1、第二章一、选择题(本大题共12小题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1“是无限不循环小数，所以是无理数”以上推理的大前提是()A实数分为有理数和无理数B不是有理数C无理数都是无限不循环小数D有理数都是有限循环小数解析：演绎推理的结论是蕴含于前提之中的特殊事实，本题中由小前提及结论知选C.答案：C2用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中至少有一个偶数”正确的反设为()Aa，b，c中至少有两个偶数Ba，b，c都是奇数Ca，b，c中至少有两个偶数或都是奇数Da，b，c都是偶数解析：“至少有一个”的反面是“一个也没有”，“a，b，c中至少有一个是偶数”
2、应反设为：a，b，c都是奇数答案：B3某个命题与正整数有关，如果当nk(kN*)时，该命题成立，那么可推得当nk1时命题也成立现在已知当n5时，该命题不成立，那么可推得()A当n6时该命题不成立B当n6时该命题成立C当n4时该命题不成立 D当n4时该命题成立解析：依题意，若n4时该命题成立，则n5时该命题成立；而n5时该命题不成立，却无法判断n6时该命题成立还是不成立，故选C.答案：C4下列表述正确的是()归纳推理是由特殊到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；分析法是一种间接证明法；若zC，且|z22i|1，则|z22i|的最小值是3.A BC D解析：归纳
3、推理是由部分到整体、特殊到一般的推理，故正确；演绎推理是由一般到特殊的推理，故正确；类比推理是由特殊到特殊的推理，故错误；分析法是一种直接证明法，故错误；|z22i|1表示复平面上的点到(2,2)的距离为1的圆，|z22i|就是圆上的点，到(2,2)的距离的最小值，就是圆心到(2,2)的距离减去半径，即：|2(2)|13，故正确故选D.答案：D5用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为()A6n2 B8n2C6n2 D8n2解析：归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴
4、棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an6n2.答案：C6将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：abba；(ab)ca(bc)；a(bc)abac；由abac(a0)可得bc，则正确的结论有()A1个 B2个C3个 D4个解析：平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故正确，错误；由abac(a0)得a(bc)0，从而bc0或a(bc)，故错误答案：B7观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A28 B76C123 D199解析：记anbnf(n)，则f(3)f(1)f(2)134；f(4
5、)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)，则f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.答案：C8数列an满足a1，an11，则a2 014等于()AB1 C2D3解析：a1，an11，a211，a312，a41，a511，a612，an3kan(nN*，kN*)a2 014a13671a1.答案：A9由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面()A各
6、正三角形内任一点B各正三角形的某高线上的点C各正三角形的中点D各正三角形外的某点解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心答案：C10已知x0，不等式x2，x3，x4，可推广为xn1，则a的值为()An2BnnC2n D22n2解析：由x2，xx3，xx4，可推广为xn1，故ann.答案：B11命题：在三角形中，顶点与对边中点连线所得三线段交于一点，且分线段长度比为21，类比可得在四面体中，顶点与所对面的_连线所得四线段交于一点，且分线段比为_()A重心31 B重心31C内心21 D外心21解析：由四面体的性质可得结论为A
7、.答案：A12在用数学归纳法证明1aa2an1(a1，nN*)时，在验证当n1时，等式左边为()A1 B1aC1aa2 D1aa2a3解析：等式左边共n2项，规律是a的指数从0依次增加1直到n1，故n1，最后一项为a2.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分请把正确答案填在题中横线上)13“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平分”以上推理的大前提是_答案：菱形的对角线互相垂直且平分14已知x，yR，且xy2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为_解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”即“x，y均不大于1”，亦即“x1且y1”答
8、案：x，y均不大于1(或者x1且y1)15观察下列不等式1，1，1，照此规律，第五个不等式为_解析：先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个不等式为4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右边分子为分母的2倍减1，分母即为所对应项数，故应填1.答案：116观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图形中有_个小正方形解析：第1个图中有3个小正方形，第2个有336个小正方形，第3个有6410个小正方形，第4个图形有10515个小正方形，第5个图形有15621个小正方形，第6个图形中有21728个小正方形答案：28三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的文字说明
9、、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行解析：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交结论是正确的，证明如下：设，且a，则必有b，若与不相交，则必有.又，与a矛盾，必有b.(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交18(本小题满分12分)(1)证明：函数f(x)x22x在(，1上是增函数；(2)当x5，2时，f(
10、x)是增函数还是减函数？解析：(1)证明：任取x1，x2(，1，x1x2，则f(x1)f(x2)(x2x1)(x2x12)x1x21，x2x120，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)于是，根据“三段论”可知，f(x)x22x在(，1上是增函数(2)f(x)在(，1上是增函数，而5，2是区间(，1的子区间，f(x)在5，2上是增函数19(本小题满分12分)已知a1a2a3a4100，求证a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.解析：假设a1，a2，a3，a4均不大于25，即a125，a225，a325，a425，则a1a2a3a425252525100，这与已知a1a2a3a41
11、00矛盾，故假设错误所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.20(本小题满分12分)已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，记A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：.证明：要证，只需证3，即证明1，所以只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，即证明c2a2acb2.(*)ABC的三个内角A，B，C成等差数列，B60.由余弦定理，得b2c2a22accos 60.b2c2a2ac.代入(*)式，等式成立c2a2acb2成立，故命题得证21(本小题满分13分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin2
12、15cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解析：方法一：(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin
13、 )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.方法二：(1)同方法一(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin (cos 30cos sin 30sin )cos 2(cos 60cos 2sin 60sin 2)sin cos sin2cos 2cos 2sin 2sin 2(1cos 2)1cos 2cos 2.22(本小题满分13分)设f(n)1，是否有关于自然数n的函数g(n)，使等式f(1)f(2)f(n1
14、)g(n)f(n)1对n2的一切自然数都成立？并证明你的结论解析：当n2时，f(1)g(2)f(2)1，得g(2)2.当n3时，f(1)f(2)g(3)f(3)1，得g(3)3.猜想g(n)n(n2)下面用数学归纳法证明：当n2时，等式f(1)f(2)f(n1)nf(n1)恒成立(1)当n2时，由上面计算知，等式成立(2)假设nk时等式成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1(k2)，那么，当nk1时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)k(k1)f(k1)1，故当nk1时等式也成立由(1)(2)知，对一切n2的自然数n，等式都成立故存在函数g(n)n使等式成立