1、7.2.2复数的乘、除运算知识点一复数的乘法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)是任意两个复数，那么它们的积(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成1，并且把实部和虚部分别合并即可知识点二复数的乘法运算律对于任意z1，z2，z3C，有交换律：z1z2z2z1；结合律：(z1z2)z3z1(z2z3)；分配律：z1(z2z3)z1z2z1z3.知识点三复数的除法法则(abi)(cdi)i(a，b，c，dR，且cdi0)由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数虚数单位i的乘方计算复数
2、的乘积要用到复数单位i的乘方，i有如下性质：i4n1i；i4n21；i4n3i；i4n1.说明：(1)上述公式说明i的幂具有周期性，且最小正周期是4.(2)n可推广到整数集(3)4k(kZ)是i的周期(4)与i有关的几个结论：(1i)22i，(1i)22i，i，i.1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)若复数z112i，z23i，则复数z1z2的虚部为5.()(2)若z1，z2C，且zz0，则z1z20.()(3)两个共轭复数的积为实数()答案(1)(2)(3)2做一做(1)复数_.(2)复平面内，复数z(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于第_象限(3)复数2的共轭复数是_答案(1)i
3、(2)四(3)2i题型一 复数的乘、除运算例1(1)复数()A0 B2 C2i D2i(2)若复数z1429i，z269i，其中i是虚数单位，则复数(z1z2)i的实部为_解析(1)解法一：2i.解法二：ii2i.(2)(z1z2)i(429i)(69i)i(220i)i202i，(z1z2)i的实部为20.答案(1)D(2)20(1)复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为1，进行最后结果的化简复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)(2)实数集中的乘法公式、幂的运算律，因式分解方法等在
4、复数集中仍成立计算：(1)(23i)(12i)；(2)(2i)(15i)(34i)2i.解(1)原式i.(2)原式(311i)(34i)2i5321i2i5323i.题型二 在复数范围内解一元二次方程例2在复数范围内解下列方程(1)2x260；(2)x2x40.解(1)由2x260，得x23.因为(i)2(i)23，所以方程2x260的根为xi.(2)配方，得2，因为22，所以xi，所以原方程的根为xi.实系数一元二次方程ax2bxc0(a，b，cR，a0)在复数范围内定有两个根：(1)0，方程有两个不相等的实数根x1,2.(2)0，方程有两个相等的实数根x1,2.(3)0，方程有一对共轭虚根
5、x1,2i.在复数范围内解方程2x24x150.解配方，得(x1)2，因为22，所以x1i，所以原方程的根为x1i.题型三 复数in的周期性运算例3计算：(1)2020；(2)1ii2i3i2019.解(1)20201010i(1i)10101i(i)10101i1i2.(2)解法一：inin1in2in30，nN*，1ii2i3i20191ii2i3(i4i5i6i7)(i8i9i10i11)(i2016i2017i2018i2019)1ii2i30.解法二：1ii2i20190.in(nN*)的性质根据复数乘法法则，容易得到i的n次幂的计算法则，即nN*时，i4n1，i4n1i，i4n21
6、，i4n3i，其中i01，in(nN*)另外，i4ni4n1i4n2i4n30.(1)当z时，z100z501的值等于()A1 B1 Ci Di(2)计算6的值为_答案(1)D(2)1i解析(1)z22i，z100z501(i)50(i)251(i)225(i)11i1i.(2)原式6i61i.1复数i(2i)()A12i B12i C12i D12i答案A解析i(2i)2ii212i.故选A.2复数等于()A1i B1i C1i D1i答案A解析1i.故选A.3(1i)2_.答案i解析(1i)22ii.4方程7x210的根为_答案xi解析7x210，整理得x2，因为22，所以7x210的根为xi.5把复数z的共轭复数记作，已知i43i，求.解由i43i得34i，所以z34i.所以.