1、目标导航1了解平面向量的基本定理及其意义(重点)2会用平面向量基本定理，用基底表示向量(重、难点)3记住向量夹角和两向量垂直的定义(重点、易错点)1 新知识预习探究 知识点一 平面向量基本定理阅读教材 P93P94 第一、二自然段，完成下列问题(1)定理：如果 e1、e2 是同一平面内的两个的向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2.(2)我们把不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组不共线基底【思考】怎样的两个向量才能作为基底？平面向量的基底唯一吗？【提示】只有不共线的两个向量才能作基底；平面向量的基底不唯一【练习 1】在平面四边
2、形 MNPQ 中，下列一定可以作为该平面内所有向量的一组基底的是()A.MN 与MP B.MN 与QPC.MQ 与PND.QN 与NQ解析：当四边形 MNPQ 为平行四边形时，MN 与QP 共线，MQ 与PN共线；QN 与NQ 共线，不能作为基底只有MN 与MP 不共线，可以作为基底答案：A知识点二 向量的夹角阅读教材 P94 第三自然段“思考”以上内容，完成下列问题(1)已知两个非零向量 a 和 b，作OA a，OB b，则AOB 叫做向量 a 与 b 的(2)向量的夹角 的范围是 0180，a 与 b 同向时，夹角0；a 与 b 反向时，夹角 180.(3)如果向量 a 与 b 的夹角是
3、90，我们说 a 与 b 垂直，记作 ab.夹角【思考】如图所示，向量 a 与 b 的夹角是 吗？【提示】由向量夹角的定义可知，向量 a 与 b 的夹角不是，而是 180.【练习 2】2015青岛高一检测在等边三角形 ABC 中，向量AB与BC的夹角为_解析：由向量夹角定义可知，AB与BC的夹角为ABC 的补角，而ABC60所以AB与BC的夹角为 120.答案：1202 新视点名师博客1.平面向量基本定理的理解(1)e1，e2 是同一平面内的两个不共线的向量，e1，e2 的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底；(2)平面内的任一向量 a 都可以沿基底进行分解；(3)基底 e1，e2 确定后，
4、则实数 1，2 是唯一确定的2两向量夹角概念的正确理解(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，BAC 不是向量CA与向量AB的夹角，BAD 才是向量CA与向量AB的夹角3 新课堂互动探究 考点一对基底概念的理解例 1若向量 a，b 不共线，且 c2ab，d3a2b，试判断c，d 能否作为基底分析：要判断 c、d 能否作为基底，只需看 c，d 是否共线，若共线，则不能作为基底；否则可以作为基底解析：设存在实数 使得 cd，则 2ab(3a2b)，即(23)a(
5、21)b0.由于 a，b 不共线，从而 23210，这样的 是不存在的，从而 c，d 不共线，故 c，d 能作为基底点评：考查两个向量能否构成基底，主要看两个向量是否共线此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示变式探究 1(1)设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，下列向量组：AD 与AB；DA 与BC；CA与DC；OD 与OB.其中可作为表示这个平行四边形所在平面内的所有向量的基底是()A BCD(2)如果 e1，e2 是平面 内的一组基底，那么下列命题中正确的是()A若实数 1，2 使 1e12e20，则 120B空间内任一向量 a 都可以表示
6、为 a1e12e2，其中 1，2RC1e12e2 不一定在平面 内，1，2RD对于平面 内任一向量 a，使 a1e12e2 的实数 1，2有无数对解析：(1)AD 与AB不共线；DA BC，则DA 与BC共线；CA与DC 不共线；OD OB，则OD 与OB 共线由平面向量基底的概念知向量组可以作为平面内所有向量的基底，故选 B.(2)选项正误原因A由平面向量基本定理可得B不能是空间内任一向量 a，而应是平面 内任一向量C1e12e2 一定在平面 内D这样的 1，2 是唯一的答案：(1)B(2)A考点二用基底表示向量例 2 在ABCD 中，设ACa，BD b，试用 a，b 表示AB，BC.分析：
7、画出图形，利用向量加法的三角形或平行四边形法则转化画出图形，首先用 a，b 表示AO，BO，然后用 a，b 表示AB，BC.解析：方法一(转化法)：如图，设 AC，BD 交于点 O，则有AO OC 12AC12a，BO OD 12BD 12b.ABAO OB AO BO 12a12b，BCBO OC 12a12b.方法二(方程思想)：设ABx，BCy，则有ABBCAC，AD ABBD 且AD BCy，即xya，yxb，x12a12b，y12a12b，即AB12a12b，BC12a12b.点评：本题类型是用基向量表示未知向量，一般有两种方法：(1)充分利用向量的线性运算，灵活应用向量加法的三角形
8、法则与平行四边形法则求解；(2)采用方程思想，即直接用AB，BC表示 a，b 然后把AB，BC看做未知量，利用方程思想求解AB，BC.变式探究 2 如图所示，已知在平行四边形 ABCD 中，E，F分别是 BC，DC 边上的中点若ABa，AD b，试以 a，b 为基底表示DE，BF.解析：四边形 ABCD 是平行四边形，E，F 分别是 BC，DC 边上的中点，AD BC2BE，CD BA2CF，BE12AD 12b，CF12CD 12BA12AB12a.DE DA ABBEAD ABBEba12ba12b，BFBCCFAD CFb12a.考点三求向量的夹角例 3已知|a|b|2，且 a 与 b
9、的夹角为 60，则 ab 与 a 的夹角是_，ab 与 a 的夹角是_，ab 与 ab 的夹角是_分析：题目中给出了两向量|a|b|2，且 a 与 b 的夹角为 60，要求 ab 与 a 的夹角，以及 ab 与 a 的夹角，可先令OA a，OBb，以 OA，OB 为邻边作出OACB，表示出 ab，ab，利用向量夹角的定义求解 解析：如图，作向量OA a，OB b，以 OA，OB 为邻边作平行四边形，则四边形 OACB 为菱形OC ab，BAOA OB ab，OC 与OA 的夹角为 30，BA与OA 的夹角为 60.OC BA，ab 与 a 的夹角为 30，ab 与 a 的夹角为 60，ab 与
10、 ab 的夹角为 90.答案：30 60 90点评：求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识，求解向量的夹角，过程简记为“一作二证三算”变式探究 3 已知向量 a，b 的夹角为 60，试求下列向量的夹角；(1)a 与 b；(2)2a 与23b.解析：(1)如图所示，向量 a，b 的夹角为 60，向量a 与 b 的夹角为 120.(2)2a 与 a 同向，23b 与 b 同向，所以 2a 与23b 的夹角和 a 与 b 的夹角相同，所以 2a 与23b 的夹角为 60.4 新思维随堂自测1.已知 e1，e2 是表示平面 内所有向量的
11、一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是()Ae1 和 e1e2Be12e2 和 e22e1Ce12e2 和 4e22e1De1e2 和 e1e2解析：由于 4e22e12(e12e2)，故选 C.答案：C2已知 axe12e2 与 b3e1ye2 共线，且 e1、e2 不共线，则xy 的值为()A6 B.23C6 D23答案：A3如图，OA、OB、OC 的终点 A、B、C 在一条直线上，且AC3CB，设OA p，OB q，OC r，则以下等式成立的是()Ar12p32qBrp2qCr32p12qDrq2p答案：A4如图，已知 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 BC、CD 的中点，E
12、F 与 AC 交于点 G，若ABa，AD b，用 a、b 表示AG _.解析：AG ABBEEG a12b14BD a12b14b14a34a34b.答案：34a34b5已知|a|1，|b|2，且 ab 与 a 垂直，则 a 与 b 的夹角为_解析：如图所示，作向量OA a，OB b，则BAab.OA1，OB 2，OAAB，cosAOB 22，AOB45，故 a 与 b 的夹角为 45.答案：455 辨错解走出误区易错点：对基底的定义理解不准确【典例】已知下列命题：若 ab，则必存在唯一的实数，使得 ba；若 mana，则 mn(m，nR)；若 e1 和 e2 是表示平面内所有向量的一组基底，
13、那么向量 e1e2 和 e1e2 也能作为一组基底；若 ae1be2ce1de2(a，b，c，dR)，则 ac，bd.写出其中所有正确命题的序号_【错解】【错因分析】中 0 平行于任意向量 b(b0)，但不存在实数，使 b0.中 3020，但 32.中假设 e1e2 与 e1e2共线，则存在实数，使 e1e2(e1e2)，即(1)e1(1)e2，所以 e1 与 e2 共线，这与 e1 和 e2 不共线矛盾从而 e1e2 与 e1e2不共线，它们可以作为一组基底中当 e1 与 e2 共线时，结论不一定成立【正解】【反思】平面内任意一对不共线的向量都可以作为表示该平面内所有向量的基底，一定要注意“不共线”这一条件，在做题时容易忽略此条件而导致错误，同时还要注意零向量不能作基底.