1、高考资源网（） 您身边的高考专家巩固层知识整合 提升层题型探究空间点、线、面位置关系的判断与证明【例1】如图所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EFAC，AB，CEEF1.(1)求证：AF平面BDE；(2)求证：CF平面BDE. 证明(1)设AC与BD交于点O，连接EO，如图所示，EFAC，且EF1，AOAC1，四边形AOEF为平行四边形，AFOE.OE平面BDE，AF平面BDE，AF平面BDE.(2)连接FO，如图所示EFCO，EFCO1，且CE1，四边形CEFO为菱形，CFEO.四边形ABCD为正方形，BDAC.又平面ACEF平面ABCD，且平面ACEF平面ABCDAC
2、，BD平面ACEF，CFBD.又BDEOO，CF平面BDE.空间平行、垂直关系的转化：(1)平行、垂直关系的相互转化 (2)证明空间线面平行或垂直需注意三点由已知想性质，由求证想判定适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论1如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE.证明(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.又AD平面ABC，所以CC1AD.又因为ADDE，CC1，D
3、E平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1.因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.空间角的计算问题【例2】如图，正方体的棱长为1，BCBCO，求： (1)AO与AC所成角的度数；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平
4、面AOC所成角的度数解(1)ACAC，AO与AC所成的角就是OAC.AB平面BC，OC平面BC，OCAB，又OCBO，ABBOB.OC平面ABO.又OA平面ABO，OCOA.在RtAOC中，OC，AC，sin OAC，OAC30，即AO与AC所成角的度数为30.(2)如图，作OEBC于E，连接AE.平面BC平面ABCD，OE平面ABCD，OAE为OA与平面ABCD所成的角在RtOAE中，OE，AE，tan OAE.(3)OCOA，OCOB，OAOBO，OC平面AOB.又OC平面AOC，平面AOB平面AOC.即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90.空间角的求法：求空间各种角的大小一般都转化为
5、平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影).(3)二面角的平面角的作法常有三种：定义法；垂线法；垂面法2如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，ABAC，D、E分别是BC、AB的中点，ACAD，设PC与DE所成的角为，PD与平面ABC所成的角为，二面角PBCA的平面角为，则、的大小关系是_D、E分别是BC、AB的中点，DEAC，PC与DE所成的角为PCA，即；PA平面ABC，PD与平面ABC所成的角为PDA，即；过A作AHBC，垂足为H，连接PH，易
6、证BC平面PAH，PHA是二面角PBCA的平面角，即. ABAC，ADAH，又ACAD，ACADAH，tan tan tan ，.折叠问题【例3】如图所示，在平行四边形ABCM中，ABAC3，ACM90.以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA.(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BPDQDA，求三棱锥QABP的体积解(1)由已知可得，BAC90，BAAC.又BAAD，且AC平面ACD，AD平面ACD，ACADA，所以AB平面ACD.又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC.(2)由已知可得，DCCMAB3，DA3.又BPDQD
7、A，所以BP2.作QEAC，垂足为E，则QEDC，QEDC.由已知及(1)可得DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1.因此，三棱锥QABP的体积为VQABPQESABP132sin 451.解决折叠问题的关键和解题步骤：解决折叠问题的关键在于认真分析折叠前后元素的位置变化情况，看看哪些元素的位置变了，哪些没有变，基本思路是利用不变求变，一般步骤如下：平面空间：根据平面图形折出满足条件的空间图形想象出空间图形，完成平面图形与空间图形在认识上的转化空间平面：为解决空间图形问题，要回到平面上来，重点分析元素的变与不变平面空间：弄清楚变与不变的元素以后，再立足于不变的元素的位置关系、数量关系去探求
8、变化后元素在空间中的位置关系与数量关系3图1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF2，FBC60.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2. 图1图2(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积解(1)证明：由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面由已知得ABBE，ABBC，BEBCB，故AB平面BCGE.又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE.(2)取CG的中点M，连接EM，DM.因为ABDE，AB平面BCGE，所以DE平面BCGE，故DECG.由已知，四边形BCGE是菱形，且EBC60，得EMCG，故CG平面DEM.因此DMCG.在RtDEM中，DE1，EM，故DM2.所以四边形ACGD的面积为4.- 8 - 版权所有高考资源网