1、32.3直线的一般式方程目标 1.掌握直线方程的一般式，明确各系数的意义；2.掌握一般式与其他形式的互化；3.了解二元一次方程与直线的对应关系重点 求直线的一般式方程，直线的一般式方程与其他形式的互化难点 二元一次方程与直线关系的理解，直线的一般式方程的应用知识点一 直线的一般式方程填一填1关于x，y的二元一次方程，它都表示一条直线2直线的一般式方程AxByC0，其中A，B不同时为0，若A0，则y，它表示一条与x轴平行或重合的直线；若B0，则x，它表示一条与y轴平行或重合的直线答一答1如何理解A2B20?提示：A2B20表示A，B不能同时为零，包括三种情况：一是A0且B0；二是A0，B0；三是
2、B0，A0.2坐标平面内的直线，都可以用关于x，y的二元一次方程AxByC0(A，B不同时为0)表示吗？提示：可以，坐标平面内的任何一条直线，都可以用关于x，y的二元一次方程AxByC0(A，B不同时为0)表示知识点二 直线方程的互化填一填1直线的一般式AxByC0(B0)，化为斜截式为yx；化为截距式为1.2点斜式yy0k(xx0)，化为一般式为kxy(kx0y0)0；斜截式ykxb，化为一般式为kxyb0；两点式，化为一般式为(y2y1)x(x2x1)y(x2x1)y1(y2y1)x10；截距式1化为一般式为bxayab0.答一答3直线的一般式方程与其他形式比较，有什么优点？提示：坐标平面
3、内的任何一条直线，都可以用一般式表示，而其他形式都有一定的局限性4已知直线的一般式方程AxByC0，如何求直线的斜率？提示：若B0，直线方程可化为yx，故直线的斜率为，若B0，则直线的斜率不存在5直线AxByC0，在x轴，y轴上的截距是多少？提示：当A，B，C均不为0时，一般式方程AxByC0可化为1，此时在x轴，y轴上的截距分别为，；当A0，B，C均不为0时，直线平行于x轴，此时在y轴上的截距为；当B0，A，C均不为0时，直线平行于y轴，此时在x轴上的截距为.类型一 直线的一般式方程 例1根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式(1)斜率是，经过点A(8，2)；(2)经过点B(4,2)，
4、平行于x轴；(3)在x轴和y轴上的截距分别是、3；(4)经过两点P1(3，2)，P2(5，4)解选择合适的直线方程形式(1)由点斜式得y(2)(x8)，即x2y40；(2)由斜截式得y2，即y20；(3)由截距式得1，即2xy30；(4)由两点式得，即xy10.本题旨在让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，把握直线方程一般式的特点.对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x，y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项，含y项，常数项顺序排列.求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式.变式训练1已知直线l经过点A(2,1)，B(3,3)，求直线的
5、点斜式，斜截式和一般式方程，并根据方程指出直线在x轴、y轴上的截距解：kl2，点斜式方程为：y12(x2)，斜截式方程为：y2x3，一般式方程为：2xy30，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为3.类型二 利用直线一般式方程解决平行、垂直问题若1a0，且2a30，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1，k2.当l1l2时，k1k21，即1，所以a1.综上可知，当a1或a1时，直线l1l2.法2：(1)令23m(m1)，解得m3或m2.当m3时，l1：xy20，l2：3x3y20，显然l1与l2不重合，所以l1l2.同理当m2时，l1：2x3y40，l2：2x3y20，显然l1与l2不
6、重合，所以l1l2.所以m的值为2或3.(2)由题意知直线l1l2，所以(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得a1，将a1代入方程，均满足题意故当a1或a1时，直线l1l2.所给直线方程是一般式，且直线斜率可能不存在时，利用l1l2A1A2B1B20和l1l2A1B2A2B10且A1C2A2C10(或B1C2B2C10)来判定两条直线是否垂直或平行，避免了讨论斜率是否存在的情况，比用斜率来判定更简便.变式训练2(1)在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：x2y10和直线l2：2xaya0平行，则常数a的值为4.解析：当a0时，l2：x0，显然与l1不平行当a0时，由解得a4.(2)若直线x
7、2y50与直线2xmy60互相垂直，则实数m1.解析：直线x2y50的斜率为，根据题意知，当m0时，两直线不会垂直，故m0，则直线2xmy60的斜率为.由两直线垂直得()1，故m1.类型三 直线方程的实际应用 例3为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如右图)，另外AEF内部有一文物保护区不能占用，经测量AB100 m，BC80 m，AE30 m，AF20 m，应如何设计才能使草坪的面积最大？解如图，以AB边所在直线为x轴，以AD边所在直线为y轴，建立直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，线段EF的方程是1(0x30)在线段EF上取点P(m，n)，作PQBC于点Q，作PR
8、CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则S|PQ|PR|(100m)(80n)又1(0m30)，n20.S(100m)(m5)2(0m30)于是当m5时，S有最大值，这时.答：当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，并且这个顶点分EF成51且距F较近时，草坪的面积最大变式训练3一条光线从点A(3,2)发出，经x轴反射后，通过点B(1,6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程解：因为点A(3,2)关于x轴的对称点为A(3，2)，所以由两点式可得直线AB的方程为，即2xy40.同理，点B(1,6)关于x轴对称点为B(1，6)，由两点式可得直线AB的方程为，即2xy40，所以入射光线所
9、在直线的方程为2xy40，反射光线所在直线的方程为2xy40.1已知ab0，bc0，则直线axbyc通过(C)A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限解析：由axbyc，得yx，ab0，bc0，直线在y轴上的截距0.由此可知直线通过第一、三、四象限2已知m0，则过点(1，1)的直线ax3my2a0的斜率为(D)A.3B.3C.D.解析：由题意，得a3m2a0，所以am，又因为m0，所以直线ax3my2a0的斜率k.故选D.3若两条直线2xya0和xb0平行，则a，b的取值可能是(D)A.2,1 B.， C.0,0 D.7,3解析：由两条直线平行可得a
10、2b，验证可知D符合题意，故选D.4与直线3x2y10垂直，且过点(1,2)的直线l的方程是2x3y80.解析：设与3x2y10垂直的直线方程为2x3yb0，将(1,2)代入方程得b8，直线l的方程为2x3y80.5直线l在y轴上截距为2，且与直线l1：x3y20垂直，求l的方程解：方法1：由已知l1：x3y20可得l1的斜率k1.ll1，l的斜率k3.又由l在y轴上的截距为2，l的方程为y3x2，即3xy20.方法2：ll1，可设l的方程为3xyb0，令x0，得yb，l在y轴上截距为2，即b2.l的方程为3xy20.本课须掌握的三大问题1直线方程的一般式(1)方程是关于x，y的二元一次方程(
11、2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列(3)x的系数一般不为分数和负数(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程2根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1k2且b1b2；若都不存在，则还要判定不重合(2)可直接采用如下方法：一般地，设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.l1l2A1B2A2B10，且B1C2B2C10，或A1C2A2C10.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性3根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k21.(2)一般地，设l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1A2B1B20.第二种方法可避免讨论，减小失误