1、第6章 平面向量及其应用 6.3.3 平面向量数乘运算的坐标表示 学习目标XUE XI MU BIAO1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.已知向量a(2，1)，b(-3，4)，求a+b、a-b的坐标.一、复习引入=+ab(-1,5)=-ab(5,-3)那么3a+4b的坐标又如何求？3a=a+a+a=(2，1)+(2，1)+(2，1)=(6，3)=(32，31)4b=b+b+b+b=(4，4)+(-3，4)+(-3，4)+(-3，4)=(-12，16)=(4(-3)，44)已知a（x，y），你能得出a的坐标吗？3
2、a+4b=(-6,19)二、探求新知 已知a（x，y），你能得出a的坐标吗？a（x，y）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 已知 a(1,2)，b(2,1)，求：(1)2a3b；(2)a3b；(3)12a13b.(4,7).(7，1).(，).7623探究：如何用坐标表示两个向量的条件？设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，a，b共线的充要条件是存在实数，使ab.用坐标表示，(x1，y1)(x2，y2)即，2121yyxx01221yxyx消去，得总结：向量a，b共线的充要条件是 x1y2x2y10交叉相乘相等 思考：两向量共线能否写成12=12 呢？答：如果2,
3、2 0，两向量共线的条件可以写成12=12.两向量平行的条件为：12 21=0 两向量,共线的条件为：12 21=0且,有公共点 变形：=几何表示法：若非零向量与共线，则存在唯一实数，使得=，它体现了向量共线与向量的长度及方向之间的关系.代数表示法：设=1,1,=2,2，则当,共线时，12 21=0，用它解决平面向量问题的优点在于不需要引入参数，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征.比例形式表示法：设=1,1,=2,2，则当,共线时，有以下结论12=12 2,2 0.注意有2,2 0的限制.三点共线的坐标表示 引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标
4、来实现，三点共线问题也可以通过平面向量共线的坐标表示来判定.(1)直接利用上述条件，计算 2 13 2 3 22 1 是否为零.两种方法的本质都是向量共线定理(2)任取三点构成向量，计算出两向量如AB，AC，再通过两向量共线的条件进行判断.若=1,1,=2,2,=3,3 三点共线，则有AB=BC，即有2 1,2 1=3 2,3 2,所以 2 13 2=3 22 1，所以如果已知三点的坐标，判断其是否共线可以通过以下两种方法：例1：已知向量a(4，2)，b(6，y)，且a/b，求y.4y=12,y=3例 2已知 a(1,0)，b(2,1)(1)当 k 为何值时，kab 与 a2b 共线？因为a(
5、1,0)，b(2,1)，所以 kabk(1,0)(2,1)(k2，1),a2b(1,0)2(2,1)(5,2)a2b(1,0)2(2,1)(5,2)因为 kab 与 a2b 共线，所以 2(k2)(1)50，所以 k12.(2)若AB2a3b，BCamb，且 A，B，C 三点共线，求 m 的值(2)若AB2a3b，BCamb，且 A，B，C 三点共线，求 m 的值AB2a3b2(1,0)3(2,1)(8,3)，BCamb(1,0)m(2,1)(2m1，m)因为 A，B，C 三点共线，所以ABBC，所以 8m3(2m1)0，所以 m32.A.1 或12B.1 或12C.1D.12m12.(1)已
6、知非零向量a(m21，m1)与向量b(1，2)平行，则实数m的值为 解析 非零向量a(m21，m1)与向量b(1，2)平行，所以2(m21)1(m1)0，且m1，(2)已知OA(k,2)，OB(1,2k)，OC(1k，1)，且相异三点 A，B，C 共线，则实数 k_.解析 ABOB OA(1k,2k2)，由题意可知ABAC，所以(3)(1k)(2k2)(12k)0，解得 k14(k1 不合题意舍去).14已知向量共线求参问题中，参数一般设置在两个位置：一是在向量坐标中；二是相关向量用已知两向量的含参关系式表示 解题时应根据题目特点选择向量共线的坐标表示形式，建立方程（组）求解；例3：已知A（1
7、，1），B（1，3），C（2，5），判断A，B，C三点之间的位置关系【解析】因为(1(1),3(1)(2,4)AB (2(1),5(1)(3,6)AC 又 2 64 30 所以/ABAC又直线AB，直线AC有公共点A，所以 A，B，C三点共线（或者）所以23ABAC利用向量解决三点共线问题的思路：先利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数使得两个向量共线，由于两向量过同一点，所以两向量所在的直线必重合，即三点共线 错解中误把向量AP的坐标当做点P的坐标，混淆了点的坐标与向量的坐标的概念.混淆点的坐标和向量的坐标 坑 因为点P在第三象限,所以3+50且1+70,解得 35，即的范围是(-,35
8、)所以 2,3=(3+5,1+7).即 2=3+5,3=1+7,解得=5+5,=4+7，因为点P在第三象限，所以5+5 0,4+7 0,解得 1 所以实数的取值范围是(-,1)已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若AP=AB+AC()，且点P在第三象限，求实数的取值范围.【错解】由题意，得AP=AB+AC=(5-2,4-3)+(7-2,10-3)=(3,1)+(5,7)=(3+5,1+7)【正解】由题意，得AP=AB+AC=(5-2,4-3)+(7-2,10-3)=(3,1)+(5,7)=(3+5,1+7)设P,，则AP=2,3.错解中误把向量相等和向量的模相等混淆，即|AC|=
9、2|BC|和AC=2BC的含义是不一样的，由|AC|=2|BC|得到的应该是AC=2 BC或AC=-2BC 混淆向量相等与向量的模相等 坑 所以1 =6且 4=2 2,解得=5,=3 已知线段AB的端点分别为A(,5)，B(-2,)，C(1,1)是直线AB上的点，且有|AC|=2|BC|，求,的值.【错解】由|AC|=2|BC|,可得AC=2BC,AC=(1-,1-5)=(1-,-4),2BC=2(1+2,1-)=(6,2-2)【正解】由|AC|=2|BC|,且点C在直线AB上，得AC=2BC 由题意，得AC=2BC,AC=(1-,1-5)=(1-,-4),2BC=2(1+2,1-)=(6,2
10、-2)当AC=2BC时，有1 =6且 4=2 2,解得=5,=3 当AC=-2BC时，有1 =6且 4=2+2,解得=7,=1 核心素养之逻辑推理HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI定比分点坐标公式及应用典例(1)直线l上有两点P1，P2，在l上取不同于P1，P2的任一点P，存在一个实数，使，叫做点P分有向线段P1P2所成的比.设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P分P1P2所成的比为，求P点的坐标.P1P PP2解 设P(x，y).P1P(xx1，yy1)，PP2(x2x，y2y)，P1P PP2，(xx1，yy1)(x2x，y2y)，xx1x2x，yy1y
11、2yxx1x21，yy1y21.若P1P=PP2,那么P的坐标是(,)1+x1+x21+y1+y2【解析】解法1：（1）当点P是线段P1P2的中点时，设P(x，y)所以，点P的坐标为1212(,)22xxyy12PPPP因为1122(,)(,)xx yyxx yy所以1212xxxxyyyy 所以所以1212,22xxyyxy设P是线段P1P2上的一点，P1，P2的坐标分别是(x1，y1),(x2，y2)（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标 【解析】解法2（1）当点P是线段P1P2的中点时，所以，点P的坐标为1212(,)2
12、2xxyy11212PPPP21211(,)2 xx yy111(,)P x y又所以212111(,)22xxyyPxy2121(,)22xxyy设P是线段P1P2上的一点，P1，P2的坐标分别是(x1，y1),(x2，y2)（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标 1212(,)22xxyy12121(,)2 xxyy所以，点P的坐标为1212(,)22xxyy【解析】解法3：（1）当点P是线段P1P2的中点时，121()2OPOPOP设P是线段P1P2上的一点，P1，P2的坐标分别是(x1，y1),(x2，y2)（1）当点
13、P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标 1212PPPP当时，【解析】（2）点P是线段P1P2的中点时，分两种情况：或.1212PPPP122PPPP111121=+=+3OP OP PP OPPP12112121=+()333OPOPOPOPOP121222=(,33xxyy)，即点P的坐标是121222(,33xxyy)设P是线段P1P2上的一点，P1，P2的坐标分别是(x1，y1),(x2，y2)（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标 111122=+=+3OP
14、OP PP OPPP12112212=+()333OPOPOPOPOP121222=(,33xxyy)，即点P的坐标是121222(,33xxyy)122PPPP当时，【解析】（2）点P是线段P1P2的中点时，分两种情况：或.1212PPPP122PPPP设P是线段P1P2上的一点，P1，P2的坐标分别是(x1，y1),(x2，y2)（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标 (2)如图，ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且2，求点G的坐标.CGG
15、D解 D是AB的中点，点 D 的坐标为x1x22，y1y22，CGGD2，CG 2GD，设G点坐标为(x，y)，由定比分点坐标公式可得 xx32x1x2212x1x2x33，yy32y1y2212y1y2y33，即点 G 的坐标为x1x2x33，y1y2y33.1.知识清单：(1)平面向量数乘运算的坐标表示.(2)两个向量共线的坐标表示.2.方法归纳：化归与转化.3.常见误区：两个向量共线的坐标表示的公式易记错.课堂小结KE TANG XIAO JIE如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线AC与OB交点P的坐标.yxoABCP如图，已知直角梯形 ABCD 中，ADAB，AB2AD2CD，过点 C 作 CEAB于 E，M 为 CE 的中点，用向量的方法证明：(1)DEBC；(2)D，M，B 三点共线书面作业