式子，从而可以求值针对训练1已知 sin1213，并且 是第二象限角，求 cos 和 tan.解 cos21sin21121325132，又 是第二象限角，所以 cos0，cos0.原式tan1sin2sin2 tancos2sin2sincoscossin sincoscossin1.4化简：sin2sin2sin2sin2cos2cos2.解 原式si
6、n2(1sin2)sin2cos2cos2sin2cos2cos2cos2sin2(sin2cos2)cos2sin21.题型三证明简单的三角恒等式【典例 3】求证：tansintansintansintansin.思路导引 从一边证明，使它等于另一边证明 右边tan2sin2tansintansin tan2tan2cos2tansintansintan21cos2tansintansintan2sin2tansintansin tansintansin左边，原等式成立 证明三角恒等式常用的方法(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递
7、性(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等(3)综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想(4)比较法：即证左边右边0 或证左边右边1.针对训练5求证：sin1coscostan1cos1.证明 sin1coscostan1cossin1coscos sincos1cossin1cossin1cossin21cos2sin2sin21.课堂归纳小结1利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其它三角函数值2利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项
8、数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值3在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.1下列等式中恒成立的个数为()sin211cos21；sin2cos2sin23cos23；sintancos2k，kZ.A1 B2 C3 D0解析 都正确，故选 C.答案 C2已知 是第四象限角，cos1213，则 sin 等于()A.513B 513C.512D 512解析 sin2cos21，si
9、n21cos21144169 25169，又 是第四象限角，sin0，即 sin 513.答案 B3化简1sin 1tan(1cos)的结果是()AsinBcosC1sinD1cos 解 析 1sin 1tan(1 cos)1sincossin(1 cos)1cos2sinsin2sin sin.答案 A4已知 sin 55，则 sin4cos4 的值为()A15B35C.15D.35解析 sin4cos4sin2cos22sin2125135.答案 B5若 tan2，求 sincos.解 sincossincossin2cos2sincoscos2sin2cos2cos2tantan21，而
10、 tan2，原式222125.课内拓展 课外探究sincos 与 sincos 关系的应用sincos，sincos，sincos 三个式子中，已知其中一个，可以求其它两个，即“知一求二”，它们之间的关系是(sincos)212sincos.【典例】已知 sincos15，(0，)，求：(1)sincos；(2)sincos；(3)sin3cos3.解(1)由 sincos15，平方得 2sincos2425，sincos1225.(2)(sincos)212sincos124254925，sincos75.又由(1)知 sincos0，coscos1，所以 12sin1cos1 sin1co
11、s12sin1cos1.故选 A.答案 A5已知 sincos18，且42，则 cossin 的值为()A.32B.34C 32D 32解析(cossin)212sincos34，因为4cos，所以 cossin 32.故选 C.答案 C二、填空题6若 2sincos3sin2cos1，则 tan 的值为_解析 2sincos3sin2cos1 化为2tan13tan21，所以 2tan13tan2，所以 tan3.答案 37已知 sin1213，且 sincos1，则 tan 等于_解析 因为 sincos1，所以 cos0，所以 cos 1sin2 513，所以 tansincos125.
12、答案 125三、解答题8化简：1cos2 1tan21sin1sin(为第二象限角)解 是第二象限角，cos0.则原式1cos21sin2cos21sin21sin21cos2cos2cos2sin21sin|cos|coscos2 1sincos 11sincossincostan.9已知 tantan11，求下列各式的值：(1)sin3cossincos；(2)sin2sincos2.解 因为 tantan11，所以 tan12.(1)原式tan3tan153.(2)原式sin2sincossin2cos2 2tan2tantan21 214121412135.10求证：2sinxcosx
13、1cos2xsin2x tanx1tanx1.证明 证法一：左边2sinxcosxsin2xcos2xcos2xsin2xsin2x2sinxcosxcos2xcos2xsin2xsinxcosx2sin2xcos2xsinxcosx2sinxcosxsinxcosxsinxcosxsinxcosxtanx1tanx1右边原式成立证法二：右边sinxcosx1sinxcosx1sinxcosxsinxcosx；左边12sinxcosxsin2xcos2x sinxcosx2sin2xcos2xsinxcosx2sinxcosxsinxcosxsinxcosxsinxcosx.左边右边，原式成立
14、综合运用11若 1sin sin2cos cos20 成立，则角 不可能是()A第二、三、四象限角B第一、二、三象限角C第一、二、四象限角D第一、三、四象限角解析 由于 1sin sin2cos cos20，且 1sin2cos20，所以 sin0，cos0，故选 C.答案 C12若1cossin3，则 cos2sin 等于()A1 B1C25D1 或25解析 若1cossin3，则 1cos3sin，又 sin2cos21，所以 sin35，cos3sin145，所以 cos2sin25.故选 C.答案 C13已知 cos4 13，02，则 sin4 _.解析 02，440，sin4 11322 23.答案 2 2314已知 f(tanx)1cos2x，则 f(3)_.解析 因为 f(tanx)1cos2xsin2xcos2xcos2xtan2x1，所以 f(x)x21，所以 f(3)4.答案 415已知在ABC 中，sinAcosA15.(1)判断ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(2)求 tanA 的值解(1)由 sinAcosA15两边平方，得 12sinAcosA 125，所以 sinAcosA12250.因为 0A0cosA0，cosA0，所以 sinAcosA75.又因为 sinAcosA15，所以 sinA45，cosA35，所以 tanA43.
