1、函数重点难点突破解题技巧传播十五1、如图，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：（0）的顶点（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得PBC的面积最大？若存在，求出PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当BDM为直角三角形时，求的值【答案】解：（1）令y=0，则 ， m0，解得：， 。A（，0）、B（3，0）。（2）存在。理由如下： 设抛物线C1的表达式为（），把C
2、（0，）代入可得，。 1的表达式为：，即。 设P（p，）， SPBC = SPOC + SBOP SBOC =。0，当时,SPBC最大值为。（3）由C2可知： B（3，0），D（0，），M（1，），BD2=，BM2=，DM2=。MBD90, 讨论BMD=90和BDM=90两种情况：当BMD=90时，BM2+ DM2= BD2 ，即=，解得：, (舍去)。 当BDM=90时，BD2+ DM2= BM2 ，即=，解得：， (舍去) 。 综上所述， 或时，BDM为直角三角形。【解析】（1）在中令y=0，即可得到A、B两点的坐标。（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，由SPBC = SPOC +
3、 SBOP SBOC得到PBC面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值。（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：BMD=90时；BDM=90时，讨论即可求得m的值。2、一次函数、二次函数和反比例函数在同一直角坐标系中图象如图，A点为（2，0）。则下列结论中，正确的是【 】ABCD【答案】D。【解析】将A（2，0）代入，得。二次函数。二次函数的顶点坐标为（1，a）。当x=1时，反比例函数。由图象可知，当x=1时，反比例函数图象在二次函数图象的上方，且都在x下方，即。故选D。（实际上应用排它法，由，也可得ABC三选项错误）3已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下
4、列结论：b0；4a+2b+c0；ab+c0；（a+c）2b2其中正确的结论是A B C D【答案】C【解析】试题分析：图象开口向上，对称轴在y轴右侧，能得到：a0，0，则b0。正确。对称轴为直线x=1，x=2与x=0时的函数值相等，当x=2时，y=4a+2b+c0。错误。当x=1时，y=ab+c0。正确。ab+c0，a+cb。当x=1时，y=a+b+c0。a+cb。ba+c。|a+c|b|。（a+c）2b2。正确。所以正确的结论是。故选C。4、如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象交，那么值为 .【答案】。【解析】A，B在反比例函数上，。又正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心
5、对称，对于有。5、如图，在平面直角坐标系中，O的半径为1，BOA=45，则过A点的双曲线解析式是 【答案】【解析】试题分析：BOA=45，设A（m，m）。O的半径为1，AO=1。m2+m2=12，解得：m=，A（，），设反比例函数解析式为（k0），图象经过A点，k=。反比例函数解析式为。6、如图1，平面之间坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，经过O，C两点做抛物线（a为常数，a0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y2=kx（k为常数，k0）（1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A ，k= ；（2）随着三角板的滑动，
6、当a=时：请你验证：抛物线的顶点在函数的图象上；当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值；（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当txt+4，|y2y1|的值随x的增大而减小，当xt+4时，|y2y1|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围【答案】解：（1）点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，点A的坐标是（t，4）。直线OA：y2=kx（k为常数，k0），4=kt，则（k0）。（2）当a=时，其顶点坐标为。对于，当x=时，点在抛物线上。当a=时，抛物线的顶点在函数的图象上。如图1，过点E作EKx轴于点K，ACx轴，ACEK。点E是线段AB的中点，K为BC的中点。EK是AC
7、B的中位线。EK=AC=2，CK=BC=2。E（t+2，2）。点E在抛物线上，解得t=2。当三角板滑至点E为AB的中点时，t=2。（3）如图2，由得， 解得，或x=0（不合题意，舍去）。点D的横坐标是。当时，|y2y1|=0，由题意得，即。又，当时，取得最大值。又当时，取得最小值0，当时，的值随x的增大而减小，当时，的值随x的增大而增大。由题意，得，将代入得，解得。综上所述，a与t的关系式为，t的取值范围为。【解析】试题分析：（1）根据题意易得点A的横坐标与点C的相同，点A的纵坐标即是线段AC的长度；把点A的坐标代入直线OA的解析式来求k的值：（2）求得抛物线y1的顶点坐标，然后把该坐标代入函
8、数，若该点满足函数解析式，即表示该顶点在函数图象上；反之，该顶点不在函数图象上。如图1，过点E作EKx轴于点K则EK是ACB的中位线，所以根据三角形中位线定理易求点E的坐标，把点E的坐标代入抛物线即可求得t=2。（3）如图2，根据抛物线与直线相交可以求得点D横坐标是，则，由此可以求得a与t的关系式。由求得取得最大值时的x值，同时由时，取得最小值0，得出当时，的值随x的增大而减小，当时，的值随x的增大而增大。从而由题意，得，结合，求出t的取值范围。7、已知：抛物线C1：yx2。如图（1），平移抛物线C1得到抛物线C2，C2经过C1的顶点O和A（2，0），C2的对称轴分别交C1、C2于点B、D。（
9、1）求抛物线C2的解析式；（2）探究四边形ODAB的形状并证明你的结论；（3）如图（2），将抛物线C2向下平移m个单位（m0）得抛物线C3，C3的顶点为G，与y轴交于M。点N是M关于x轴的对称点，点P（）在直线MG上。问：当m为何值时，在抛物线C3上存在点Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？【答案】解：（1）抛物线C2经过点O（0，0），设抛物线C2的解析式为。抛物线C2经过点A（2，0），解得。抛物线C2的解析式为。（2），抛物线C2的顶点D的坐标为（1，）。当x=1时， ，点B的坐标为（1，1）。根据勾股定理，得OB=AB=OD=AD=。四边形ODAB是菱形。又OA=BD=
10、2，四边形ODAB是正方形。（3）抛物线C3由抛物线C2向下平移m个单位（m0）得到，抛物线C3的解析式为。在中令x=0，得，M。点N是M关于x轴的对称点，N。MN=。当M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时有两种情况：若MN是平行四边形的一条边，由MN=PQ=和P（）得Q（）。点Q 在抛物线C3上，解得或（舍去）。若MN是平行四边形的一条对角线，由平行四边形的中心对称性，得Q（）。点Q 在抛物线C3上，解得或（舍去）。综上所述，当或时，在抛物线C3上存在点Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形。【解析】试题分析：（1）根据平移的性质，应用待定系数法即可求得抛物线C2的解析式。（2）求出各点坐标，应用勾股定理求出各边长和对角线长，根据正方形的判定定理可得结论。（3）分MN为平行四边形的边和对角线两种情况讨论即可。
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