1、目标导航1掌握向量数乘运算及其几何意义(重点、易错点)2能用向量的数乘运算的运算律化简向量(重点)3掌握向量共线定理及应用(难点)1 新知识预习探究 知识点一 向量数乘的定义阅读教材 P87“探究”以下内容P88前 4 行内容，完成下列问题【练习 1】(正确的打“”，错误的打“”)(1)实数与向量数乘的结果仍是一个向量()(2)a 的方向与 a 的方向一致()(3)对任意实数 和向量 a，b，若 ab，则 ab.()知识点二 向量数乘的运算律阅读教材 P88 第 5 行“思考”以上内容，完成下列问题(1)(a)()a(，R)；(2)()aaa(，R)；(3)(ab)ab(R)特别地：()a(a
2、)(a)(ab)ab【练习 2】3(2a3b)_.答案：6a9b知识点三 向量共线的基本定理阅读教材 P88“思考”及以下内容P90，完成下列问题 向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使 ba.【思考】定理中条件 a0 能去掉吗？【提示】不能去掉若 ab0，实数 仍然存在，但 是任意实数，不唯一；若 a0，b0，则不存在实数，使 ba.【练习 3】设 a 与 b 是两个不共线的向量，且向量 ab 与(b2a)共线，则实数 的值等于()A.12 B12C2 D2解析：(b2a)2ab.ab 与 2ab 共线，12 1，12.答案：B2 新视点名师博客1.解读实数与向量的积(1)
3、a 的几何意义就是把 a 沿着与 a 相同(0 时)或相反(0时)的方向伸长(|1 时)或缩短(|1 时)到原来的|倍(2)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，比如a，a 无法进行运算(3)当 0 或 a0 时，a0，这时就不必讨论方向了；当 1 时，(1)aa，就是 a 的相反向量2准确理解共线向量定理共线向量定理为运用向量判定直线平行或三点共线等几何问题提供了理论依据理解时应注意以下几点：(1)定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数，使 ba(a0)，则 a 与 b 共线；反之，若 a 与 b 共线(a0)，则必存在一个实数，使 ba.(2)定理中，之所以限定 a0 是由于
4、若 ab0，虽然 仍然存在，可是 不唯一，定理的正反两个方面不成立(3)若 a，b 不共线，且 ab，则必有 0.3 新课堂互动探究 考点一 向量的线性运算例 1 化简：234a3b13b146a7b.分析：运用向量的数乘运算，以及数乘运算的运算律进行化简解析：234a3b13b146a7b234a3b13b32a74b2352a1112b53a1118b.点评：熟练地掌握数乘运算的结合律和分配律是解决本类题的关键变式探究 1 化简下列各式：(1)3(2ab)2(4a2b)；(2)13(4a3b)12(3ab)32b；(3)2(3a4bc)3(2ab3c)解析：(1)原式6a3b(8a4b)2
5、ab.(2)原式43ab32a12b32b16a.(3)原式6a8b2c6a3b9c11b11c.考点二 向量共线的判定及应用例 2已知非零向量 e1，e2 不共线(1)如果ABe1e2，BC2e18e2，CD 3(e1e2)，求证：A、B、D 三点共线；(2)欲使 ke1e2 和 e1ke2 共线，试确定实数 k 的值分析：解答本题对于(1)，欲证 A、B、D 三点共线，只需证存在实数，使BD AB即可；对于(2)，若 ke1e2 与 e1ke2 共线，则一定存在，使 ke1e2(e1ke2)解析：(1)证明：ABe1e2，BD BCCD 2e18e23e13e25(e1e2)5AB.AB、
6、BD 共线，且有公共点 B，A、B、D 三点共线(2)ke1e2 与 e1ke2 共线，存在，使 ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2，e1 与 e2 不共线，只能有k0k10，k1.点评：(1)本题充分利用了向量共线定理，即 b 与 a(a0)共线ba，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值(2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断是否共线变式探究 2 设 a、b 是两个不共线的非零向量，若 a、b 起点相同，tR，当 t 为何值时，a，tb，13(ab)三向量的终点在一条直线上？解析：设 atba13ab(R)
7、化简整理得231 at13 b0.a，b 不共线，2310，t30，32，t12.故 t12时，a，tb，13(ab)的终点在一条直线上.考点三向量线性运算的应用例 3 如图所示，D，E 分别是ABC 中边 AB，AC 的中点，M，N 分别是 DE，BC 的中点，已知BCa，BD b，试用 a，b 分别表示DE，CE，MN.分析：由图形结合三角形中位线定理可解解析：由三角形中位线定理，知 DE 綊12BC，故DE 12BC，即DE 12a.CECBBD DE ab12a12ab.MN MD DB BN12ED DB 12BC14ab12a14ab.点评：(1)充分利用平面几何的一些结论，转化为
8、相等向量、相反向量、共线向量及比例关系，建立已知向量与未知向量有直接关系的向量来解决问题(2)用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用变式探究 3 在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若AD 2DB，CD 13CACB，求 的值解析：方法一：由AD 2DB 得CD CA2(CBCD)，即CD 13CA23CB，所以 23.方法二：因为CD CA AD CA 23ABCA 23(CB CA)13CA23CB，所以 23.4 新思维随堂自测1.点 C 在线段 A
9、B 上，且AC35AB，则AC()A.23BC B.32BCC23BC D32BC解析：利用线段的比例关系及向量的方向答案：D2设 a 是非零向量，是非零实数，下列结论正确的是()Aa 与a 的方向相反 B|a|a|Ca 与 2a 的方向相同 D|a|a解析：20.答案：C3若 abc，化简 3(a2b)2(3bc)2(ab)()Aa BbCc D以上都不对解析：3(a2b)2(3bc)2(ab)(3a6b)(6b2c)(2a2b)a2c2b，又abc，原式bc2c2ba.答案：A4已知 E、F 分别为四边形 ABCD 的边 CD、BC 的中点，设ADa，BAb，则EF()A.12(ab)B1
10、2(ab)C12(ab)D.12(ab)解析：EF12DB 12(DA AB)12(ab)12(ab)答案：B5设 a，b 是两个不共线的非零向量若向量 ka2b 与 8akb 的方向相反，则 k_.解析：向量 ka2b 与 8akb 的方向相反，ka2b(8akb)k8，2kk4(方向相反，0k0)答案：45 辨错解走出误区易错点：对向量的线性运算的几何意义理解不透【典例】若非零且不共线的向量 a，b 满足|ab|b|，则()A|2b|a2b|B|2b|a2b|C|2a|2ab|D|2a|2ab|【错解】B【错因分析】本题易错选 B，如图所示，若 a 与 b 不共线，则设OA a，OB b，则BAab，且 OBAB，再作BC b，连接 AC，则CAa2b，ABOBBC.在ABC 中，由于 ABBCCA，即|b|b|a2b|，所以|2b|a2b|.作AD a，连接 BD，则BD OD OB 2ab.在ABD 中，由于 BAADBD，所以|b|a|2ab|，又|a|与|b|的大小不确定，故|2a|与|2ab|的大小不确定【正解】A【反思】在进行向量的线性运算时易忽略向量的加、减法的几何意义，不能把向量的线性运算与几何意义相结合
