1、23.2离散型随机变量的方差目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法重点 离散型随机变量的方差和标准差的概念和计算；方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法难点 离散型随机变量的方差的计算与应用知识点一离散型随机变量的方差、标准差填一填1方差及标准差的定义设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)方差D(X).(2)标准差为.2方差的性质D(aXb)a2D(X)答一答1方差与标准差有什么实际意义？提示：随机变量X的方差和标准差都反
2、映了随机变量X取值的稳定与波动、集中与离散的程度D(X)越小，稳定性越高，波动越小显然0，随机变量的标准差与随机变量本身有相同的单位2你能类比样本数据方差的计算公式，理解离散型随机变量方差的计算公式吗？提示：设x1、x2、xn为样本的n个数据，则该样本数据的方差s2(xi)2，由于相当于离散型随机变量中的E(X)，而相当于每个数据出现的频率(概率)pi，故离散型随机变量X的方差可定义为：D(X)(xiE(X)2pi(i1,2，n)3随机变量的方差与样本方差有什么关系？提示：随机变量的方差即为总体的方差，它是一个客观存在的常数，不随抽样样本的变化而变化；样本方差则是随机变量，它是随着样本的不同而
3、变化的对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差知识点二两个常见分布的方差填一填1若X服从两点分布，则D(X)p(1p)2若XB(n，p)，则D(X)np(1p)答一答4两点分布的方差同二项分布的方差存在什么关系？提示：由于两点分布是特殊的二项分布，故两点分布的方差同二项分布的方差存在特殊与一般的关系1对随机变量X的方差、标准差的理解(1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的(2)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动、集中与离散程度(3)D(X)越小，稳定性越高，波动越小(4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用
4、更广泛2剖析方差的性质当a，b均为常数时，随机变量ab的方差D()D(ab)a2D()特别地：(1)当a0时，D(b)0，即常数的方差等于0.(2)当a1时，D(b)D()，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身(3)当b0时，D(a)a2D()，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积类型一离散型随机变量的方差及性质【例1】已知的分布列如下：010205060P(1)求的方差及标准差；(2)设Y2E()，求D(Y)【分析】(1)首先求出均值E()，然后利用D()的定义求方差；(2)由于E()是一个常数，所以D(Y)D2E()22D()【解】(1)E
5、()01020506016，D()(016)2(1016)2(2016)2(5016)2(6016)2384，8.(2)Y2E()，D(Y)D2E()22D()43841 536.(1)求离散型随机变量的均值或方差的关键是列分布列，而列分布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果，同时还要正确求出每一个结果出现的概率(2)利用离散型随机变量X的方差的性质：当a，b为常数时，随机变量YaXb，则D(Y)D(aXb)a2D(X)，可以简化解答过程，提高解题效率某校从6名学生会干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加市中学生运动会志愿者(1)所选3人中女生人数为，求的分布列及方差(2)在男生
6、甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率解：(1)的可能取值为0,1,2.由题意P(0)，P(1)，P(2)，所以的分布列为012PE()0121，D()(01)2(11)2(21)2.(2)设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C，男生甲被选中的种数为C10，男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为C4，所以P(C)，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为.类型二二项分布的方差【例2】已知某运动员投篮命中率p0.6.(1)求一次投篮命中次数的数学期望与方差；(2)求重复5次投篮时，命中次数的数学期望与方差【分析】解本题的关键是正确地判断出第(1)小题属于两点分布，第(2)小题属
7、于二项分布，利用相应的公式计算可得解【解】(1)投篮一次命中次数的分布列为：01P0.40.6则E()00.410.60.6，D()(00.6)20.4(10.6)20.60.24.(2)由题意知重复5次投篮，命中的次数服从二项分布，即B(5,0.6)由二项分布的数学期望与方差的公式得：E()50.63，D()50.60.41.2.解此类题的一般步骤如下：第一步，判断随机变量X服从什么分布(两点分布还是二项分布).第二步，代入相应的公式，X服从两点分布时，D(X)p(1p)；X服从二项分布，即XB(n，p)时，D(X)np(1p).甲、乙比赛时，甲每局赢的概率是p0.51，乙每局赢的概率是p0
8、.49.甲乙一共进行了10次比赛，当各次比赛的结果是相互独立时，计算甲平均赢多少局，乙平均赢多少局，哪一个技术比较稳定？解：用X表示10局中甲赢的次数，则X服从二项分布B(10,0.51)E(X)100.515.1，即甲平均赢5.1局用Y表示10局中乙赢的次数，则Y服从二项分布B(10,0.49)E(Y)100.494.9，于是乙平均赢4.9局又D(X)100.510.492.499，D(Y)100.490.512.499.所以他们技术一样稳定类型三离散型随机变量方差的应用【例3】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处
9、理(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，nN)的函数解析式(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列，数学期望及方差若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由【解】(1)当n16时，y16(105)80.当n15时，y5n5(16n)10n80.得：y(nN)(2)X可取60,70,80.P(X
10、60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X的分布列为X607080P0.10.20.7E(X)600.1700.2800.776，D(X)1620.1620.2420.744.购进17枝时，当天的利润的期望值为y(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4.由76.476得，应购进17枝有甲、乙两名同学，据统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的分数在80分，90分，100分的概率分布大致如下表所示：试分析甲、乙两名同学谁的成绩好一些解：在解答同一份数学试卷时，甲、乙两人成绩的均值分别为E(X甲)800.2900.61000.290，E(X
11、乙)800.4900.21000.490.方差分别为D(X甲)(8090)20.2(9090)20.6(10090)20.240，D(X乙)(8090)20.4(9090)20.2(10090)20.480.由上面数据，可知E(X甲)E(X乙)，D(X甲)D(X乙)这表示甲、乙两人所得分数的均值相等，但两人的分数的稳定程度不同，甲同学分数较稳定，乙同学分数波动较大，所以甲同学的成绩较好离散型随机变量期望与方差的综合应用【例4】设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分(1)当a3，b2，c1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到
12、的机会均等)2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量为取出此球所得分数若E()，D()，求abc.【思路分析】第一问关键是分清取出2个球所得分数之和的所有情况，然后分类讨论，根据情况算出相应的概率、写出分布列；第二问类似地写出分布列，根据期望、方差的公式建立方程求解【解】(1)由题意得2,3,4,5,6.故P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6).所以的分布列为23456P(2)由题意知的分布列为123p所以E()，D()(1)2(2)2(3)2.化简得解得a3c，b2c，故abc321.【解后反思】离散型随机
13、变量的分布列和期望是理科数学考题中的高频考点之一，其中，浙江省又多以摸球为背景，以对立事件、相互独立事件、两点分布、二项分布等知识为载体，综合考查事件发生的概率及随机变量的分布列、数学期望与方差解题时首先要理解关键词，其次要准确无误地找出随机变量的所有可能取值，计算出相应的概率，后面一般就是计算问题若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0p1)，用随机变量表示A在1次试验中发生的次数(1)求方差D()的最大值；(2)求的最大值解：随机变量的所有可能取值为0,1，并且有P(1)p，P(0)1p，从而E()0(1p)1pp，D()(0p)2(1p)(1p)2ppp2.(1)D()pp2(p2p)
14、(p)2，0p1，当p时，D()取得最大值，最大值为.(2)2(2p)，0pD(2)，则自动包装机乙的质量较好解析：均值仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，方差大说明随机变量取值较分散；方差小，说明取值较集中故乙的质量较好5已知随机变量X的分布列是X01234P0.2mn0.20.1且E(X)1.8.(1)求D(X)；(2)设Y2X1，求D(Y)解：(1)由分布列可知0.2mn0.20.11，且E(X)00.21m2n30.240.11.8.即解得m0.2，n0.3.D(X)(01.8)20.2(11.8)20.2(21.8)20.3(31.8)20.2(41.8)20.11.56.(2)D(X)1.56，D(2X1)4D(X)6.24.
