1、2.2.2 对数函数及其性质第1课时 对数函数的图象及性质主题1对数函数的概念1.考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物,利用(P为碳14含量)估算出土文物或古遗址的年代t.那么t是P的函数吗?为什么?提示:t是P的函数,因为对于P每取一个确定的值按照对应关系f:都有唯一的值与之相对应,故t是P的函数.2.问题1中函数的解析式与函数y=log2x的解析式有什么共同特征?提示:两函数的共同特征是自变量均在真数位置上,底数是大于零且不等于1的常数.结论:对数函数的定义函数_,叫做对数函数,其中x是_,函数的定义域是_.y=logax(a0且a1)自变量(0,+)【微思考】请你
2、根据所学过的知识,思考对数函数解析式中的底数能否等于0或小于0?提示:因为y=logaxx=ay,而在指数函数中底数a需满足a0且a1,故在对数函数解析式中a的取值范围不能等于0或小于0.主题2对数函数的图象与性质1.在同一坐标系内画出函数y=log2x和y=log3x的图象.并说出函数图象从左到右的变化趋势.提示:(1)列表x1234y=log2x-2-log23-101log232y=log3x-log34-1-log320log321log34描点画图(2)图象的变化趋势:这两个函数的图象从左到右均是不断上升的.2.在问题1所画图象的基础上,再画出函数和的图象,并说出新画出的两个函数图象
3、的变化趋势及这四个函数图象的特征.提示:(1)函数和的图象从左到右是下降的.(2)函数y=log2x和的图象关于x轴对称,同样,函数y=log3x和的图象也关于x轴对称.(3)这四个函数的定义域均为(0,+),值域为R,都过定点(1,0).结论:归纳对数函数的图象和性质y=logax(a1)y=logax(0a1)y=logax(0a1,则对数函数是增函数,若0a1,则对数函数是减函数.2.将不同底数的对数函数的图象画在同一平面直角坐标系中,若沿直线y=a(a0)自左向右观察能得到什么结论?提示:将不同底数的对数函数的图象画在同一个平面直角坐标系中,沿直线y=a(a0且a1),则函数f(x)的
4、图象必过定点()A.(1,0)B.(2,0)C.(0,1)D.(0,2)【解析】选B.因为函数f(x)=loga(x-1)(a0且a1)的图象是由对数函数y=logax的图象向右平移一个单位得到的,且对数函数y=logax的图象恒过点(1,0),故f(x)的图象恒过点(2,0).3.当a1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=logax的图象是()【解析】选A.因为y=a-x=且a1,所以y=a-x是减函数,y=logax是增函数,故选A.4.已知对数函数f(x)过点(2,4),则f(x)的解析式为_.【解析】设f(x)=logax,则由f(2)=loga2=4得a4=2,所以a=,所以f(
5、x)=答案:f(x)=5.函数f(x)=log2(x-1)的定义域是_.【解析】由题意知x-10,即x1,故定义域为(1,+).答案:(1,+)类型一 对数函数的定义【典例1】(2017宁波高一检测)下列各函数是对数函数的序号是_.y=log3(2x);y=log3(x+1);y=log3;y=-log3x.【解题指南】观察函数解析式的形式,看是否满足对数函数的定义,然后再下结论.【解析】中,真数不是自变量x,故不是对数函数;同,不是对数函数;中,=log3x=log9x,满足对数函数的三个条件特征,故是对数函数;中,-log3x=,是对数函数.答案:【方法总结】判断一个函数是否是对数函数的方
6、法(1)看形式:判断一个函数是否是对数函数,关键是看解析式是否符合y=logax(a0且a1)这一结构形式.(2)明特征:对数函数的解析式具有三个特征:系数为1;底数为大于0且不等于1的常数;对数的真数仅有自变量x.只要有一个特征不具备,则不是对数函数.【巩固训练】(2017枣庄高一检测)函数y=(a2-4a+4)logax是对数函数,则a=_.【解析】因为y=(a2-4a+4)logax是对数函数,所以a2-4a+4=1且a0,a1,故a=3.答案:3【补偿训练】若函数y=f(x)是函数y=ax(a0且a1)的反函数,其图象经过点求f(2).【解题指南】同底的指数函数与对数函数互为反函数,因
7、此可设f(x)=logax,然后结合条件求出a,进而确定f(2)的值.【解析】设f(x)=logax,由题意知故所以因此所以f(2)=类型二 对数函数图象问题【典例2】(1)如图所示的曲线是对数函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系为_.(2)已知f(x)=loga|x|,满足f(-5)=1,试画出函数f(x)的图象.【解题指南】(1)过点(0,1)作平行于x轴的直线,则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c,d,a,b,通过观察图象即可确定a,b,c,d与1的大小关系.(2)先利用条件f(-5)=1求出a的值,然后画出x0
8、时,f(x)的图象,再把x0时的图象关于y轴对称,即可画出函数f(x)的图象.【解析】(1)由图可知函数y=logax,y=logbx的底数a1,b1,函数y=logcx,y=logdx的底数0c1,0da1dc.答案:ba1dc(2)因为f(-5)=1,所以loga5=1,即a=5,故f(x)=log5|x|=所以函数y=log5|x|的图象如图所示.【延伸探究】1.本例2(2)条件不变,试写出函数f(x)=loga|x|的值域及单调区间.【解析】由典例2(2)的图象知f(x)的值域为R,递增区间为(0,+),递减区间为(-,0).2.若把本例2(2)中的函数改为y=log5|x+1|,请画
9、出它的图象.【解析】利用图象变换来解题,画出函数y=log5|x|的图象,将函数y=log5|x|的图象向左平移1个单位,即可得函数y=log5|x+1|的图象,如图所示.【方法总结】1.根据对数函数图象判断底数大小的方法作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,依据在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小.2.对数型函数图象恒过定点问题解决此类问题的根据是对任意的a0且a1,都有loga1=0.例如,解答函数y=m+logaf(x)(a0且a1)的图象恒过定点问题时,只需令f(x)=1求出x,即得定点(x,m).【拓展】函数图象对称性的特例及推广
10、(1)y=ax与y=(a0且a1)特例 函数y=ax与函数y=的图象关于y轴对称推广 函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称(2)y=logax与y=(a0且a1)特例函数y=logax与函数y=的图象关于x轴对称推广函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称【补偿训练】作出函数y=|log2(x+1)|的图象.【解析】第一步:作出函数y=log2x的图象(如图);第二步:将y=log2x的图象向左平移1个单位长度,得函数y=log2(x+1)的图象(如图);第三步:将函数y=log2(x+1)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,得y=|log2(x
11、+1)|的图象(如图).类型三 与对数函数有关的定义域问题【典例3】(1)(2017烟台高一检测)函数f(x)=的定义域为()A.(0,2)B.(0,2 C.(2,+)D.2,+)(2)(2017温州高一检测)函数f(x)=log2x-1的定义域是_.【解题指南】(1)根据真数大于0,被开方数大于0,列不等式组求解.(2)根据被开方数大于等于0、真数大于0、底数大于0且不等于1,列不等式组求解.【解析】(1)选C.要使函数有意义,则有解得x2,即函数的定义域为(2,+).(2)要使函数有意义,必须满足所以所以函数的定义域为答案:【方法总结】求函数定义域的三个步骤(1)列不等式(组):根据函数f
12、(x)有意义列出x满足的不等式(组).(2)解不等式(组):根据不等式(组)的解法步骤求出x满足的范围.(3)结论:写出函数的定义域.提醒:(1)通过建立不等关系求定义域时,要注意解集为各不等关系解集的交集.(2)当对数型函数的底数含字母时,在求定义域时要注意分类讨论.【巩固训练】函数y=的定义域为()【解析】选A.要使函数y=有意义需2x-30,即【补偿训练】求下列函数的定义域.(1)(2)y=(a0,且a1).【解析】(1)由得所以x-1且x999,所以函数的定义域为x|x-1且x999.(2)loga(3-4x)0.(*)当a1时,(*)可化为loga(3-4x)loga1,所以3-4x1,x 当0a1时,(*)可化为loga(3-4x)loga1,所以01时,函数定义域为当0a1时,函数定义域为【课堂小结】1.知识总结2.方法总结(1)根据对数函数的定义去判断一个函数是否为对数函数.(2)利用对数函数的图象(即数形结合思想)去研究对数函数的性质.
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