1、 双曲线(教案)A一、 知识梳理：1. 双曲线的定义 定义的理解:(1)当2a=2c时, ; 当2a2c时, (2)当a=0时, ;(3)当|M|-| M|=2a时,表示 ; 当|M|-| M|=2a时,表示 2.双曲线的标准方程:焦点在x轴上的标准方程: - =1(a0,b0)焦点在y轴上的标准方程: - =1(a0,b0) 两种方程可用统一形式表示:A+ B=1 (AB0,B0时,焦点在 轴上,当A0时,焦点在 轴上; 对双曲线的两种标准方程，都有(a0,b0)，焦点都在实轴上，且a、b、c始终满足=3.双曲线焦点所在的轴的判定方法:在标准方程中,只要看系数,如果为正,的系数为负,则双曲线
2、的焦点在x轴上,反之,焦点在y上.4.双曲线的几何性质对于双曲线 - =1(a0,b0)(1) 范围:由标准方程可知, - =1(a0,b0)|x|a ,说明双曲线位于直线x=两侧;(2) 对称性: 双曲线 - =1(a0,b0) 关于直线x轴,y轴,及原点对称;(3) 顶点:, 是双曲线与x轴的两个交点,线段、分别叫双曲线的实轴与虚轴，它们的长分别是2a，2b；a，b分别叫双曲线的半实轴长与半虚轴长。(4) 离心率：双曲线的焦距与实轴长的比值e= 叫双曲线的离心率，范围：（1，+），越接近于1越窄狭，越大开阔，常用=1+ ；双曲线上点到焦点和直线x= 的距离之比等于离心率，由此可以求出双曲线
3、上的点到相应的焦点的距离（焦半径）p在右支上时,|p|= ea |p|= ea ;p在左支上时, |p|=-( ea) |p|=-( ea (,为左、右焦点)(5) 双曲线的渐近线求法：将方程中的常数变为0特点：与渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点。有共同渐近线的双曲线系:与双曲线有共同渐近线的双曲线可设为- =5.（选讲内容）双曲线的参数方程：双曲线 - =1(a0,b0)的参数方程为： （）为参数6.二次曲线的弦长公式： 整理得到x的方程： 整理得到y的方程： 7.等轴双曲线：渐近线:离心率:e= xy=1是等轴双曲线8.共轭双曲线:- =1(a0,b0)二、题型探究探究一：双曲线的标
4、准方程（求双曲线方程常用方法：待定系数法）例1:求适合下列条件的双曲线的标准方程（1）、两个焦点坐标分别为（-4，0）、（4，0），双曲线上的点P到两个焦点的距离之差为6；（2）、与椭圆+ =1共焦点且过点B(3)（3）、求以椭圆+ =1的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线标准方程探究二：双曲线的几何性质例2：根据下列条件,求双曲线的标准方程(1)与双曲线有共同的渐近线,且过点(-3,).(2)与双曲线有共同的焦点,且过点(3,).(3)双曲线的一条渐近线与x轴夹角为3,且过点(1,1).探究三：直线与双曲线例3：(1)、已知双曲线，过点能否作直线交双曲线于、两点，且线段中点为？若存在，求出它的方
5、程；若不存在，说明理由解：这样的直线不存在,可用点差法解AB的斜率为2,这与判别式大于零矛盾.(2)、过双曲线的右焦点作直线L交双曲线于两点，求线段的中点的轨迹方程。解：易得右焦点为，则有：，两式相减：由题设条件得：， 代入得：。三、方法提升（1）、熟练掌握双曲线的标准方程，特别是a，b，c，e四个数值的换算关系；（2）、掌握双曲线的定义、几何性质，通过运算得到的双曲线特殊结论要留下深刻印象；特别是渐近线的重要结论.（3）、为简化运算，处理交点问题时，常采用“设而不求”的办法，一般是设出交点后，再用韦达定理处理，这种方法在处理直线与双曲线的位置关系中极为重要。四、反思感悟 五、课时作业一、选择
6、题（每小题6分，共42分）1.若方程=-1表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距c的取值范围是（ ）A.（0，1） B.（1，2） C.（1，+） D.以上都不对答案：C解析：=1，又焦点在y轴上，则m-10且|m|-20,故m2，c=1.2.(2010江苏南京一模，8)若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率e等于（ ）A. B. C. D.答案：C解析：设双曲线方程为=1,则F（c,0）到y=x的距离为=2ab=2a, e=.3.(2010湖北重点中学模拟，11)与双曲线=1有共同的渐近线，且经过点（-3, 4）的双曲线方程是（ ）A.=1 B.=1 C.=1 D.=1解
7、析：设双曲线为=,=-1,故选A.4.设离心率为e的双曲线C：=1（a0,b0）的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k，则直线l与双曲线C在左、右两支都相交的充要条件是（ ）A.k2-e21 B.k2-e21 D.e2-k21解析：双曲线渐近线的斜率为，直线l与双曲线左、右两支都相交，则-k，即k21.5.下列图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1、F2为焦点，设图中的双曲线的离心率分别为e1、e2、e3,则( )A.e1e2e3 B.e1e2e3 C.e1=e3e2答案：D解析：e1=+1,对于，设正方形边长为2，则|MF2|=，|MF1|=1，|F1F2|=2
8、,e2=;对于设|MF1|=1,则|MF2|=,|F1F2|=2,e3=+1.又易知+1,故e1=e3e2.6.(2013湖北重点中学模拟,11)已知椭圆E的离心率为e,两焦点为F1、F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若=e,则e的值为( )A. B. C. D.解析：设P（x0,y0）,则ex0+a=e(x0+3c)e=.7.(2012江苏南通九校模拟，10)已知双曲线=1(a0,b0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，OAF的面积为(O为原点)，则两条渐近线的夹角为( )A.30 B.45 C.60 D.90解析：A（）,SOAF=c=a=b,故两条渐近
9、线为y=x,夹角为90.二、填空题（每小题5分，共15分）8.已知椭圆=1与双曲线=1(m0,n0)具有相同的焦点F1、F2，设两曲线的一个交点为Q，QF1F2=90，则双曲线的离心率为_.解析：a2=25,b2=16,c=3.又|QF1|+|QF2|=2a=10,|QF2|-|QF1|=2m,|QF2|=5+m,|QF1|=5-m.又|QF2|2=|QF1|2+|F1F2|2，即（5+m）2=(5-m)2+62m=,e=.9.(2012湖北黄冈一模，15)若双曲线=1的一条准线恰为圆x2+y2+2x=0的一条切线，则k等于_.解析：因圆方程为(x+1)2+y2=1,故-=-2,即=2,k=4
10、8.10.双曲线-y2=1(n1)的两焦点为F1、F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2,则PF1F2的面积为_.解析：不妨设|PF1|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2，故|PF1|=,|PF2|=,又|F1F2|2=4（n+1）=|PF1|2+|PF2|2，PF1F2为Rt.故=|PF1|PF2|=1.三、解答题（1113题每小题10分，14题13分，共43分）11.若双曲线=1(a0,b0)的右支上存在与右焦点和左准线距离相等的点，求离心率e的取值范围.解析：如右图，设点M（x0,y0）在双曲线右支上，依题意，点M到右焦点F2的距离等于它到左准线的距离|MN|，即|MF
11、2|=|MN|.=e,=e,=e.x0=.x0a,a.1,e1,e2-e0.1+ee2-e.1-e1+.但e1,10,b0),由e2=1+()2=()2得.两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=-x，设点P1（x1,x1），点P2（x2,-x2）(x10,x20),则点P分所成的比=2.得P点坐标为(),即（）,又点P在双曲线=1上.所以=1,即（x1+2x2）2-(x1-2x2)2=9a2.8x1x2=9a2. 又|OP1|=x1,|OP2|=x2,sinP1OP2=，=|OP1|OP2|sinP1OP2=x1x2=，即x1x2=. ,由得a2=4,b2=9,故双曲线方程为=1.13.
12、(2012江苏扬州中学模拟，23)已知倾斜角为45的直线l过点A（1，-2）和点B，其中B在第一象限，且|AB|=3.（1）求点B的坐标；（2）若直线l与双曲线C:-y2=1(a0)相交于不同的两点E、F，且线段EF的中点坐标为（4，1），求实数a的值.解：（1)直线AB方程为y=x-3,设点B（x,y），由及x0,y0,得x=4,y=1,点B的坐标为（4，1）.（2）由得（-1）x2+6x-10=0.设E（x1,y1）,F(x2,y2),则x1+x2=4,得a=2,此时，0,a=2.14.如右图，F1、F2分别是双曲线x2-y2=1的左、右焦点，点A的坐标是（,-）,点B在双曲线上，且=0.(1)求点B的坐标；（2）求证：F1BA=F2BA.（1）解析：依题意知F1（-2,0）,F2(2,0),A(,-).设B（x0,y0）,则=(,-),=(x0-,y0+),=0，(x0-)-(y0+)=0,即3x0-y0=2.又x02-y02=1,x02-(3x0-2)2=1,(2x0-3)2=0.x0=,代入3x0-y0=2,得y0=.点B的坐标为（,）.（2）证明：=(-,-),BF2=(,-),=(-,-),cosF1BA=,cosF2BA=,F1BA=F2BA.
