1、福建省福州外国语学校 20162017 学年第一学期期末模拟高二年级数学试题（理科）本试卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟。注意：1.本试卷单项选择题及综合题的答案一律填涂书写在答题卡上；考试结束后顺号上交答题卡。2.答案卡的填涂一律用 2B 铅笔，答案卡的书写一律用黑色中性签字笔。一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知复数 z 满足(1)1zii ，则 z （）A2iB 2iC 2i D2i 2.如果方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是()A3m4BCD3椭圆22221(0)x
2、yabab的左、右顶点分别是 A，B，左、右焦点分别是 F1，F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.14B.55C.12D.5-24有下列四个命题：“若0 xy，则,x y 互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若1q,则220 xxq有实根”的逆否命题；“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题；其中真命题为（）ABCD5等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线xy162 的准线交于,A B两点，4 3AB；则C 的实轴长为（）A.2B.2 2C.D.6.设圆22125xy的圆心为 C，A（1，0）是圆内一定点，Q
3、为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M，则 M 的轨迹方程为（）A、224412521xyB、224412125xyC、224412521xyD、224412125xy7设条件 p：|x2|3，条件 q：0 xa，其中 a 为正常数若 p 是 q 的必要不充分条件，则 a 的取值范围是（）ABCD8.点 P 在椭圆227x+4y28上，则点 P 到直线 3x-2y-16=0 的距离的最大值为（）A 13B.16 1313C.24 1313D.28 13139.已知斜率为1k的直线与双曲线22221(0,0)xyabab交于BA,两点，若BA,的中点为)3,1(M，则双
4、曲线的渐近线方程为()A.03yxB.03 yxC.02yxD.02 yx10.已知抛物线C 的方程为22(0)ypx p，一条长度为 4p 的线段 AB 的两个端点 A、B 在抛物线C 上运动，则线段 AB 的中点 D 到 y 轴距离的最小值为（）A、2pB、52 pC、32 pD、3p11.双曲线 C:22153xy的左、右顶点分别为1A,2A,点 P 在 C 上且直线2PA 斜率的取值范围是-4，-24,2,那么直线1PA 斜率的取值范围是()A.3 1,10 B.3 3,8 4C.33,1020D.33,20 1012.已知 F 为抛物线2yx的焦点，点 A,B 在该抛物线上且位于 x
5、 轴的两侧，2OBOA（其中O 为坐标原点），则 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是（）A.2B.3C.17 28D.10第卷（非选择题共 90 分）二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13、命题“存在Rx 0，使得052xx020”的否定是 _14与椭圆224936xy有相同的焦点,且过点（-3,2）的椭圆方程为_15.已知点 F 是双曲线x24y2121 的左焦点，定点 A 的坐标为(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为_16命题 p:关于 x 的不等式2240 xax,对一切 xR恒成立;命题 q:函数()(32)xf xa在 R
6、 上是增函数.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,则实数 a 的取值范围为_.三、解答题：（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知数列 na满足21 a，1124nnnaa Nn（1）令12nnnab，求证：数列 nb为等比数列；（2）求满足240na的最小正整数n18如图，在 ABC中，BC 边上的中线 AD 长为 3，且10cos8B，1cos4ADC（1）求sinBAD的值；（2）求 AC 边的长19.如图，在四面体 ABCD 中，已知ABD=CBD=60，AB=BC=2，（1）求证：ACBD；（2）若平面 ABD平面 CBD，且 BD=，
7、求二面角 CADB 的余弦值20.已知一条曲线 C 在 y 轴右边，C 上任一点到点 F（2，0）的距离减去它到 y 轴的距离的差都是 2（1）求曲线 C 的方程；（2）一直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且|AF|+|BF|=8，证：AB 的垂直平分线恒过定点21 如图，椭圆2222:1(0)xyMabab的离心率为32，直线 xa 和 yb 所围成的矩形 ABCD 的面积为 8.(1)求椭圆 M 的标准方程；(2)设直线:()l yxm m R 与椭圆 M 有两个不同的交点,P Q l 与矩形 ABCD 有两个不同的交点,S T.求|PQST的最大值及取得最大值时m 的值.福建省福
8、州外国语学校 20162017 学年第一学期期末模拟高二年级数学试题（理科）答案1.C2.D3.B4.C5.C6.A 7.A8.C9.B10.C11.C12.B13.xR，x2+2x+5014.2215011xy15.916.2,2,117.解：（1）1124nnnaa1111111422422222224222212122nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaa 即nnbb21，数列 nb是以 2 为首项以 2 为公比的等比数列；（2）由（1）得nnb2，nnna24；由24024nnna，得162n（152n舍），解得4n，满足240na的最小正整数n为 4 18.解：（1）103
9、 6cos,sin;8,8BBQ451sin,41cosADCADC;46)sin(sinBADCBAD（2）在 ABD中，由正弦定理，得 sinsinADBDBBAD，即33 6684BD，解得2BD 故2DC，从而在 ADC中，由余弦定理，得2222cosACADDCAD DCADC221322 3 2()164 ；AC=4；19.（1）证明：ABD=CBD，AB=BC，BD=BDABDCBD，AD=CD取 AC 的中点 E，连结 BE，DE，则 BEAC，DEAC又BEDE=E，BE平面 BED，BD平面 BED，AC平面 BED，ACBD（2）解：过 C 作 CHBD 于点 H则 CH
10、平面 BCD，又平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCD=BD，CH平面 ABD过 H 做 HKAD 于点 K，连接 CKCH平面 ABD，CHAD，又 HKCH=H，AD平面 CHK，CKADCKH 为二面角 CADB 的平面角连接 AHABDCBD，AHBDABD=CBD=60，AB=BC=2，AH=CH=，BH=1BD=，DH=AD=，HK=tan=，cos，二面角 CADB 的余弦值为20.解:（1）由条件，P 到 F（2，0）的距离等于到直线 x=-2 的距离，曲线 C 是以 F 为焦点、直线 x=-2 为准线的抛物线，其方程为28yx（1）(2)设直线为：:l xmyn（
11、2）则中垂线斜率为 m联立（1）（2）：28()ymyn即2880ymyn中点横坐标12x+x22横坐标12+y42ymy4mm x2 方程为y4mm x2 即6ymxm AB 的垂直平分线恒过定点（6，0）21.解：(1)2223324cabeaa矩形 ABCD 面积为 8，即 228ab由解得：2,1ab，椭圆 M 的标准方程是2214xy.4 分(2)222244,58440,xyxmxmyxm，设1122(,),(,)P x yQ xy，则21212844,55mxxm x x，5 分由226420(44)0mm 得55m.2228444 2|245555mPQmm.当 l 过 A 点时，1m ，当 l 过 C 点时，1m .7 分1当51m 时，有(1,1),(2,2),|2(3)SmTmSTm，222|454461|5(3)5PQmSTmtt，其中3tm，由此知当 134t，即45,(5,1)33tm 时，|PQST取得最大值 255.9 分由对称性，可知若15m，则当53m 时，|PQST取得最大值 255.10 分当 11m 时，|2 2ST，2|25|5PQmST，由此知，当0m 时，|PQST取得最大值 255.11 分综上可知，当53m 和 0 时，|PQST取得最大值 255.12 分
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