1、第 32 练 双曲线的渐近线和离心率问题题型分析高考展望 双曲线作为三种圆锥曲线之一，也是高考热点，其性质是考查的重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外，也会在选择题、填空题中考查，一般为中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本.体验高考1.(2015四川)过双曲线 x2y231 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A，B 两点，则|AB|等于()A.4 33 B.2 3C.6D.4 3答案 D解析 设 A，B 两点的坐标分别为(x，yA)，(x，yB)，将 xc2 代入渐近线方程 y 3x 得到 yA，yB，进而求|AB|.由题意知，双曲
2、线 x2y231 的渐近线方程为 y 3x，将 xc2代入得 y2 3，即 A，B 两点的坐标分别为(2，2 3)，(2，2 3)，所以|AB|4 3.2.(2016天津)已知双曲线x24y2b21(b0)，以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A，B，C，D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为()A.x243y24 1B.x244y23 1C.x24y241D.x24y2121答案 D解析 由题意知双曲线的渐近线方程为 yb2x，圆的方程为 x2y24，联立x2y24，yb2x，解得x44b2，y2b4b2或x44b2，y 2b4b2，即
3、第一象限的交点为44b2，2b4b2.由双曲线和圆的对称性得四边形 ABCD 为矩形，其相邻两边长为84b2，4b4b2，故84b4b22b，得 b212.故双曲线的方程为x24y2121.故选 D.3.(2016浙江)已知椭圆 C1：x2m2y21(m1)与双曲线 C2：x2n2y21(n0)的焦点重合，e1，e2 分别为 C1，C2 的离心率，则()A.mn 且 e1e21B.mn 且 e1e21C.mn 且 e1e21D.mn 且 e1e21答案 A解析 由题意可得：m21n21，即 m2n22，又m0，n0，故 mn.又e21e22m21m2 n21n2 n21n22n21n2n42n
4、21n42n2 11n42n21，e1e21.4.(2015上海)已知点 P 和 Q 横坐标相同，P 的纵坐标是 Q 的纵坐标的 2 倍，P 和 Q 的轨迹分别为双曲线 C1 和 C2，若 C1 的渐近线为 y 3x，则 C2 的渐近线方程为_.答案 y 32 x解析 设点 P 和 Q 的坐标为(x，y)，(x0，y0)，则有xx0，y2y0，又因为 C1 的渐近线方程为 y 3x，故设 C1 的方程为 3x2y2，把点坐标代入，可得 3x204y20，令 0 3x2y0，即为曲线 C2 的渐近线方程，则 y 32 x.5.(2015北京)已知双曲线x2a2y21(a0)的一条渐近线为 3xy
5、0，则 a_.答案 33解析 直接求解双曲线的渐近线并比较系数.双曲线x2a2y21 的渐近线为 yxa，已知一条渐近线为 3xy0，即 y 3x，因为 a0，所以1a 3，所以 a 33.高考必会题型题型一 双曲线的渐近线问题例 1(1)已知直线 y1x 与双曲线 ax2by21(a0，b0)的右焦点为 F.点 A，B 分别在 C 的两条渐近线上，AFx 轴，ABOB，BFOA(O 为坐标原点).求双曲线 C 的方程；过 C 上一点 P(x0，y0)(y00)的直线 l：x0 xa2 y0y1 与直线 AF 相交于点 M，与直线 x32相交于点 N.证明：当点 P 在 C 上移动时，|MF|
6、NF|恒为定值，并求此定值.解 设 F(c，0)，因为 b1，所以 c a21，直线 OB 的方程为 y1ax，直线 BF 的方程为 y1a(xc)，解得 B(c2，c2a).又直线 OA 的方程为 y1ax，则 A(c，ca)，kABca c2acc23a.又因为 ABOB，所以3a(1a)1，解得 a23，故双曲线 C 的方程为x23y21.由知 a 3，则直线 l 的方程为x0 x3 y0y1(y00)，即 yx0 x33y0.因为直线 AF 的方程为 x2，所以直线 l 与 AF 的交点为 M(2，2x033y0)；直线 l 与直线 x32的交点为 N(32，32x033y0).则|M
7、F|2|NF|22x0323y021432x0323y022x0329y204 94x022432x0323y203x022.因为 P(x0，y0)是 C 上一点，则x203y201，代入上式得|MF|2|NF|2432x032x2033x022432x0324x2012x0943，即所求定值为|MF|NF|232 33.点评(1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由 ybaxxayb0 x2a2y2b20，所以可以把标准方程x2a2y2b21(a0，b0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程.(2)已知双曲线渐近线方程：ybax，可设双曲线方程为x2a2y2b2(0)，求出 即得
8、双曲线方程.变式训练 1 已知 ab0，椭圆 C1 的方程为x2a2y2b21，双曲线 C2 的方程为x2a2y2b21，C1与 C2 的离心率之积为 154，则 C2 的渐近线方程为()A.x 2y0B.2xy0C.x2y0D.2xy0答案 C解析 由已知，得 e11ba2，e21ba2，所以 e1e21ba4 154，解得ba12，所以 C2 的渐近线方程为 ybax12x，即 x2y0，故选 C.题型二 双曲线的离心率问题例 2(1)点 A 是抛物线 C1：y22px(p0)与双曲线 C2：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线的交点，若点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p，
9、则双曲线 C2 的离心率等于()A.2B.3C.5D.6(2)(2016课标全国甲)已知 F1，F2 是双曲线 E：x2a2y2b21 的左，右焦点，点 M 在 E 上，MF1与 x 轴垂直，sinF213，则 E 的离心率为()A.2B.32C.3D.2答案(1)C(2)A解析(1)双曲线的渐近线方程为：ybax，由题意可求得点 A(p2，p)代入渐近线得bapp22，(ba)24，c2a2a24，e25，e 5，故选 C.(2)离心率 e|F1F2|MF2|MF1|，由正弦定理得 e|F1F2|MF2|MF1|sinMsinF1sinF22 23113 2.故选A.点评 在研究双曲线的性质
10、时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多.由于 eca是一个比值，故只需根据条件得到关于 a、b、c 的一个关系式，利用 b2c2a2 消去 b，然后变形求 e，并且需注意 e1.同时注意双曲线方程中 x，y 的范围问题.变式训练 2(2016上海)双曲线 x2y2b21(b0)的左、右焦点分别为 F1、F2，直线 l 过 F2 且与双曲线交于 A、B 两点.(1)若 l 的倾斜角为2，F1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设 b 3，若 l 的斜率存在，且(F1A F1B)AB0，求 l 的斜率.解(1)由已知 F1(b21，0
11、)，F2(b21，0)，取 x b21，得 yb2，|F1F2|3|F2A|，|F1F2|2 b21，|F2A|b2，2 b21 3b2，即 3b44b24(3b22)(b22)0，b 2，渐近线方程为 y 2x.(2)若 b 3，则双曲线方程为 x2y231，F1(2，0)，F2(2，0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则F1A(x12，y1)，F1B(x22，y2)，AB(x2x1，y2y1)，F1A F1B(x1x24，y1y2)，(F1A F1B)ABx22x214(x2x1)y22y210，(*)x21y213x22y2231，y22y213(x22x21)，代入(*)式，
12、可得 4(x22x21)4(x2x1)0，直线 l 的斜率存在，故 x1x2，x1x21.设直线 l 为 yk(x2)，代入 3x2y23，得(3k2)x24k2x(4k23)0，3k20，且 16k44(3k2)(4k23)36(k21)0，x1x2 4k23k21，k235，k 155，直线 l 的斜率为 155.题型三 双曲线的渐近线与离心率综合问题例 3 已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右顶点为 A，O 为坐标原点，以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P，Q，若PAQ60，且OQ 3OP，则双曲线 C 的离心率为()A.74 B.73 C.72 D.7
13、答案 C解析 如图所示，设AOQ，tanbacosac，sinbc，|OH|acosa2c，|AH|asinabc，又OQ 3OP，|OP|PH|HQ|a22c，|AH|3|PH|abc 3a22c2b 3a，e1ba2 72.故选 C.点评 解决此类问题：一是利用离心率公式，渐近线方程，斜率关系等列方程组.二是数形结合，由图形中的位置关系，确定相关参数的范围.变式训练 3 已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)以及双曲线y2a2x2b21(a0，b0)的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为()A.2 或2 33 B.6或2 33 C.2 或 3D.3
14、或 6答案 A解析 由题意可知，双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线的倾斜角为 30或 60，则 kba 3或 33，则 ecac2a2a2b2a21b2a22 或2 33.高考题型精练1.(2015课标全国)已知 M(x0，y0)是双曲线 C：x22y21 上的一点，F1，F2 是 C 的两个焦点.若MF1 MF2 0，则 y0 的取值范围是()A.33，33B.36，36C.2 23，2 23D.2 33，2 33答案 A解析 由双曲线方程可求出 F1，F2 的坐标，再求出向量MF1，MF2，然后利用向量的数量积公式求解.由题意知 a 2，b1，c 3，F1(3，0)，F2(3，
15、0)，MF1(3x0，y0)，MF2(3x0，y0).MF1 MF2 0，(3x0)(3x0)y200，即 x203y200.点 M(x0，y0)在双曲线上，x202y201，即 x2022y20，22y203y200，33 y00，b0)的两顶点为 A1，A2，虚轴两端点为 B1，B2，两焦点为 F1，F2，若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2，则双曲线的离心率是()A.3 52B.512C.512D.3 52答案 B解析 由题意，得直线 F1B1 的方程是 bxcybc0，因为圆与直线相切，所以点 O 到直线 F1B1 的距离等于半径，即bcb2c2a，又 b2c2a2，
16、得 c43a2c2a40，e43e210，e23 52，e1 52，故选 B.5.如图，中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N 是双曲线的两顶点，若 M，O，N 将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A.3B.2C.3D.2答案 B解析 设椭圆与双曲线的标准方程分别为x2a2y2b21(ab0)，x2m2y2n21(m0，n0)，因为它们共焦点，所以它们的半焦距均为 c，所以椭圆与双曲线的离心率分别为 e1ca，e2cm，由点 M，O，N 将椭圆长轴四等分可知 mam，即 2ma，所以e2e1cmcaam2，故选 B.6.若实数 k 满足 0k9，则曲线x225 y
17、29k1 与曲线x225ky291 的()A.焦距相等B.半实轴长相等C.半虚轴长相等D.离心率相等答案 A解析 因为 0k0，b0)的右焦点，O 是双曲线 C 的中心，直线 y mx是双曲线 C 的一条渐近线，以线段 OF 为边作正三角形 AOF，若点 A 在双曲线 C 上，则 m_.答案 32 3解析 因为直线 y mx 是双曲线 C 的一条渐近线，所以 mb2a2，又 A 在双曲线 C 上，三角形 AOF 是正三角形，所以 A(12c，32 c)，12c2a2 32 c2b21，c2a2b2，化为a2b24a2 3a2b24b21，1414m34 34m1，因为 m0，可解得 m32 3
18、.8.设 P 为直线 y b3ax 与双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)左支的交点，F1 是左焦点，PF1 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率 e_.答案 3 24解析 设 P(x，b3ax)，则由题意，知 c|x|，因为 PF1 垂直于 x 轴，则由双曲线的通径公式知|b3ax|b2a，即 b3acb2a，所以 bc3.又由 a2c2b2，得 a289c2，所以 eca3 24.9.(2016山东)已知双曲线 E：x2a2y2b21(a0，b0)，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|3|BC|，则 E 的离心率是_.答案 2解析
19、 由已知得|AB|2b2a，|BC|2c，22b2a 32c，又b2c2a2，整理得：2c23ac2a20，两边同除以 a2 得 2 ca23ca20，即 2e23e20，解得 e2 或 e12(舍去).10.已知 A(1，2)，B(1，2)，动点 P 满足APBP，若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线与动点 P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是_.答案(1，2)解析 根据条件APBP，可得 P 点的轨迹方程 x2(y2)21，求出双曲线的渐近线方程 ybax，运用圆心到直线的距离大于半径，得到 3a2b2，再由 b2c2a2，得出离心率 eca1，所以 1e0，b0)
20、的左，右焦点，点 F1 关于渐近线的对称点恰好在以 F2 为圆心，|OF2|(O 为坐标原点)为半径的圆上，则该双曲线的离心率为_.答案 2解析 设 F1(c，0)，F2(c，0)，设一条渐近线方程为 ybax，则 F1 到渐近线的距离为bca2b2b，设 F1 关于渐近线的对称点为 M，F1M 与渐近线交于点 A，所以|MF1|2b，A 为 F1M 的中点，又 O 是 F1F2 的中点，所以 OAF2M，F1MF2 是直角，由勾股定理得：4c2c24b2，化简得 e2.12.已知双曲线 C1：x2y241.(1)求与双曲线 C1 有相同焦点，且过点 P(4，3)的双曲线 C2 的标准方程；(
21、2)直线 l：yxm 分别交双曲线 C1 的两条渐近线于 A、B 两点，当OA OB 3 时，求实数m 的值.解(1)双曲线 C1：x2y241，焦点坐标为(5，0)，(5，0)，设双曲线 C2 的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)，双曲线 C2 与双曲线 C1 有相同焦点，且过点 P(4，3)，a2b25，16a2 3b21，解得a2，b1.双曲线 C2 的标准方程为x24y21.(2)双曲线 C1 的两条渐近线为 y2x，y2x，由y2x，yxm 可得 xm，y2m，A(m，2m)，由y2x，yxm可得 x13m，y23m，B(13m，23m)，OA OB 13m243m2m2，OA OB 3，m23，m 3.
