1、第十四章数系的扩充与复数的引入14.1数系的扩充和复数的概念1理解复数的基本概念2理解复数相等的充要条件3了解复数的代数表示法及其几何意义，能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示复数的有关概念是高考常考内容，要求不高，一般以小题形式出现1虚数的单位为i，规定：i2 ，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的_仍然成立2复数的概念形如：abi(a，bR)的数叫复数，其中a叫做复数的_，b叫做复数的_当 时，复数abi为实数；当 时，复数abi为虚数；当 且 时，复数abi为纯虚数3复数相等的充要条件abicdi(a，b，c，dR) ，特
2、别地，abi0 .4在复平面内，实轴上的点都表示 ；虚轴上的点除 外都表示 5复数zabi(a，bR)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立 的关系(其中O是坐标原点)6复数的模向量的模r叫做复数zabi(a，bR)的模，记作_或.即r_(r0，rR)7共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为_，复数z的共轭复数记作_8数系的扩充数集扩充的过程是：自然数集(N) 复数集(C)数集的每一次扩充，都使得在原有数集中能实施的运算，在新的数集中仍能进行，并且解决了在原有数集中某种运算不可实施的矛盾【自查自纠】11运算律2实部虚部b0b0a0b03ac且bdab0
3、4实数原点纯虚数5一一对应6.7共轭复数8整数集(Z)有理数集(Q)实数集(R)()已知复数z的共轭复数12i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解：易知z12i，则其在复平面内对应点的坐标为(1，2)，在第四象限故选D.若复数z(x21)(x1)i为纯虚数，则实数x的值为()A1 B0C1 D1或1解：依题意知解之得x1，故选A.()方程x26x130的一个根是()A32i B32i C23i D23i解：当0时，方程有虚数根，根据求根公式x，得x32i，所以方程的一个根为32i.故选A.已知a12ai44i(aC)，则复数a .解：设
4、axyi(x，yR)，则(x2y1)(2xy)i44i.根据复数相等的定义得解之得a12i，故填12i.()已知复数z(3i)2(i为虚数单位)，则_解：z96i186i，10.故填10.类型一复数的有关概念及性质下列命题中：(1)在复数集中，任意两个数都不能比较大小；(2)若zmni(m，nC)，则当且仅当m0，n0时，z为纯虚数；(3)若(z1z2)2(z2z3)20，则z1z2z3；(4)xyi1ixy1；(5)若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应.其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3解：(1)当两个复数都是实数时，可以比较其大小(2)若m0，ni时，则z0i21R.
5、(3)当z11，z20，z3i时满足条件，而结论不成立(4)只有当x，yR时命题才正确(5)若a0，则0i0不是纯虚数故选A.【评析】正确理解复数的概念，不要想当然地认为字母表示的数(特别是i的系数)一定是实数，也不要随意将实数中的一些结论推广到复数中去对zabi (a，bR)，z为纯虚数z为实数b0.下列命题中：若z1z20，则z1z2；若zz0，则z1z20；z0z为纯虚数；zzR.正确的命题是_解：中若z12i，z21i，则z2与z1不能比较大小；中的z1i，z21也可以满足条件；中的z0满足z0，但z为实数故填.类型二复平面的概念及复数的几何意义已知A，B是锐角三角形的两内角，则复数(
6、sinAcosB)(sinBcosA)i在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解：A，B是锐角三角形的两内角，AB，且0A，0B.0BA，由正弦函数的单调性知sinsinA，即sinAcosB0.同理可得，sinBcosA0.故选A.【评析】判断复数对应的点在复平面上的位置，只需判断复数的实部和虚部的正负即可，对题目中条件“A，B是锐角三角形的内角”的挖掘是解决此题的关键若，则复数z(cossin)(sincos)i在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解：，cossinsin0，sincossin0.因此复数z在复平面内对应的点
7、位于第二象限，故选B.类型三复数相等的充要条件关于x的方程x2(2i1)x3mi0有实根，则实数m的值是解：设实根为x0，则x(2i1)x03mi0，即xx03m(2x01) i0.由复数相等的充要条件得m(xx0).故填.【评析】依据两个复数相等的充要条件，构造关于实数根x0与参数m的方程组是解决此类问题的有效手段()若1i是关于x的实系数方程x2bxc0的一个复数根，则()Ab2，c3 Bb2，c3Cb2，c1 Db2，c1解：将1i代入方程得，(1i)2b(1i)c0，(bc1)(2b) i0，由复数相等的充要条件得解得b2，c3.故选B.1处理与复数概念有关的问题，首先找准复数的实部与虚部，若复数为非标准的代数形式，应通过代数运算将其化为标准的代数形式，然后根据定义解题，复数问题实数化是解决复数问题最基本的思想方法2熟练掌握复数部分的一系列概念，对于求解复数题至关重要以下三点请注意：(1)对于复数mni，如果m，nC(或没有明确界定m，nR)，则不可想当然地判定m，nR.(2)易误认为y轴上的点与纯虚数一一对应(3)对于abi (a，bR)为纯虚数的充要条件，只注意了a0而漏掉了b0.3复数的几何意义(1)(其中a，bR)(2)表示复数z对应的点与原点的距离(3)表示两点的距离，即表示复数z1与z2对应的点的距离