1、高二数学同步辅导教材（第29讲）主讲: 孙福明(江苏省常州高级中学 一级教师)一、本讲进度 第九章 直线、平面、简单几何体 96 斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角二、主要内容1、 空间直角坐标系的概念；2、 空间直角坐标系下向量及向量运算的坐标表示；3、 用向量的坐标运算证明立体几何中的相关问题，如角与距离。三、学习指导 1、通过上一节的学习可知，对于不共面的三个向量，都可以把它们作为一个基底，从而用它们的线性组合x+y+z（x，y，zR）去表示空间任一向量，并且与有序数组（x，y，z）是一一对应的。为了研究问题的方便，同时也是为了使基底的取法具有规律性，通常取，为两两互相垂直且长度为1
2、，此时的基底称为单位正交基底，习惯用，来表示。设定空间任意一点O为原点，分别以，的方向为正方向建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，则建立的图形称为空间直角坐标系，用Oxy表示。如图，在中学阶段建立的是右手直角坐标系。点O叫做原点，x轴、y轴、z轴称为坐标轴，称为坐标向量，任两根坐标轴确定的平面称为坐标平面，如xOy平面，yOz平面，zOx平面。2、在刚才的空间直角坐标系，由空间向量的基本定理，任一向量都可以表示成=a1+a2+a3，称为有序数组（a1，a2，a3）为向量在空间直角坐标系Oxyz的坐标。因为这样表示是唯一的，所以可以直接表示为=（a1，a2，a3）。平移，使表示的有向线段的起点为原点
3、O，设终点为A，则一定有=（x，y，z）（x，y，zR），称定义（x，y，z）为点A在空间直角坐标系中的坐标，可以简记为A（x，y，z），其中x，y，z分别叫做点A的横坐标，纵坐标，竖坐标。注意：点的坐标与向量坐标之间的区别与联系。当向量的起点在原点时，向量的坐标就是终点的坐标；当向量的起点不在原点时，向量的坐标是终点的坐标减去起点的坐标。即若A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则（x2-x1，y2-y1，z2-z1）不管是向量坐标还是点的坐标，任一向量与三元有序数组之间是一一对应的。利用三角形法则=易证；向量的坐标表示进一步揭示了向量的数的特征，体现了数形结合，形数互为利用的思想
4、。3、向量的直角坐标运算设=(a1，a2，a3)，=（b1，b2，b3），则+=（a1+b1，a2+b2，a3+b3）-=（a1-b1，a2-b2，a3-b3）=a1b1+a2b2+a3b3=(a1,a2,a3)（R）a1b1+a2b2+a3b3=04、 夹角和距离公式设=(a1,a2,a3), =(b1,b2,b3)则|=，|=cos=已知A（x1,y1,z1）,B(x2,y2,z2)，则dA,B=|=利用向量的坐标运算可以借助于代数运算解决立体几何中的有关问题。例如利用夹角公式求两条异面直线所成的角，利用a1a2+b1b2+c1c2=0可以证明线线垂直，进而证明线面垂直。其一般步骤是：（1
5、）建立空间直角坐标系；（2）设出有关点或向量的坐标；（3）利用向量的坐标运算求解几何问题所对应的向量问题；（4）得出立体几何问题的结论。 6、如何求空间直角坐标系下点或向量的坐标。不妨设向量的起点在原点O，终点为A。当A在x轴上时，A（x,0，0），x为有向线段的数量，x=OA当A在y轴上时，A（0，y，0），y=OA当A在z轴上时，A（0，0，z），z=OA在一般情况下，设点A在x轴，y轴，z轴的射影分别为A1，B1，C1，则x=OA1，y=OB1，z=OC1即x，y，z分别为在x轴、y轴、z轴上的射影。进一步的，|x|、|y|、|z|就是以OA为对角线的长方体（如图）的三度：长度、宽度、高
6、度。当点A在平面xOy，平面yOz，平面zOx中某一个时，一定有一个坐标值为0，上述位置对应的坐标特征为（x，y，0），（0，y，z），（x，0，z）四、典型例题 例1、如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1A、B1B的中点，求直线CM与D1N所成角的余弦值。解题思路分析；首先建立坐标系，设正方体棱长为1，取=， =， =，以，为坐标向量建立空间直角坐标系Dxyz。其次，求出相关点的坐标，即C、M、D1、N四点坐标。C（0，1，0），D1（0，0，1），M（1，0，），N（1，1，）在其基础上求出有关向量的坐标。=（1，-1，），=（1，1，-）再次，利用向量夹角公式求出与的
7、夹角cos=（）/（|）=最后，回到立体问题中去，同时注意向量概念与立体几何概念之间的差异。 cos0 是异面直线CM与D1N所成角的补角 异面直线CM与D1N所成角余弦值为例2、正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD中点，（1） 求证：AED1F（2） 求证：D1F平面ADE（3） 求异面直线EF与BD1所成的角解题思路分析：设正方体棱长为1，取，=，=，以，为坐标向量建立空间直角坐标系Dxyz则D1（0，0，1），F=（0，0），A（1，0，0），E（1，1，） =（0，1，），=（0，-1） =00+11=0 ，AED1F （2）只要再证D1FAD，即=0即可 =（-
8、1，0，0） =-10+0-01=0 ，ADD1F又由（1）AED1F，ADAE=A D1F平面ADE（4） 利用夹角公式，分别求出，|，|即可 =（-1，-，-），=（-1，-1，1） =1+=1 |=，|= cos=()/（|）= =arccos 异面直线EF与BD1所成的角为arccos例3、正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC中点，P是CC1中点（1） 求证：BD1平面C1DE；（2） 求证：EC1平面A1B1P。解题思路分析： （1）翻译为向量语言，就是把表示为平面C1DE中某两个向量的线性组合，例如证明与及共面如图建立空间直角坐标系，则B（1，1，0），D1（0，0，1），E
9、（，1，0） =（-1，-1，1），1，0），=（0，1，1） = 与，共面 BD1平面DEC1 BD1平面DEC1 （2）只需证EC1与平面A1B1P中某两条直线垂直，即与平面A1B1P中某两个向量的数量积为0 B1（1，1，1），P（0，1，） =（-1，0，） =（，0，1） =0 ，B1PEC1 又 =（0，1，0） =0 ，A1B1EC1 由得，A1B1B1P=B1 EC1平面A1B1P例4、正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，M、N分别在A1B、B1D1上，且A1M=A1B，B1N=B1D1，（1） 求证：MN是A1B和B1D1的公垂线；（2） 求异面直线A1B与B1D1间的
10、距离。解题思路分析：如图建立空间直角坐标系只需证：=0，=0 A1（1，0，1），B（1，1，0） =（0，1，-1）同理，=（-1，-1，0）又M（1，），N（，1） =（） =0，=0 ， MNA1B1，MNB1D1又MN与A1B，B1D1分别相交 MN是A1B和B1D1的公垂线（3） dM，N= MN=，即异面直线A1B与B1D1之间的距离是例5、正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD交点，M为D1D中点（1） 求证：B1O平面MAC（2） 求异面直线B1O与D1C所成角的大小解题思路分析：如图建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），C1（0
11、，1，1），O（，0），B1（1，1，1），M（0，0，）则=（），=（1，0，），=（0，1，） =0 =0 ，即 B1OMA，B1OMC又MAMC=M B1O平面MAC （2） =（0，1，-1）， =，|=，|= cos=（）/（|）= =arccos 异面直线D1C与B1O所成的角为arccos注：由上面数例可以看出：用向量解决立体几何问题，重在算，技能要求稍高，但难度上比传统几何的逻辑思维及空间想象低得多，几乎也不不需要特殊的技巧；所以向量方法可以说是一种“程序化”的方法；在右手直角坐标系建立后，如何求出点的坐标进而求出向量的坐标是向量法的基础，也是关键，因为下面的运算就是建立在坐标
12、之上的。在这里，需要一定的空间想象能力，能够正确地进行投影（分解）；通常用向量夹角公式证明几何的角及垂直问题；用向量距离公式求线段长度；用数乘向量证明共线（共面）问题。同步练习（一） 选择题1、 给出下列命题： 若点（x，y，z）在xoy平面内，则z=0若点（x，y，z）在yoz平面内，则x=0若点（x，y，z）在zox平面内，则y=0若点（x，y，z）在y轴上，则y0其中正确的命题个数是：A、1 B、2 C、3 D、42、 下列命题错误的是；A、 点（x，y，z）关于xoy平面的对称点是（x，y，-z）B、 点（x，y，z）关于yoz平面的对称点是（-x，y，z）C、 点（x，y，z）关于z
13、ox平面的对称点是（x，-y，z）D、 点（x，y，z）关于原点的对称点是（-x，-y，z） 3、已知=（2，-1，3），=（-4，2，x），若与夹角是钝角，则x取值范围是A、（-，） B、（-，2） C、（，+） D、（-，）4、棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值是：A、 B、 C、 D、 5、正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是AA1和BB1的中点，则DM与D1N所成角的余弦值是A、 B、 C、 D、（二） 填空题 6、已知=（3，-3，-1），=（2，0，3），=（0，0，2），求（+）=_。7、 =
14、（2，-3，），=（1，0，0），则与夹角为_。8、 与xoy平面的距离为1的点（x，y，z）所满足的条件是_。 9、已知点A（3，-5，7），点B（1，-4，2），则的坐标是_，AB中点坐标是_。 10、已知A（3，2，1），B（1，0，4），则到A、B两点距离相等的点（x，y，z）的坐标所满足的条件是_。 （三）解答题 11、在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是D1D，DB的中点，G在棱CD上，CG=CD，H是C1G的中点（1） 求证：EFB1C（2） 求EF与C1G所成角的余弦值（3） 求FH的长12、长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=a，BC=b，AA1=c
15、，（ab），求异面直线D1B和AC所成角的余弦值。13、M、N分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1和B1C1的中点，（1） 求MN与CD所成的角；（2） 求MN与AD所成的角。14、长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=2AA1=2BC，E为C1D1中点，求证：DE平面EBC。 15、正方体ABCDA1B1C1D1中，E为CD的中点（1） 求证：EB1AD1；（2） 求D1E与A1C所成角的余弦值。参考答案（一） 填空题1、 C2、 D3、 A4、 B5、 B（二） 填空题6、 -17、 6008、 z19、 （-2，1，-5），（2，） 10、4x+4y-6z+3=0（三） 解答
16、题11、（1）以D为原点，=，=，=，以，为坐标向量建立空间直角坐标系。则=（-1，0，-1），=0； （2），-1），cos,； （3）H（0，），dF,H=，FH=。12、如图建立坐标系，则=（-b，-a，c），=（-b，a，0）,cos= BD1与AC所成角余弦值为13、如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1则=（0，-1，0）， =0 CDMN =（-1，0，0） cos= , MN与AD所成角为45014、如图建立空间直角坐标系则=（0，1，0），=（1，0，0），=（0，1，-1） =0，=0 ， DEBC，DEEC又BCEC=C DE平面EBC15、如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1则=（-1，0，1）， =0 即AD1EB1 ，=（-1，1，1） cos= D1E与AC1所成角的余弦值为