1、第一章集合与简易逻辑(二)知识网络范题精讲【例1】 判断下列语句是否是命题，若不是，请说明理由;若是，判断命题的真假.(1)质数是奇数;(2)偶数的平方是偶数;(3)3xx;(4)x2x20;(5)我一定学好数学;(6)这是多么好的时代啊!分析:判断语句是否是命题，关键是看能否判定其真假.解:(1)是命题，且是假命题.因为2是质数也是偶数.(2)是命题，且是真命题.(3)不是命题.因为x是未知数，不能判断其真假.(4)是命题，且是真命题.因为x2x2(x)20对任意xR都成立.(5)不是命题.祈使句不是命题.(6)不是命题.感叹句不是命题.评注:表达命题的语句一般是陈述句，祈使句、感叹句、疑问
2、句都不是命题.同时应注意，只有能够判断真假的陈述句才是命题，否则也不是命题.【例2】 有命题a、b、c、d、e，已知：a是b的必要条件；b是d的充要条件；由d不可推出c，但c可推出d；ce成立，e又等价于b.问：(1)d是a的什么条件？(2)a是c的什么条件？(3)c是b的什么条件？(4)d是e的什么条件？ 分析:本题条件之间有较多的交叉，从文字叙述的条件来推理容易混淆，但是若将各个命题间的关系用“”“”“”联接起来，形成一个网络，那么就易解答了.解:把已知的a、b、c、d、e间的关系表示出来，构成上图，那么，(1)abd，d是a的充分不必要条件.(2)abdc或abec，a是c的必要不充分条
3、件.(3)bdc或bec，c是d的充分不必要条件.(4)ebd，d是e的充要条件.评注:将语言叙述符号化，可以起到简化推理过程的作用，这是一种常用的方法.【例3】 求证：一元二次方程ax2bxc0(a0)至多有两个不相等的实根.分析:本题直接证明比较困难，可采用反证法.证明:假设方程ax2bxc0(a0)有三个不相等的实根x1、x2、x3，则ax12bx1c0，ax22bx2c0，ax32bx3c0.得a(x12x22)b(x1x2)0.x1x2，a(x1x2)b0.同理，由得a(x1x3)b0.得a(x2x3)0.x2x3，a0.这与已知a0矛盾，假设不成立，原命题成立.评注:反证法的关键是
4、归谬，即推出矛盾，常有以下几种情形：与已知条件矛盾；与定义、定理、公理矛盾；自相矛盾；与假设矛盾.反证法常用于以下问题的证明：否定性问题；唯一性问题；“至多”“至少”问题；条件较少，直接证明困难的问题.【例4】 已知p:x|，q:x|1mx1m，m0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 分析:先写出p和q，然后由qp但pq，求得m的取值范围.解法一:p即x|2x10，p:Ax|x2或x10， q:Bx|x1m或x1m，m0.p是q的必要不充分条件，BA即m的取值范围是m|m9.解法二:p是q的必要不充分条件，q是p的必要不充分条件.p是q的充分不必要条件.而p:Px|2x10，q:
5、Qx|1mx1m，m0.PQ，即m的取值范围是m|m9.评注:对于充分必要条件的判断，除了直接使用定义及其等价命题进行判断外，还可以根据集合的包含关系来判断条件与结论之间的逻辑关系:设p包含的对象组成集合A，q包含的对象组成集合B，若AB，则p是q的充分不必要条件;若AB，则p是q的必要不充分条件;若AB，则p是q的充要条件;若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件.试题详解高中同步测控优化训练(三)第一章集合与简易逻辑(二)(A卷)说明：本试卷分为第、卷两部分，请将第卷选择题的答案填入题后括号内，第卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第卷(选择题共30分)一、选择题(本大
6、题共10小题，每小题3分，共30分)1.下列语句不是命题的有x230与一条直线相交的两直线平行吗3155x36A.B.C.D.解析:可以判断真假的语句(包括式子)叫做命题.其中在不给定变量值之前，无法判定真假；是问句，不涉及真假.答案:C2.下列命题为简单命题的是A.5和10是20的约数B.正方形的对角线垂直平分C.是无理数D.方程x2x20没有实数根解析:不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，A、B是p且q的形式，D是非p的形式.答案:C3.下列理解错误的是A.命题33是p且q形式的复合命题，其中p:33，q:33.所以“33”是假命题B.“2是偶质数”是一个p且q形式的复合命题，其中p:2 是
7、偶数，q:2是质数C.“不等式|x|1无实数解”的否定形式是“不等式|x|1有实数解”D.“20012008或20082001”是真命题解析:命题33是p或q形式的复合命题，其中p:33，q:33.所以“33”是真命题.答案:A4.如果命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，那么A.命题“非p”与命题“非q”的真值不同B.命题p与命题“非q”的真值相同C.命题q与命题“非p”的真值相同D.命题“非p且非q”是真命题解析:由“p且q”是假命题可知，p和q至少有一个是假命题，由“p或q”是假命题可知，p和q都是假命题.这样“非p”和“非q”就都是真命题.由真值表可知，“非p且非q”是真命题.答案
8、:D5.给出命题:p:31，q:42，3，则在下列三个复合命题:“p且q”“p或q”“非p”中，真命题的个数为A.0B.3C.2D.1解析:因为p真q假，由复合命题的真值表可知:“p且q”为假，“p或q”为真，“非p”为假.答案:D6.命题“若ABA，则AB”的逆否命题是A.若ABA，则ABB.若ABA，则ABC.若AB，则ABAD.若AB，则ABA答案:C7.在如下图所示的电路图中，“开关A的闭合”是“灯泡B亮”的_条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要解析:由“A闭合”“B亮”可知是B亮的必要不充分条件.答案:B8.用反证法证明命题“a、bN*，ab可被5整除，那么
9、a、b中至少有一个能被5整除”，那么假设内容是A.a、b都能被5整除B.a、b都不能被5整除C.a不能被5整除D.a、b有一个不能被5整除答案:B9.设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，那么丁是甲的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由甲乙丙丁，可知丁甲且甲丁，所以丁是甲的既不充分也不必要条件.答案:D10.已知a为非零实数，x为实数，则命题“xa，a”是“|x|a”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当a0时，xa，a|x|a;当a0时，xa，a |x|a.答案:D第卷(非选择题共70分
10、)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.分别用“p或q”“p且q”“非p”填空.(1)命题“的值不超过2”是_形式;(2)命题“方程(x2)(x3)0的解是x2或x3”是_形式;(3)命题“方程(x2)2(y3)20的解是”是_形式.答案:(1)非p(2)p或q(3)p且q12.“a5，且b2”的否定是_.答案:a5或b213.函数yax2bxc(a0)过原点的充要条件是_.答案:c014.给定下列命题：若k0，则方程x22xk0有实数根；“若ab，则acbc”的否命题；“矩形的对角线相等”的逆命题；“若xy0，则x、y中至少有一个为0”的否命题.其中真命题的序号是_.解析:
11、44(k)44k0，是真命题.否命题：“若ab，则acbc”是真命题.逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题.否命题：“若xy0，则x、y都不为零”是真命题.答案:三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分10分)写出下面“p或q”“p且q”“非p”“非q”形式的复合命题，并判断真假.p：7是21的约数；q：7是26的约数.解:因为p真q假，所以p或q：7是21的约数或是26的约数(真).p且q：7是21的约数且是26的约数(假).非p：7不是21的约数(假).非q：7不是26的约数(真).16.(本小题满分10分)证明：ax2bxc
12、0有一根是1的充要条件是abc0.分析:证题的关键是要分清abc0是条件，ax2bxc0是结论.证明:先证必要性.由ax2bxc0有一根为1，把它代入方程，即得abc0.再证充分性.由abc0，得abc，代入ax2bxc0，得(bc)x2bxc0，bx2cx2bxc0，bx(1x)c(1x2)0，(1x)bxc(1x)0，(1x)(bxcxc)0，x1是方程ax2bxc0的一个根.17.(本小题满分10分)判断命题若a0，则方程x2xa0有实数根的逆否命题的真假.解法一:a0，a0.14a0.方程x2xa0的判别式14a0.方程有实数根，原命题为真.而原命题与逆否命题等价，故逆否命题为真.解法
13、二:原命题：若a0，则方程x2xa0有实数根.其逆否命题为：若方程x2xa0无实根，则a0.x2xa0无实根，则14a0，即a.从而a0，原命题的逆否命题为真.18.(本小题满分12分)已知A：|5x2|3，B：0，则非A是非B的什么条件？并写出解答过程.解法一:化简A、B得A：x|x或x1，B：x|x5或x1.AB但BA，B是A的充分不必要条件.它的逆否命题:非A是非B的充分不必要条件.解法二:化简A、B得A:x|x或x1，B:x|x5或x1.非A：x|x1，非B：x|5x1.非A非B，非A是非B的充分不必要条件.19.(本小题满分12分)已知p:方程x2mx10有两个不等的负根；q:方程4x24(m2)x10无实根.若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围.解:若方程x2mx10有两个不等的负根，则解得m2，即p:m2.若方程4x24(m2)x10无实根，则16(m2)21616(m24m3)0.解得1m3，即q:1m3.p或q为真，p、q至少有一为真.又p且q为假，p、q至少有一为假.因此，p、q两命题应一真一假，即p为真、q为假或p为假、q为真.或解得m3或1m2.
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