1、第五章三角函数51任意角和弧度制51.1任意角1了解任意角的概念及角的分类2理解象限角的概念3理解终边相同的角的概念，并能熟练写出终边相同的角的集合表示1任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)角的表示如图，射线的端点是圆心O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OP，形成一个角，射线OA，OP分别是角的始边和终边“角”或“”可以简记成“”(3)角的分类(4)相等角与相反角设角由射线OA绕端点O旋转而成，角由射线OA绕端点O旋转而成如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称.我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫
2、做互为相反角角的相反角记为.设，是任意两个角我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是.角的减法可以转化为角的加法2象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限3终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和温馨提示：对终边相同的角的理解(1)为任意角，“kZ”这一条件不能漏(2)k360与中间用“”连接，如k360可理解成k360()1在坐标系中，将y轴的正
3、半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90，这种说法是否正确？答案不正确在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转的，故它形成的角为902初中我们学过对顶角相等依据现在的知识试判断一下图中角，是否相等？答案不相等角 为逆时针方向形成的角，为正角；角为顺时针方向形成的角，为负角3判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)当角的始边和终边确定后，这个角就确定了()(2)30是第四象限角()(3)钝角是第二象限的角()(4)终边相同的角一定相等()(5)第一象限的角是锐角()答案(1)(2)(3)(4)(5)题型一 任意角的概念【典例1】下列命题正确的是
4、()A终边与始边重合的角是零角B终边和始边都相同的两个角一定相等C在90180范围内的角不一定是钝角D小于90的角是锐角思路导引对角的概念的理解关键是弄清角的终边与始边及旋转方向和大小解析终边与始边重合的角还可能是360，720，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360的整数倍，如30与330，故B错；由于在90180范围内的角包含90角，所以不一定是钝角，C正确；小于90的角可以是0，也可以是负角，故D错误答案C理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小另外需要掌握判断结论正确与否的技巧：判断结论正确需要
5、证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可针对训练1若将钟表拨慢10分钟，则时针转了_度，分针转了_度解析由题意可知，时针按逆时针方向转了105，分针按逆时针方向转了1060.答案560题型二 终边相同的角的表示【典例2】已知角2020.(1)把改写成k360(kZ,0360)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求，使与终边相同，且360720.思路导引解题关键是理解与角终边相同的角的表示形式解(1)由2020除以360，得商为5，余数为220.取k5，220，5360220.又220是第三象限角，为第三象限角(2)与2020终边相同的角为k3602020(kZ)令360k3602020720(
6、kZ)，解得6k0)上的角的集合是S1|60k360，kZ，终边落在射线yx(x0)上的角的集合是S2|240k360，kZ，于是终边落在直线yx上的角的集合是S|60k360，kZ|240k360，kZ|602k180，kZ|60(2k1)180，kZ|60n180，nZ.题型三 象限角的判断【典例3】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角(1)75；(2)855；(3)510.思路导引作出图形，根据象限角的定义确定解作出各角，其对应的终边如图所示(1)由图可知75是第四象限角(2)由图可知855是第二象限角(3)由图可知510是第三象限角
7、象限角的判断方法(1)根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角；(2)根据终边相同的角的概念把角转化到0360范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角针对训练3已知是第二象限的角，则180是第_象限的角解析由是第二象限的角可得90k360180k360(kZ)，则180(180k360)180180(90k360)(kZ)，即k36018090k360(kZ)，所以180是第一象限的角答案一题型四 角，n(nN*)所在象限的确定【典例4】若是第二象限角，则是第几象限的角？思路导引已知角是第几象限角，判断所在象限，主要方法是解不等式并对k进行分类讨论，
8、考查角的终边位置解是第二象限角，90k360180k360(kZ)，45k18090k180(kZ)解法一：当k2n(nZ)时，45n36090n360(nZ)，即是第一象限角；当k2n1(nZ)时，225n360270n360(nZ)，即是第三象限角故是第一或第三象限角解法二：45k180表示终边为一、三象限角平分线的角，90k180(kZ)表示终边为y轴的角，45k18090k180(kZ)表示如图中阴影部分图形即是第一或第三象限角变式(1)若本例条件不变，求角2的终边的位置(2)若本例中的改为第一象限角，则2，分别是第几象限角？解(1)是第二象限角，k36090k360180(kZ)k7
9、201802k720360(kZ)角2的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上(2)因为是第一象限角，所以k36090k360，kZ.所以2k36021802k360，kZ.所以2是第一或第二象限角，或是终边落在y轴的正半轴上的角同理，k18045k180，kZ.当k为偶数时，为第一象限角，当k为奇数时，为第三象限角分角、倍角所在象限的判定思路(1)已知角终边所在的象限，确定终边所在的象限用分类讨论法，要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，k被n除余n1.然后方可下结论(2)已知角终边所在的象限，确定n终边所在的象限，可依据角的范围求出n的范围，再直接转
10、化为终边相同的角即可注意不要漏掉n的终边在坐标轴上的情况针对训练4已知是第一象限角，则角的终边可能落在_(填写所有正确的序号)第一象限第二象限第三象限第四象限解析是第一象限角，k360k36090，kZ，36036030，kZ.当k3m，mZ时，m360m36030，角的终边落在第一象限当k3m1，mZ时，m360120m360150，角的终边落在第二象限当k3m2，mZ时，m360240m360270，角的终边落在第三象限，故选.答案课堂归纳小结1对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角
11、的“绝对值大小”2把任意角化为k360(kZ，且0360)的形式，关键是确定k，可以用观察法(的绝对值较小)，也可以用除法3已知角的终边范围，求角的集合时，先写出边界对应的一个角，再写出0360内符合条件的角的范围，最后都加上k360，得到所求.1下列说法正确的是()A三角形的内角一定是第一、二象限角B钝角不一定是第二象限角C终边与始边重合的角是零角D钟表的时针旋转而成的角是负角解析A错，若一内角为90，则不属于任何象限；B错，钝角一定是第二象限角；C错，若角的终边作了旋转，则不是零角；D对答案D2215是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角解析由于215360145，而145
12、是第二象限角，故215也是第二象限角，选B.答案B3已知为第三象限角，则所在的象限是()A第一或第二象限B第二或第三象限C第一或第三象限D第二或第四象限解析由于k360180k360270，kZ，得36090360135，kZ.当k为偶数时，为第二象限角；当k为奇数时，为第四象限角答案D4将885化为k360(0360，kZ)的形式是_解析因为8853603195，且0360，所以k3，195，故885195(3)360.答案195(3)3605在角的集合|k9045，kZ中，(1)有几种终边不相同的角？(2)若360360，则集合中的共有多少个？解(1)在给定的角的集合中终边不相同的角共有四
13、种，分别是与45、135、135、45终边相同的角(2)令360k9045360，得k.又kZ，k4，3，2，1,0,1,2,3，满足条件的角共有8个课后作业(三十七)复习巩固一、选择题1下列是第三象限角的是()A110B210 C80D13解析110是第三象限角，210是第二象限角，80是第一象限角，13是第四象限角故选A.答案A2与600角终边相同的角可表示为()Ak360220(kZ)Bk360240(kZ)Ck36060(kZ)Dk360260(kZ)解析与600终边相同的角n360600n360360240(n1)360240k360240，nZ，kZ.答案B3设A小于90的角，B锐
14、角，C第一象限角，D小于90而不小于0的角，那么有()ABCABBACCD(AC)DCDB解析显然第一象限角不是都小于90，且小于90的角不都在第一象限，故A，B错；0不属于任何象限，故C错；锐角为小于90而大于0的角，CDB，选D.答案D4终边在直线yx上的所有角的集合是()A|k360135，kZB|k36045，kZC|k180225，kZD|k18045，kZ解析因为直线yx为二、四象限角平分线，所以角终边落到第四象限可表示为k360452k18045，kZ；终边落到第二象限可表示为k36018045(2k1)18045，kZ，综上可得终边在直线yx上的所有角的集合为|k18045，k
15、Z答案D5给出下列四个命题：75角是第四象限角；225角是第三象限角；475角是第二象限角；315角是第一象限角，其中真命题有()A1个B2个 C3个D4个解析正确；正确；中475360115，因为115为第二象限角，所以475也为第二象限角，正确；中31536045，因为45为第一象限角，所以315也为第一象限角，正确答案D二、填空题650角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是_解析顺时针方向旋转3周转了(3360)1080，又50(1080)1030，故所得的角为1030.答案10307已知角3000，则与角终边相同的最小正角是_解析设与角终边相同的角为，则
16、3000k360，kZ，又因为为最小正角，故取k9，则30003609240.答案2408若角与的终边在一条直线上，则与的关系是_解析因为与的终边在一条直线上，所以与相差180的整数倍答案k180，kZ三、解答题9在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角(1)120；(2)660；(3)95008.解(1)120240360，在0360范围内，与120角终边相同的角是240角，它是第三象限的角(2)660300360，在0360范围内，与660角终边相同的角是300角，它是第四象限的角(3)95008129523360，在0360范围内，与95008终边相同的角是
17、12952，它是第二象限的角10如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)解(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1|60k360，kZ(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2|30k180，kZ(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3|30k18060k180，kZ综合运用11若角，的终边相同，则的终边在()Ax轴的非负半轴By轴的非负半轴Cx轴的非正半轴Dy轴的非正半轴解析角，终边相同，k360(kZ)，k360(kZ)，故的终边在x轴的非负半轴上答案A12已知角2的终边在x轴的上方，那么是()A第
18、一象限角B第一、二象限角C第一、三象限角D第一、四角限角解析由题意知k3602180k360(kZ)，故k18090k180(kZ)，按照k的奇偶性进行讨论当k2n(nZ)时，n36090n360(nZ)，在第一象限；当k2n1(nZ)时，180n360270n360(nZ)，在第三象限故在第一或第三象限答案C13已知角的终边与角690的终边关于y轴对称，则角_.解析69072030，则角的终边与30角的终边关于y轴对称，而与30角的终边关于y轴对称的角可取150，故k360150，kZ.答案k360150，kZ14已知990630，且与120角的终边相同，则_.解析与120角终边相同，故有k360120，kZ.又990630，990k360120630，即1110k360750.当k3时，(3)360120960.答案96015已知，都是锐角，且的终边与280角的终边相同，的终边与670角的终边相同，求角，的大小解由题意可知，280k360，kZ，都是锐角，0180.取k1，得80.670k360，kZ.，都是锐角，9090.取k2，得50.由，得15，65.
