1、5直线与圆1已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x4y70相切，且被y轴截得的弦长为2，圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程；(2)设过点M(0,3)的直线与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由解(1)设圆C：(xa)2y2r2(a0)，由题意知解得a1或a，又Sr213，a1，圆C的标准方程为(x1)2y24.(2)当斜率不存在时，直线l为x0，不满足题意当斜率存在时，设直线l：ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又l与圆C相
2、交于不同的两点，联立得消去y得(1k2)x2(6k2)x60.(6k2)224(1k2)12k224k200，解得k1或k1.x1x2，y1y2k(x1x2)6，(x1x2，y1y2)，(1，3)，假设，则3(x1x2)y1y2，解得k，假设不成立，不存在这样的直线l.2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2y24x0及点A(1,0)，B(1,2)(1)若直线lAB，与圆C相交于M，N两点，MNAB，求直线l的方程；(2)在圆C上是否存在点P，使得PA2PB212？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由解(1)圆C的标准方程为(x2)2y24，所以圆心C(2,0)，半径为2.因为
3、lAB，A(1,0)，B(1,2)，所以直线l的斜率为1，设直线l的方程为xym0，则圆心C到直线l的距离为d.因为MNAB2，而CM2d22，所以42，解得m0或m4，故直线l的方程为xy0或xy40.(2)假设圆C上存在点P，设P(x，y)，则(x2)2y24，PA2PB2(x1)2(y0)2(x1)2(y2)212即x2y22y30，即x2(y1)24.因为|22|22，所以圆(x2)2y24与圆x2(y1)24相交，所以点P的个数为2.3在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1的左顶点为A，右焦点为F，P，Q为椭圆C上两点，圆O：x2y2r2(r0)(1)若PFx轴，且满足直线AP与圆
4、O相切，求圆O的方程；(2)若圆O的半径为，点P，Q满足kOPkOQ，求直线PQ被圆O截得的弦长的最大值解(1)因为椭圆C的方程为1，所以A(2,0)，F(1,0)如图，因为PFx轴，所以P，根据对称性，可取P，则直线AP的方程为y(x2)，即x2y20.由圆O与直线AP相切，得r，所以圆O的方程为x2y2.(2)易知，圆O的方程为x2y23.当PQx轴时，kOPkOQk，所以kOP，不妨设OP：yx，联立解得x，y，即P，此时得直线PQ被圆O截得的弦长为2.当PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为ykxb，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1x20)，由kOPkOQ，得3x1x24y1y
5、20，即3x1x24(kx1b)(kx2b)0，所以(34k2)x1x24kb(x1x2)4b20.(*)联立消去y，得(34k2)x28kbx4b2120，将x1x2，x1x2代入(*)式，得2b24k23.由于圆心O到直线PQ的距离为d，所以直线PQ被圆O截得的弦长为l2，故当k0时，l有最大值.综上，因为2，所以直线PQ被圆O截得的弦长的最大值为.4如图，某市有一条东西走向的公路l，现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m.在施工过程中发现在O处的正北1百米的A处有一汉代古迹为了保护古迹，该市决定以A为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区为了连通公路l，m，欲再建一条公路PQ，点P
6、，Q分别在公路l，m上，且要求PQ与圆A相切(1)当P距O处2百米时，求OQ的长；(2)当公路PQ长最短时，求OQ的长解以O为原点，直线l，m分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系设PQ与圆A相切于点B，连结AB，以1百米为单位长度，则圆A的方程为x2(y1)21.(1)由题意可设直线PQ的方程为1，即qx2y2q0(q2)，PQ与圆A相切，1，解得q，故当P距O处2百米时，OQ的长为百米(2)设直线PQ的方程为1，即qxpypq0(p1，q2)，PQ与圆A相切，1，化简得p2，则PQ2p2q2q2，令f(q)q2(q2)，f(q)2q(q2)，当2q时，f(q)0，即f(q)在上单调递减；当q时，f(q)0，即f(q)在上单调递增，f(q)在q时取得最小值，故当公路PQ长最短时，OQ的长为百米