1、课时作业15直线与平面垂直的判定基础巩固类1如果一条直线垂直于一个平面内的三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边，那么能保证该直线与平面垂直的是(A)A BC D解析：能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，中的两条直线有可能是平行的2已知平面，a是直线，则“a”是“a”的(C)A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：根据题意，“a”，又由平面，则有“a”，则“a”是“a”的充分条件，反之，若“a”，又由平面，则有“a”，则“a”是“a”的必要条件，则“a”是“a”的充要条件故选C.3如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，侧面AA1D
2、1D为正方形，E为棱CD上任意一点，则AD1与B1E的关系为(A)AAD1B1EBAD1B1ECAD1与B1E共面D以上都不对解析：连接A1D，则由正方形的性质，知AD1A1D，又B1A1平面AA1D1D，所以B1A1AD1，所以AD1平面A1B1ED，又B1E平面A1B1ED，所以AD1B1E，故选A.4已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面(B)A有且只有一个 B至多一个C有一个或无数个 D不存在解析：若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在5在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所
3、成角的大小是(C)A30 B45C60 D90解析：如图，取BC的中点E，连接AE，ED，AD，则AE平面BB1C1C，故ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角设各棱长为a，则AEa，DEa.tanADE.ADE60.6如果PA，PB，PC两两垂直，那么点P在平面ABC内的投影一定是ABC的(D)A重心 B内心C外心 D垂心解析：如图，由PA，PB，PC两两互相垂直，可得AP平面PBC，BP平面PAC，CP平面PAB，所以BCOA，ABOC，ACOB，所以点O是ABC三条高的交点，即点O是ABC的垂心，故选D.7ABCD的对角线交点为O，点P在ABCD所在平面外，且PAPC，PDPB，则P
4、O与平面ABCD的位置关系是垂直解析：PAPC，O是AC的中点，POAC.同理可得POBD.ACBDO，PO平面ABCD.8如图所示，PA平面ABC，ABC中BCAC，则图中直角三角形的个数有4.解析：BC平面PACBCPC，直角三角形有PAB、PAC、ABC、PBC.9如图，ACB90，平面ABC外有一点P，PC4 cm，点P到角的两边AC，BC的距离都等于2 cm，则PC与平面ABC所成角的大小为45.解析：如图，过P作PO平面ABC于点O，连接CO，则CO为ABC的平分线，且PCO为PC与平面ABC所成的角，设其为，连接OF，易知CFO为直角三角形又PC4，PF2，CF2，CO2，在Rt
5、PCO中，cos，45.10.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：A1C平面BC1D.证明：连接AC，则ACBD，又BDA1A，ACAA1A，AC，A1A平面A1AC，BD平面A1AC，A1C平面A1AC，BDA1C.同理可证BC1A1C.又BDBC1B，BD，BC1平面BC1D，A1C平面BC1D.11如图，在棱长均为1的直三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点(1)求证：AD平面BCC1B1；(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值解：(1)证明：直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，BB1AD，ABAC，D是BC的中点，ADBC.又BCBB1B，AD平
6、面BCC1B1.(2)如图，连接C1D.由(1)可知AD平面BCC1B1，则AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角在RtAC1D中，AD，AC1，sinAC1D，即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为.能力提升类12已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于(A)A. B.C. D.解析：如图所示，取A1C1的中点D，连接AD，B1D，则易证得B1D平面ACC1A1，DAB1即为直线AB1与平面ACC1A1所成的角不妨设正三棱柱的棱长为2，则在RtAB1D中，sinDAB1，故选A.13.如图，四棱锥SABCD的底面为
7、正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是(D)AACSBBAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析：选项A正确，因为SD平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACSD.又ABCD为正方形，所以ACBD.因为BDSDD，所以AC平面SBD，所以ACSB.选项B正确，因为ABCD，CD平面SCD，AB平面SCD，所以AB平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是ASO，SC与平面SBD所成的角就是CSO，易知这两个角相等选项D错误，AB与SC所成的角等于SCD，而DC与SA
8、所成的角是SAB，这两个角不相等14.如图所示，在矩形ABCD中，AB1，BCa(a0)，PA平面AC，且PA1，若BC边上存在点Q，使得PQQD，则a的取值范围是2，)解析：因为PA平面AC，QD平面AC，所以PAQD.又因为PQQD，PAPQP，所以QD平面PAQ，所以AQQD.当0a2时，由四边形ABCD是矩形且AB1知，以AD为直径的圆与BC无交点，即对BC上任一点Q，都有AQD2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1，Q2，此时AQ1DAQ2D90，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQQD.15.如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ADCD，且DB平分ADC，E为P
9、C的中点，ADCD1，DB2.(1)证明PA平面BDE；(2)证明AC平面PBD；(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值解：(1)证明：如图，连接AC与BD相交于点O，连接OE，因为ADCD，DB平分ADC，所以OAOC.又因为E为PC的中点，所以PAOE.又PA平面BDE，OE平面BDE，所以PA平面BDE.(2)证明：因为ADCD，DB平分ADC，所以ACBD，因为PD平面ABCD，所以ACPD，又因为BDPDD，所以AC平面PBD.(3)由(2)知CO平面PBD，所以直线BC在平面PBD内的射影为BO，所以OBC是直线BC与平面PBD所成的角因为ADCD，ADCD，DB平分ADC，所以ODCOCD45.所以ODOCCD.因为DB2，所以OBDBOD.在RtOBC中，tanOBC，所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为.
