1、高考资源网（） 您身边的高考专家温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(十四)平面与平面垂直的判定一、选择题(每小题3分,共18分)1.如图所示的二面角(M,N)可记为()A.-lB.M-l-NC.l-M-ND.l-【解析】选B.此二面角可表示为二面角-l-或二面角M-l-N.2.(2014南昌高一检测)如果直线l,m与平面,满足=l,m,m,那么必有()A.m且lmB.且C.且mD.且lm【解析】选D.因为m,m,所以.因为=l,所以l.又因为m,所以lm.3.在空间四边形ABCD中,E,F,G
2、,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,且DC=BC,AD=AB,M为BD的中点,则平面EFGH与平面ACM()A.相交但不垂直B.相交且垂直C.可能不相交D.交线与HE不垂直【解析】选B.因为DC=BC,M为BD的中点,所以BDCM.因为AD=AB,M为BD的中点,所以BDAM.又AMCM=M,所以BD平面ACM.因为E,H分别为AB,AD的中点,所以EHBD,所以EH平面ACM.又EH平面EFGH,所以平面EFGH平面ACM.4.如图,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列说法中正确的是()A.平面ABC平面ABDB.平面ABD平面BCDC.平面ABC平面B
3、DE,且平面ACD平面BDED.平面ABC平面ACD,且平面ACD平面BDE【解析】选C.因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BEAC,同理有DEAC,因为DEBE=E,所以AC平面BDE.因为AC平面ABC,所以平面ABC平面BDE.又由于AC平面ACD,所以平面ACD平面BDE.5.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱PA=a,PB=PD=a,则它的5个面中互相垂直的面有()A.2对B.3对C.4对D.5对【解析】选D.由PA=a,PB=PD=a得PAB和PAD是直角三角形.所以PAAB,PAAD,从而PA平面ABCD,所以平面PAB平面ABCD;平面PAD
4、平面ABCD,又底面ABCD是边长为a的正方形,所以平面PAD平面PAB,平面PAB平面PBC,平面PAD平面PCD,共5对面面垂直关系.6.(2014天水高一检测)已知二面角-l-的大小是60,m,n是异面直线,且m,n,则m,n所成的角为()A.120B.60C.90D.30【解题指南】解答本题一方面要注意异面直线所成角、二面角的平面角的定义,另一方面要注意平面四边形内角和为360.【解析】选B.如图,设过m上一点P与n平行的直线PB,垂足为B.设m的垂足为A,且设由PB,m确定的平面PARB交l于R,则ARB=60,所以APB=120,所以PA与PB所成的角为60,即m, n所成的角为6
5、0.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014三明高一检测)已知两条不同直线m,l,两个不同平面,给出下列命题:若l垂直于内的两条相交直线,则l;若l,则l平行于内的所有直线;若m,l且lm,则;若l,l,则;若m,l且,则ml.其中正确命题的序号是.(把你认为正确命题的序号都填上)【解析】正确.由线面垂直的判定定理可知.错误.若l,则过l的平面与的交线与l平行.错误.如图所示,m,l,且lm,但是与不垂直.正确.由面面垂直的判定定理可知.错误.m与l也可能异面.答案:8.把直角三角形ABC沿斜边上的高CD折成直二面角A-CD-B,如图所示互相垂直的平面有对.【解析】因为CDAD,CDB
6、D,BDAD=D,故CD平面ABD.所以平面BCD平面ABD,平面ACD平面DAB.又平面ACD平面BCD,所以共3对.答案:3【举一反三】本题折成直二面角后的图中,若AC=BC=1,求AB.【解析】因为CDAD,CDBD,所以ADB为直二面角A-CD-B的平面角,所以ADB=90.因为AD=BD=,所以AB=AD=1.9.若P是ABC所在平面外一点,而PBC和ABC都是边长为2的正三角形,PA=,那么二面角P-BC-A的大小为.【解析】如图,取BC的中点O,连接AO,PO.因为PB=PC,O为BC的中点,所以BCPO.因为AB=AC,O为BC的中点,所以BCAO,所以AOP是二面角P-BC-
7、A的平面角.因为PO=OA=2sin60=,PA=,所以PO2+AO2=PA2,所以AOP=90,所以二面角P-BC-A的大小为90.答案:90三、解答题(每小题10分,共20分)10.如图所示,已知BSC=90,BSA=CSA=60,又SA=SB=SC.求证:平面ABC平面SBC.【证明】因为BSA=CSA=60,SA=SB=SC,所以ASB和ASC是等边三角形,则有SA=SB=SC=AB=AC,令其值为a,则ABC和SBC为共底边BC的等腰三角形.取BC的中点D,如图所示,连接AD,SD,则ADBC,SDBC,在RtBSC中,因为SB=SC=a,所以SD=a,BD=a.在RtABD中,AD
8、=a,在ADS中,因为SD2+AD2=SA2,所以ADS=90,又因为SDBC=D,所以平面ABC平面SBC.【一题多解】因为BSA=CSA=60,SA=SB=SC,所以ASB和ASC是等边三角形,所以SA=AB=AC,所以点A在平面SBC上的射影为SBC的外心.因为SBC为直角三角形,所以点A在SBC上的射影为斜边BC的中点D.所以AD平面SBC.又因为AD平面ABC,所以平面ABC平面SBC.11.(2014江苏高考)如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PAAC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:(1)直线PA平面DEF.(2)平面BDE平面ABC.
9、【证明】(1)因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以PADE,又PA平面DEF,DE平面DEF,所以PA平面DEF.(2)由(1)PADE,又PAAC,所以DEAC,又F是AB的中点,所以DE=PA=3,EF=BC=4,又DF=5,所以DE2+EF2=DF2,所以DEEF,EF,AC是平面ABC内两条相交直线,所以DE平面ABC,又DE平面BDE,故平面BDE平面ABC.【变式训练】如图,在三棱锥A-BCD中,BD=,AB=AD=CB=CD=AC=1,求证:平面ABD平面BCD.【证明】取BD的中点O,连接AO,CO.因为AB=AD,O为BD的中点,所以BDAO.同理可证BDCO,所以AOC
10、是二面角A-BD-C的平面角.因为OD=,AD=1,AOD=90,所以OA=.同理可求OC=,又AC=1,所以OA2+OC2=AC2,所以AOC=90,二面角A-BD-C是直二面角,所以平面ABD平面BCD.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014济宁高一检测)关于直线a,b,c以及平面,给出下面命题:若a,b,则ab;若a,b,则ba;若a,b,且ca,cb,则c;若a,a,则.其中正确命题的个数为()A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选C.错误.若a,b,则a与b平行、相交、异面都有可能.正确.因为a,过a作平面,=a,则aa.因为b,a,所以ba,所以ba.错误.因为缺少a
11、与b相交,所以无法推出c.正确.因为a,所以过a作平面,=a,则aa,因为a,所以a,又a,所以.2.三棱锥S-ABC中,SBA=SCA=90,ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形,给出以下结论:SBAC;直线SB平面ABC;平面SBC平面SAC;点C到平面SAB的距离是a.其中正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.因为ACSC,ACBC, SCBC=C,所以AC平面SBC,故ACSB.又SBAB,ACAB=A,所以SB平面ABC.因为AC平面SAC,所以平面SBC平面SAC,正确;取AB的中点E,连接CE,可证CE平面SAB,故CE的长度即为C到平面SAB的距离,正确.3
12、.如图,一山坡的坡面与水平面成30的二面角,坡面上有一直道AB,它和坡脚的水平线成30的角,沿这山路行走20m后升高()A.20mB.15mC.10mD.5m【解题指南】先作出山坡的坡面与水平面所成的二面角的平面角,然后标出有关数据计算点B到水平面的距离.【解析】选D.如图,作BH水平面,垂足为H,过H作HC坡脚线,垂足为C,连接BC,则BAC=30,由BHAC,HCAC,BHHC=H知,AC平面BHC,从而BCAC,所以BCH为坡面与水平面所成二面角的平面角,所以BCH=30.在RtABC中和RtBCH中,因为AB=20m,所以BC=10m,所以BH=5m.4.(2014孝感高一检测)四棱锥
13、V-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形,则二面角V-AB-C的大小为()A.30B.45C.60D.120【解析】选C.连接AC,BD,ACBD=O.过O作OEAB,垂足为E,连接VO,VE.因为VB=VD,O为BD的中点,所以VOBD,同理可证VOAC.又ACBD=O,所以VO平面ABCD,所以ABVO.又因为ABOE,OEVO=O,所以AB平面VOE,所以ABVE,所以VEO是二面角V-AB-C的平面角.因为OA=OB,OEAB,所以E为AB中点,所以AE=AB=1,OE=AD=1,所以VE=2,所以cosVEO=,所以VEO=60,所以二面角
14、V-AB-C的大小为60.【举一反三】本题中,若四棱锥的底面边长,侧棱长未知,知一个对角面面积是侧面积的倍,如何求二面角V-AB-C的大小.【解析】由已知得=,所以=,所以=,所以sinVEO=,VEO=60,所以二面角V-AB-C的大小为60.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2013深圳高一检测)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等边三角形,且AB=,AA1=,则二面角A1-BC-A等于.【解析】取BC的中点O,连接AO,A1O,因为ABC是等边三角形,所以BCAO.又因为AA1平面ABC,所以BCAA1.又AA1AO=A,所以BC平面AA1O,所以BCA1O,所以
15、AOA1是二面角A1-BC-A的平面角,在RtAA1O中,AA1=,AO=AB=,A1AO=90,所以AOA1=45,即二面角A1-BC-A等于45.答案:456.a,b表示直线,表示平面:若=a,b,ab,则;若a,a垂直于内任意一条直线,则;若,=a,=b,则ab;若a不垂直于平面,a,则与不可能垂直.上述命题中,正确命题的序号是.【解析】错误.如图所示,=a,b,ab,但与不垂直.正确.因为a垂直于内任意一条直线,所以a,又a,所以.错误.如图所示,=a,=b,但a与b不垂直.错误.如图所示a不垂直于,a,但是.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014衢州高一检测)如图,
16、菱形ABCD的边长为4,BAD=60,ACBD=O,将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点,DM=2.求证:平面DOM平面ABC.【证明】因为ABCD是菱形,所以ODAC.所以在三棱锥B-ACD中,ODAC.在菱形ABCD中,AB=AD=4,BAD=60,所以BD=4.因为O为BD的中点,所以OD=BD=2,因为O为AC的中点,M为BC的中点,所以OM=AB=2,因为OD2+OM2=8=DM2,所以DOM=90,故ODOM.因为AC平面ABC,OM平面ABC,ACOM=O,所以OD平面ABC.因为OD平面DOM,所以平面DOM平面ABC.8.(2014太原高一
17、检测)如图所示,在圆锥PO中,PO=,O的直径AB=2,C为弧AB的中点,D为AC的中点.(1)求证:平面POD平面PAC.(2)求二面角B-PA-C的余弦值.【解析】(1)如图所示,连接OC.因为OA=OC,D是AC的中点,所以ACOD,在圆锥PO中,PA=PC,则ACPD,又PDOD=D,所以AC平面POD,而AC平面PAC,所以平面POD平面PAC.(2)在平面POD中,过O作OHPD于H,由(1)知:平面POD平面PAC,所以OH平面PAC,过H作HGPA于G,连接OG,则OGPA,所以OGH为二面角B-PA-C的平面角,在RtODA中,OD=OAsin45=.在RtPOD中,OH=.
18、在RtPOA中,OG=.在RtOHG中,sinOGH=.所以,cosOGH=,所以,二面角B-PA-C的余弦值为.【变式训练】如图所示,已知三棱锥P-ABC,ACB=90,CB=4,AB=20,D为AB的中点,且PDB是正三角形,PAPC.(1)求证:平面PAC平面ABC.(2)求二面角D-AP-C的正弦值.【解析】(1)因为D是AB的中点,PDB是正三角形,AB=20,所以PD=AB=10,所以APPB.又APPC,PBPC=P,所以AP平面PBC.又BC平面PBC,所以APBC.又ACBC,APAC=A,所以BC平面PAC.又BC平面ABC,所以平面PAC平面ABC.(2)因为PAPC,且PAPB,所以BPC是二面角D-AP-C的平面角.由(1)知BC平面PAC,则BCPC,所以sinBPC=.即二面角D-AP-C的正弦值为.关闭Word文档返回原板块高考资源网版权所有，侵权必究！
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