1、河南省豫南九校（中原名校）2017届高三下学期质量考评（八）理数试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合,则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为，所以 ，故选C.2. 已知纯虚数满足,则实数等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，即为纯虚数，则，解得，故选A.3. 下列关于命题的说法错误的是（ ）A. 命题“若则”的逆否命题为“若则”B. “”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件C. 命题“若随机变量则”为真命题D. 若命题则 【答案】D【解析】易知A,B,C
2、,正确，D项，命题则 4. 若等差数列的公差为，且是与的等比中项，则该数列的前项和取最小值时，的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】以为变量，得，则，所以最小，故,故选B.5. 中国古代数学著九章算术中记载了公元前年商鞅督造一种标准量器-商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取，其几何体体积为（立方寸），则图中的为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】圆面积为；长方形面积,所以有,解得，故选D.6. 设若当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C7. 过双曲线的左焦点,作圆的切线，切点为,延长交双曲线右支于点，若则双曲线的离心率为
3、（ ）A. B. C. D. 【答案】B8. 右图是求样本平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题目要求可知：该程序的作业要求样本平均数，由于直接输出的就是，所以在循环过程中应该是累加的每个数的平均，故选A.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9. 设抛物线的焦点为，过点作斜率为的直线与抛物线相交于两点，且点恰为的中点，过点作轴的垂线与抛物线交于点，若
4、则直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B点睛：本题的求解思路是先建立直线的方程，再将其与抛物线的方程联立求得中点坐标，借助题设求得点，借助抛物线的定义求得，结合题设中的答案，选择出正确答案B。10. 若直线与函数的图像相交于点，且则线段与函数的图像所围成的图形面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】线段与函数的图象所围成的图形面积如图阴影部分所示，其面积为 ，选A11. 已知函数与函数的图像上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A点睛：函数关于轴对称得到；函数关于轴对称得到;函数关于对称得到；函数关于轴对称得到.12.
5、 已知函数的定义域为，其图像关于点中心对称，其导函数，当时，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意设，则，当时，当时，则在上递增，函数 的定义域为，其图象关于点中心对称，函数的图象关于点中心对称，则函数是奇函数，令是上的偶函数，且在递增，由偶函数的性质得：函数在上递减，不等式化为：，即，解得，不等式解集是，故选C.【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时
6、往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题根据方法，联想到函数，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设为单位向量，且，若以向量为邻边的三角形的面积为，则的值为_【答案】【解析】两端平方得，又，得,即夹角为,所以，即，又 ，所以.14. 二项展开式中的系数为_【答案】【解析】由组合思想，所求系数.15. 设实数满足约束条件目标函数的最小值为，则的最大值为_【答案】【解析】可行域如图：移项有，斜率大于1，所以在处最小，处最大，联立，得，有，得，故
7、,.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16. 已知数列满足则该数列的前项的和为_【答案】【解析】为奇数时，；为偶数时，；所以为奇数时有；为偶数时;即奇数项为等差数列，偶数项为等比数列.所以.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图，在中，点在边上，（1）求（2）若的面积是求【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（I）根据余弦定理
8、，求得 ，则是等边三角形.，故（II）由题意可得，又由 ，可得以，再结合余弦定理可得，最后由正弦定理可得 ，即可得到的值试题解析：() 在中, 因为,由余弦定理得, 所以,整理得, 解得. 所以. 所以是等边三角形. 所以() 法1: 由于是的外角, 所以. 因为的面积是, 所以. 所以. 在中, , 所以. 在中, 由正弦定理得, 所以. 法2: 作, 垂足为,因为是边长为的等边三角形, 所以. 因为的面积是, 所以. 所以. 所以.在Rt中, , 所以, . 所以 . 18. 如图，在直角梯形中，点是边的中点，将沿折起，使平面平面,连接得到如图所示的几何体.（1）求证;平面；（2）若二面角
9、的平面角的正切值为求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.试题解析：() 因为平面平面，平面平面，又，所以平面. 因为平面，所以. 又因为折叠前后均有，, 所以平面. () 由（）知平面，所以二面角的平面角为. 又平面，平面，所以.依题意. 因为，所以. 设，则.依题意，所以，即. 解得，故. 法1：如图所示，建立空间直角坐标系，则,， 所以，.由（）知平面的法向量. 设平面的法向量由得令，得,所以. 所以. 由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 法2 ：因为平面，过点作/交于，则平面. 因为平面，所以. 过点作于，连接，所以平面，因此. 所以二面角的平面角为. 由平面
10、几何知识求得， 所以. 所以cos=. 所以二面角的余弦值为. 19. 我国国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程，某市共有户籍人口万，其中老人（年龄岁及以上）人数约有万，为了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如图表；（1）若采取分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）据统计该市该市大约有五分之一的户籍老人无
11、固定收入，政府计划为部分老人每月发放生活补贴，标准如下： 岁及以上长者每人每月发放生活补贴元； 岁以下老人每人每月发放生活补贴元；不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴元.试估计政府执行此计划的年度预算.【答案】（1）岁及以上长者人数为；岁以下长者人数为人；（2）岁及以上长者占户籍人口的百分比为；（3）约为亿元.【解析】试题分析：（）从图表中求出不能自理的80岁及以上长者占比，由此能求出抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为（）求出在600人中80岁及以上长者在老人中占比，用样本估计总体，能求出80岁及以上长者占户籍人口的百分比（）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，
12、则Xr可能取值为0，120，200，220，300，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列、EX，从而能估计政府执行此计划的年度预算试题解析： (2)在人中岁及以上长者在老人中占比为：用样本估计总体，岁及以上长者共有万，岁及以上长者占户籍人口的百分比为=，(3)用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为元，则随机变量的分布列为：全市老人的总预算为元，政府执行此计划的年度预算约为亿元.求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式
13、、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.20. 已知圆和点，动圆经过点且与圆相切，圆心的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）点是曲线与轴正半轴的交点，点在曲
14、线上，若直线的斜率满足求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用圆与圆的位置关系，得出曲线是为焦点，长轴长为的椭圆，即可求曲线的方程；（2）联立方程组，得，利用韦达定理，结合，得出直线过定点，表示出面积，即可，求面积的最大值.试题解析：（1）圆的圆心为，半径为，点在圆内，因为动圆经过点且与圆相切，所以动圆与圆内切设动圆半径为，则因为动圆经过点，所以，所以曲线是为焦点，长轴长为的椭圆由得，所以曲线的方程为（2）直线斜率为0时，不合题意，设，直线，联立方程组，得，又，知代入得，又，化简得，解得，故直线过定点，由，解得，（当且仅当时取等号），综上，面积的最大值为【方法点晴】
15、本题主要考查待定系数法求椭圆方程和最值问题，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最大值的.21. 已知函数（1）若函数有零点，求实数的取值范围；（2）证明：当时，【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（I）对函数求导，可得函数单调性，并求得函数的最小值，若函数有零点，函数最小值小于零且在定义域范围有函数值大于零，
16、解不等式可得的范围；()将代入不等式化简为，可构造函数 利用导数判断单调性可知在 条件下 最小值为 ，最大值为可证命题试题解析： ()法1: 函数的定义域为.由, 得. 因为,则时, ;时, . 所以函数在上单调递减, 在上单调递增. 当时, . 当, 即时, 又, 则函数有零点. 所以实数的取值范围为. 法2：函数的定义域为.由, 得. 令，则.当时, ; 当时, .所以函数在上单调递增, 在上单调递减. 故时, 函数取得最大值. 因而函数有零点, 则. 所以实数的取值范围为. () 要证明当时, ,即证明当时, , 即. 令, 则.当时, ;当时, .所以函数在上单调递减, 在上单调递增.
17、当时, . 于是,当时, 令, 则.当时, ;当时, .所以函数在上单调递增, 在上单调递减.当时, . 于是, 当时, 显然, 不等式、中的等号不能同时成立. 故当时, .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为曲线的参数方程是（为参数）.（1）求直线和曲线的普通方程；（2）设直线和曲线交于两点，求【答案】（1）直线和曲线的普通方程分别为和；（2）1.试题解析：(1)因为所以由得因为消去得所以直线和曲线的普通方程分别为和(2)点的直角坐标为点在直线上，设直线的参数方程：（为参数），对应的参数为，.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数（1）当时，解不等式；（2）令若在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）由题意可得，讨论当时，当时，当时，去掉绝对值，解不等式即可得到所求解集；(2)求得，讨论，运用分段函数求出，所以的最小值为或，由恒成立思想可得关于的不等式，解不等式即可得到所求范围.
