1、1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质教学背景1学生已经有了学习正弦函数和余弦函数的图象与性质的经验，因此可以应用对比、类比的方法进行研究，将已有经验迁移到对正切函数性质与图象的研究中；2学生已经掌握了正切函数的定义、正切线和与正切有关的诱导公式，这为本节课的学习提供了知识的保障，在此基础上，进一步研究其性质和图象，体会研究函数方法，也是为解析几何中直线斜率与倾斜角的关系等内容做好知识储备教学目标1知识与技能：通过对正切函数的图象与性质的研究，注重培养学生类比思想的养成，以及培养学生综合运用新旧知识的能力学会通过对图象的观察来整理相应的知识点，学会运用数学思想解决实际问题的能力2过程与方法
2、：在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上，运用类比的方法，学习正切函数的图象与性质，从而培养学生的类比思维能力3情感态度与价值观：通过正切函数图象的教学，培养学生欣赏(中心)对称美的能力，激发学生热爱科学、努力学好数学的信心重点难点教学重点：正切函数的图象与性质的简单应用教学难点：正切函数性质的深刻理解及其简单应用课时安排1课时导入新课(直接导入)常见的三角函数还有正切函数，前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课复习回顾1. 什么是角的正切线？在直角坐标系中，设单位圆与x轴正半轴的交
3、点为A(1,0)，任意角的终边与单位段AT为角的正切线。圆交于点P，过点A(1,0)作x轴的垂线，与角的终边或终边的延长相交于T点，则tanx=AT.2.诱导公式 知识探究1.正切函数的图像思考1：正切函数的定义域是什么？思考2：正切函数y=tanx是否为周期函数？2.诱导公式 思考3：类比正弦函数图像的作法，可以利用正切线作正切函数在区间的图像，具体应如何操作？ 教师引导学生用单位圆上的正切线来作正切函数在开区间(，)内的图象，如图1根据正切函数的周期性，把图1向左、右扩展，得到正切函数ytanx，x(k，k)(kZ)的图象，我们称正切曲线，如图2.可以看出，正切曲线是由通过点(k，0)(k
4、Z)且与y轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成图1图22.正切函数的性质下面让学生结合图像自己探究正切函数ytanx的性质：(1)定义域正切函数的定义域是|k，kZ，而不是2k，kZ，这个问题不少初学者很不理解，在解题时又很容易出错，教师应适时提醒学生注意这点，深刻明了其内涵本质(2)值域由多媒体课件演示正切线的变化规律，从图3或正切线可以看出，在区间 (，)内，当x小于，并且无限接近时，tanx可无限地增大，且它的值可比指定的任何正数都大我们把这种情况，记作tanx.读作“tanx趋向于正无穷大”；当x大于，并且无限接近时，tanx可无限地减小，且它的绝对值可比指定的任何正数都大，我们把
5、这种情况，记作tanx.读作“tanx趋向于负无穷大”这就是说，tanx可以取任意实数值，没有最大值，也没有最小值因此，函数ytanx的值域是实数集R.(3)周期性由诱导公式tan(x)tanx，xR，xk，kZ，可知，正切函数是周期函数，周期是.(4)奇偶性由诱导公式tan(x)tanx，xR，xk，kZ可知，正切函数是奇函数，所以它的图象关于原点对称(5)单调性通过多媒体课件演示，由正切线的变化规律可以得出，正切函数在(，)内是增函数，又由正切函数的周期性可知，正切函数在每一个开区间(k，k)，kZ内都是增函数思考1：正切函数在整个定义域上是不是增函数？正切函数在每个区间上都是增函数，但我
6、们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数如在区间(0，)上就没有单调性，这一点务必让学生理解透彻，课后的思考与讨论提到了这一点思考2：一条平行于x轴的直线与正切曲线相邻两支的交点的距离为多少？题型探究例1 求函数 的定义域。活动：让学生自己探究，并展示解题过程。练一练：求函数的定义域。总结： 。活动：让学生通过解答，总结求定义域的方法-换元法。 例2 求函数的周期。活动：师生共同分析，利用换元法求周期。练一练：求函数的周期。思考：由上面两题，你能得到函数的周期吗？活动：让学生总结出函数yAtan(x)(0)的周期T.例1比较大小 比较的函数值的大小。活动：教师可放手让学生自己去探究完成，由学生
7、类比正弦、余弦函数值的大小比较，学生不难解决，主要是训练学生巩固本节所学的基础知识，加强类比思想的运用解：(1)ytanx在90x180上为增函数，由167173，得tan167tan173.练一练：。总结： 。活动：（学生总结）利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，可以先利用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小。 例4 求函数的单调区间。活动：师生共同探究，并完整板书。练一练：求函数的单调区间。提问：这个题目求解时要注意什么？思考：如何求函数的单调区间？活动：（学生总结）1、 将x的系数化成正数；2、换元法。当堂检测基础训练1. 函数的周期是（ ）A. B.2
8、C. D.2. 已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a、b、c的大小关系是（ ）A. abc B.cba C.bca D.bac.4.函数的定义域是 5.函数的单调区间 。能力提升6. 函数 的定义域是（ ）(A) x|kxk+ , kZ (B) x|2kx2k+, kZ(C) x|kxk+ , kZ (D) 第一、三象限1先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法，有哪些启发、收获本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后，研究的又一个具体的三角函数，与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同？研究正、余弦函数，是由图象得性质，而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质，并在此基础上得到图象，最后用图象又验证了函数的性质2教师简要归纳，本节研究的过程是由数及形，又由形及数相结合，也是我们研究函数的基本方法，特别是运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法：课本A组练习题1本教案的设计思路是始终抓住类比思想这条主线，让学生在巩固原有知识的基础上，通过类比，由学生自己来对新知识进行分析、探究、猜想、证明，使新旧知识点有机地结合在一起，学生对新知识也较易接受2本教案设计的学习程序是：温故(相关知识准备)新的学习对象与旧知识的联系类比探究解决问题应用成果归纳总结进一步地发散思考探索提高
