1、四川省棠湖中学2021届高三数学上学期开学考试试题 理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则 ABCD2已知复数满足，则在复平面内对应的点位于 A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3在某技能测试中，甲乙两人的成绩（单位：分）记录在如下的茎叶图中，其中甲的某次成绩不清晰，用字母代替已知甲乙成绩的平均数相等，那么甲乙成绩的中位数分别为 A20 20B21 20C20 21D21 214已知，则“”是“”的 A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5已知实数x，y满足约束条件，则 A有最小值0B
2、有最大值C有最大值0D无最小值6设，随机变量X的分布列是：X-112P则当最大时的a的值是 AB C D7某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位：）是 ABCD8如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动若，则面积的最大值为 ABCD9已知定义在上的函数，则在上的最大值与最小值之和等于 ABCD10已知数列的前项和满足，则 ABCD11已知F为双曲线的左焦点，过点F的直线与圆于A，B两点（A在F，B之间），与双曲线E在第一象限的交点为P，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 ABCD12已知实数、满足，给出五个关系式：其中不可能成立的关系式有
3、；A1个B2个C3个D4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知，其中，则_14某团队派遣甲、乙、丙、丁四人分别完成一项任务，已知甲完成任务的概率为，乙完成任务的概率为，丙、丁完成任务的概率均为，若四人完成任务与否相互独立，则至少2人完成任务的概率为_.15过P(1,2)的直线把圆分成两个弓形，当其中劣孤最短时直线的方程为_.16在三棱锥中，两两垂直，三棱锥的侧面积为13，则该三棱锥外接球的表面积为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。1
4、7（12分）在中，角、的对边分别为、，且（1）若，求的值； （2）若，求的值18（12分）某公司A产品生产的投入成本x（单位：万元）与产品销售收入y（单位：十万元）存在较好的线性关系，下表记录了该公司最近8次该产品的相关数据，且根据这8组数据计算得到y关于x的线性回归方程为x（万元）6781112141721y（十万元）1.21.51.722.22.42.62.9（1）求的值（结果精确到0.0001），并估计公司A产品投入成本30万元后产品的销售收入（单位：十万元）（2）该公司B产品生产的投入成本u（单位：万元）与产品销售收入v（单位：十万元）也存在较好的线性关系，且v关于u的线性回归方程为（
5、i）估计该公司B产品投入成本30万元后的毛利率（毛利率）；（ii）判断该公司A，B两个产品都投入成本30万元后，哪个产品的毛利率更大19（12分）如图1所示，为矩形，四边形为正方形与为全等的等腰梯形，其中，沿着，折成如图2所示的几何体，使，分别与，重合（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值20（12分）已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为（1）求椭圆的方程；（2）设点均在椭圆上，点在抛物线上，若的重心为坐标原点，且的面积为，求点的坐标21（12分）已知函数（1）若点，为函数与图象的唯一公共点，且两曲线存在以点为切点的公共切线，求的值：（2）
6、若函数有两个零点，求实数的取值范围（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修44：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程：（2）已知，点是曲线上一点，点到曲线的最大距离为，求的值23选修45：不等式选讲（10分）已知不等式的解集为.（1）求集合；（2）已知为集合中的最小正整数，若，且，求证：.2020年秋四川省棠湖中学高三开学考试理科数学参考答案1A2A3B4A5A6D7C8C9C10B11D12
7、B13314151617解：（1）在中，由余弦定理，得，即，解得或（舍，所以；（2）由及得，所以，所以18（1）依题意，代入回归直线方程，得，解得，所以，令，可得（单位：十万元）（2）（i）由于，所以当时，（单位：十万元），故毛利率为.（ii）由（1）得当时，（单位：十万元），故毛利率为所以产品的毛利率更大.19（1）证明：四边形是正方形，四边形是矩形，又，平面，平面又因为平面，平面平面（2）由（1）知平面平面过作于点，平面平面，平面平面，平面过作，且交于点，两两垂直，分别以，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图所示：则，设平面的一个法向量为，则由得令，得又平面的一个法向量，所以平面与平面所成
8、的锐二面角的余弦值为20（1）根据题意得，又因为，解得，则，所以椭圆的方程为：；（2）设，联立椭圆方程，可得， 设，可得，由在抛物线上，可得，则 ，由，则，可得，将代入整理可得，解得或，相应的或1所以，或21（1）由题意可知，与图象的在唯一公共点处的切线相同，又因为，所以，即，由可得或，由点唯一可得或，即或，由可得，综上可得，；（2）由，则，若即时，在上单调递减，在上单调递增，因为时，且（2），故要使得有2个零点，只有（1）即，当时，只有一个零点，故若，即时，当时，在上单调递增，不符合题意；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且时，且（1），故要使得有2个零点，则，即，令（a），则，故（a）在上单调递增，且，故（a）在上恒成立，不可能有2个零点，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且（1），故不可能有2个零点，综上22（1）曲线的参数方程为为参数，转换为直角坐标法方程为曲线的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程为（2）设点是曲线上一点，则点到曲线的距离，由于，所以，则：由点到曲线的最大距离为，所以的最大值为4，由于，所以，则，即，故23（1）等价于或或，解得或或，则；（2）证明：由（1）可得，且，则，（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），则，（当且仅当时等号成立），即.