1、数与式中典型例题串讲二1在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx3k+4与O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为（ ）A22 B24 C D【答案】B【解析】试题分析：如图：直线y=kx-3k+4必过点D（3，4），最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，点D的坐标是（3，4），OD=5，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），圆的半径为13，OB=13，BD=12，BC的长的最小值为24故选B考点：1垂径定理；2一次函数图象上点的坐标特征；3勾股定理2如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，轴于点C，交C2于点A，轴于点
2、D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（ ）A、2 B、 3 C、4 D、5 【答案】B【解析】试题分析：PCx轴，PDy轴，S矩形PCOD=4，SAOC=SBOD=1=，四边形PAOB的面积=S矩形PCOD-SAOC-SBOD=4-=3故选B考点：反比例函数系数k的几何意义3如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为4的正方形，M（4，m）、N（n，4）分别是AB、BC上的两个动点，且ONMN，当OM最小时， 【答案】5【解析】试题分析：OABC是正方形，OCN=NBM=90，CON+CNO=90，ONNM，CNO+BNM=90，CNOBMN，CN：CO=BM：NB，OM=，当OM
3、最小时，m最小，故答案为：5考点：1正方形的值；2相似三角形的判定与性质4如图，双曲线经过RtBOC斜边上的点A，且满足，与BC交于点D，SBOD=21，求k= _ 【答案】8【解析】试题分析：过A作AEx轴于点E，=21，AEBC，OAEOBC，则k=8故答案为：8考点：1反比例函数系数k的几何意义；2相似三角形的判定与性质5如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心、OA长为半径作O，O经过B、D两点，过点B作BKAC，垂足为K，过点D作DHKB，DH分别与AC、AB、O及CB的延长线相交于点E、F、G、H。（1）求证：AECK（2）若ABa，ADa（a为常数），求BK的长（用含a的代
4、数式表示）。（3）若F是EG的中点，且DE6，求O的半径和GH的长。【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），6【解析】试题分析：（1）根据ABCD是矩形，求证BKCADE即可；（2）根据勾股定理求得AC的长，根据三角形的面积公式得出ABBC=ACBK，代入即可求得BK（3）根据三角形中位线定理可求出EF，再利用AFDHBF可求出HF，然后即可求出GH；利用射影定理求出AE，再利AEDHEC求证AE=AC，然后即可求得AC即可试题解析：（1）证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，AD=BC，DAE=BCK，BKAC，DHKB，BKC=AED=90，BKCADE，AE=CK；（2）解：AB=a，
5、AD=a=BC，SABC=ABBC=ACBK，BK=（3）连结OG，ACDG，AC是O的直径，DE=6，DE=EG=6，又EF=FG，EF=3；RtADERtCBK，DE=BK=6，AE=CK，在ABK中，EF=3，BK=6，EFBK，EF是ABK的中位线，AF=BF，AE=EK=KC；在RtOEG中，设OG=r，则OE=，EG=6，连接BG可得BGFAEF，AF=BF，ADFBHFAD=BC，BFCD，HF=DF，FG=EF，HF-FG=DF-EF，HG=DE=6考点：1相似三角形的判定与性质；2全等三角形的判定与性质；3三角形中位线定理；4垂径定理6（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系
6、中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴交z轴于点B连接EC，AC点P，Q为动点，设运动时间为t秒（1）填空：点A坐标为 ，抛物线的解析式为 ；（2）在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向E以2个单位秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动连接PQ，是否存在实数t，使得PQ所在的直线经过点D，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位秒的速度运动，过点P做PFAB，交AC于点F，过点F作F
7、GAD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ当t为何值时，ACQ的面积最大？最大值是多少？【答案】（1）（1，4），；（2）；（3），最大值为1【解析】试题分析：（1）根据抛物线的对称轴与矩形的性质可得点A坐标，根据待定系数法可得抛物线的解析式；（2）若PQ所在的直线经过点D，由DECP，得到DEQPCQ，得到，即：，解出t的值即可；（3）根据待定系数法可得直线AC的解析式，根据可得，依此即可求解试题解析：（1）抛物线的对称轴为x=1，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4），点A在DE上，点A坐标为（1，4），设抛物线的解析式为，把C（3，0）代入抛物线的解析式，
8、可得，解得，故抛物线的解析式为，即；（2）若PQ所在的直线经过点D，DECP，DEQPCQ，即：，整理得：，解得或（舍去），当（s）时，PQ所在的直线经过点D；（3）A（1，4），C（3，0），设直线AC的解析式为，则：，解得，故直线AC的解析式为，P（1，），将代入中，得，Q点的横坐标为，将代入中，得，Q点的纵坐标为，QF=，=FQAG+FQDG=FQ（AG+DG）=FQAD=，当t=2时，ACQ的面积最大，最大值是1考点：1二次函数综合题；2三角形的面积；3勾股定理；4矩形的性质；5代数几何综合题7在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为A（-3，0），B（1，0），过顶点C作CH
9、x轴于点H（1）a= ，b= ，顶点C的坐标为 （2）在轴上是否存在点D，使得ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQAC于点Q，当PCQ与ACH相似时，求点P的坐标【答案】（1），C（1，4）；（2）存在，点D（0，3）或（0，1）；（3）P（，）或（，）【解析】试题分析：（1）将A（3，0）、B（1，0），代入求出即可，再利用平方法求出顶点坐标即可；（2）首先证明CEDDOA，得出y轴上存在点D（0，3）或（0，1），即可得出ACD是以AC为斜边的直角三角形；（3）首先求出直线CA的解析式
10、为，再利用联立两函数解析式即可得出交点坐标，再利用若点P在对称轴左侧（如图），只能是PCQACH，得PCQ=ACH得出答案即可试题解析：（1）将A（3，0）、B（1，0），代入得：，解得：，顶点C的坐标为（1，4）；（2）假设在y轴上存在满足条件的点D，过点C作CEy轴于点E由CDA=90得，1+2=90又2+3=90，3=1又CED=DOA=90，CEDDOA，设D（0，c），则变形得，解之得，综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1），使ACD是以AC为斜边的直角三角形；（3）若点P在对称轴右侧（如图），只能是PCQCAH，得QCP=CAH延长CP交x轴于M，AM=CM，设M（m，0
11、），则，m=2，即M（2，0）设直线CM的解析式为，则：，解得：，直线CM的解析式为：联立，解得：或（舍去）P（，）若点P在对称轴左侧（如图），只能是PCQAHC，得PCQ=ACH过A作CA的垂线交PC于点F，作FNx轴于点N由CFACAH得，由FNAAHC得AN=2，FN=1，CH=4，HO=1，则AH=2，点F坐标为（5，1）设直线CF的解析式为，则，解得：，直线CF的解析式为：联立：，解得：或（舍去）P（，）满足条件的点P坐标为（，）或（，）考点：1二次函数综合题；2压轴题8如图，已知正比例函数和反比例函数的图象交于点A（m，-2）（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比
12、例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论【答案】（1）；（2）或；（3）菱形【解析】试题分析：（1）设反比例函数的解析式为（），然后根据条件求出A点坐标，再求出k的值，进而求出反比例函数的解析式；（2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）首先求出OA的长度，结合题意CBOA且CB=，判断出四边形OABC是平行四边形，再证明OA=OC即可判定出四边形OABC的形状试题解析：（1）设反比例函数的解析式为（），A（m，2）在上，2=2m，m=1，A（1，2），
13、又点A在上，k=2，反比例函数的解析式为；（2）观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为或；（3）四边形OABC是菱形A（1，2），OA=，由题意知：CBOA且CB=，CB=OA，四边形OABC是平行四边形，C（2，n）在上，n=1，C（2，1），OC=，OC=OA，四边形OABC是菱形考点：反比例函数综合题9（本题满分12分）如图，二次函数的图象与x轴交与A（4，0），并且OAOC4OB，点P为过A、B、C三点的抛物线上一动点（1）求点B、点C的坐标并求此抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得ACP是以点C为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明
14、理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标【答案】（1）B（1,0）；C（0,4）；（2）P（2,6）；（3）点或【解析】试题分析：（1）根据点A的坐标和OA=OC=4OB求出点B和点C的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式；（2）过点C作CPAC，过点P作PM垂直y轴，设出点P的坐标，根据OM=OC+MC=OC+PM=4+m列出方程求出m的值；（3）四边形OFDE是矩形，则OD=EF，据垂线段最短，可知：当ODAC时，OD最短，即EF最短.根据（1）求出AC的长度，根据中点得出点P的纵坐标，列
15、出关于x的方程，求出x的值.试题解析：（1）A（4，0） OA=4 又OA=OC=4OB OC=4，OB=1B（-1，0），C（0，4） 设抛物线的解析式为：把C（0，4）代入得： 抛物线的解析式为： （2）存在 过点C作.交抛物线于点，过点作轴于点M. 又 在抛物线上. 设 （3）连OD，由题意知，四边形OFDE是矩形，则，据垂线段最短，可知：当时，OD最短，即EF最短. 由（1）知，在RtAOC中， 又D为AC的中点. DFOC 点P的纵坐标是2. 当EF最短时，点或 考点：二次函数的性质.10如图，已知平面直角坐标系中，O的圆心在坐标原点，直线l与轴相交于点P，与O相交于A、B两点，AO
16、B=90.点A和点B的横坐标是方程x2-x-k=0 的两根，且两根之差为3.（1）求方程x2-x-k=0 的两根；（2）求A、B两点的坐标及O的半径；（3）把直线l绕点P旋转，使直线l与O相切，求直线l的解析式.【答案】（1）2和1 （2）A(-1,2)，B(2,1) （3）【解析】试题分析：（1）设方程的两根分别为x1，x2（x1x2)，由根与系数的关系可得x1+x2=1，由两根之差为3，可点x1-x2=3，解方程组即可得方程的根；过点A作ACx轴于点C，过点B作BDx轴于点D，通过AOCOBD得到A点坐标，利用勾股定理得OA的长；由A、B在坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式，从而得到点
17、P的坐标，过点P的直线与圆相切，有两种情况，因此分切点在第一象限与第四象限两种情况求切线的解析式.试题解析：（1）设方程的两根分别为x1，x2（x1x2)，由已知得，解得，方程的两根分别为2和1；（2）过点A作ACx轴于点C，过点B作BDx轴于点D，易证：AOCOBD，BD=OC=1，AC=OD=2 A(-1,2)，B(2,1) ,OA=（3）设直线AB的解析式为y=k1x+b1，则，解得，y=，当y=0时，=0，解得x=5，P(5,0)；当直线l与O的切点在第一象限时，设直线l与O相切于点E，过点E作EFx轴于点F,PE是O的切线，OEPE,PE=,SPOE=OPEF=OEPE,5EF=，E
18、F=2,OF=1，E(1,2)；设直线l的解析式为y=k2x+b2，则，解得，y= -；当直线l与O的切点在第四象限时，同理可求得y=.考点：1、根与系数的关系；2、三角形全等的判定与性质；3、待定系数法；4、圆的切线.11（10分）如图，ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的O与BC交于点D，DEAB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F.（1）求证：DE是O的切线；（2）若O的半径为2，BE=1，求cosA的值.【答案】（1）详见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）证得ODDE，根据切线的判定定理得到DE是O的切线；（2）由OD/AE，得到，通过转换得到，解得FC的长，
19、进而求得AF的长，应用锐角三角函数求出cosA的值.试题解析：解：（1）证明：连结AD、OD，AC是直径，ADBC，AB=AC，D是BC的中点，又O是AC的中点OD/AB，DEAB，ODDE，DE是O的切线；（2）由（1）知OD/AE， ，解得FC=2，AF=6，cosA=.考点：1、切线的判定；2、平行线分线段成比例定理；3、锐角三角函数.12如图，在ABD中，AB=AD,AO平分BAD,过点D作AB的平行线交AO的延长线于点C,连接BC（1）求证：四边形ABCD是菱形。（2）如果OA,OB(OAOB)的长（单位：米）是一元二次方程的两根，求AB的长以及菱形ABCD的面积。（3）若动点M从A
20、出发，沿AC以2m/S的速度匀速直线运动到点C,动点N从B 出发，沿BD以1m/S的速度匀速直线运动到点D，当M运动到C点时运动停止。若M、N同时出发，问出发几秒钟后，MON的面积为？【答案】（1）证明见解析；（2）5，24；（3）M，N出发秒，秒，秒钟后，MON的面积为m2【解析】 试题分析：（1）根据题意，用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”先判定平行四边形，再用邻边相等证明菱形；（2）解方程可得OA、OB的长，用勾股定理可求AB，根据“菱形的面积对应对角线积的一半”计算连线面积；（3）根据点M、N运动过程中与O点的位置关系，分三种情况分别讨论试题解析：（1）证明：AO平分BAD，
21、ABCDDAC=BAC=DCAACD是等腰三角形，AD=DC又AB=ADAB=CD，四边形ABCD为平行四边形，又AB=AD，ABCD是菱形；（2）解：解方程x2-7x+12=0，得OA=4，OB=3，利用勾股定理AB=5，S菱形ABCD=ACBD=86=24平方米（3）解：在第（2）问的条件下，设M、N同时出发x秒钟后，MON的面积为m2，当点M在OA上时，x2，SMON=（4-2x）（3-x）=；解得x1=，x2=（大于2，舍去）；当点M在OC上且点N在OB上时，2x3，SMON=（3-x）（2x-4）=，解得x1=x2=；当点M在OC上且点N在OD上时，即3x4，SMON=（2x-4）（x-3）=；解得x1=，x2=（小于3，舍去）综上所述：M，N出发秒，秒，秒钟后，MON的面积为m2考点：1.菱形的判定；2.一元二次方程的应用；3.等腰三角形的性质
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