1、广东省佛山市南海区2019-2020学年高一数学上学期12月月考试题（含解析）注意事项：1. 答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目.2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卡的相应位置上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集，集合，集合，则为 （ ）A. B.
2、 C. D. 【答案】A【解析】，所以，选A.2.某校有一班级，设变量是该班同学的姓名，变量是该班同学的学号，变量是该班同学的身高，变量是该班同学的某一门课程的考试成绩，则下列选项中正确的是（ ）A. 是的函数B. 是的函数C. 是的函数D. 是的函数【答案】A【解析】【分析】根据函数的定义逐个辨析即可.【详解】因为姓名不算数集,故B,D不成立.又成绩与身高无必然联系,不能构成函数.C错误.故选：A【点睛】本题主要考查了函数的定义理解.函数的建立在两个非空数集之间的关系.属于基础题.3.的值为（ ）A. 正数B. 负数C. 0D. 不确定【答案】A【解析】【分析】根据正余弦与正切函数在各个象限
3、中的正负判定即可.【详解】由题, ,故.故选：A【点睛】本题主要考查了三角函数正负,属于基础题.4.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）A. 2B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设圆心角的弧度数为，则扇形的弧长.由已知得，所以要求弧长的大小，需求出半径的大小.【详解】如图所示，设扇形中，圆心角，弦长，过点作于点，延长，交弧于点，则，在中，扇形的半径，弧的长选C.【点睛】本题考查扇形的弧长公式和推理计算能力，属于中档题.当点都在圆圆周上时，半径.当圆的半径与弦垂直（垂足为点）时：，.5.已知角、的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，终边关于轴对称，若角的终边
4、上有一点，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出终边上关于对称的点,再利用正切函数的定义求解即可.【详解】因为角的终边上有一点,且角、的顶点在原点,始边在轴的正半轴上,终边关于轴对称,故终边过.故.故选：D【点睛】本题主要考查了正切函数的定义求值,属于基础题.6.已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将两边平方化简即可.【详解】因为,故.故.故选：B【点睛】本题主要考查了同角三角函数的正余弦平方和为1的运用,属于基础题.7.若，则的大小关系是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用对数函数和指数函数的单调性
5、求解【详解】0a，blog0.51.2log0.510，c1.20.51.201，bac故选C【点睛】本题考查对数值大小的比较，考查了对数函数和指数函数的单调性，是基础题8.函数的图象大致为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，求出函数的定义域，分析可得为偶函数，进而分析可得当时，当时，当时，分析选项，从而选出正确的结果.【详解】根据题意，函数的定义域，因为，所以为偶函数，图象关于轴对称，排除B项，当时，当时，排除选项，当时，所以D项是正确，故选D.【点睛】该题考查的是有关函数图象的选择问题，在选择的过程中，注意从函数的定义域，图象的对称性，函数值的符号，函数图象的
6、变化趋势，属于简单题目.9.设U是全集，是U的三个子集，则阴影部分所示的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由图象可知阴影部分对应的集合的元素一定不在集合S中，因此在US，且在集合M与集合P 的交集中，因此应是US与MP的交集【详解】解：由图象可知：阴影部分对应的集合的元素xS，xUS，且xMP，因此x（US）（MP）故选：B【点睛】本题考查了集合与韦恩图的对应关系，分析元素的特点是关键，属于基础题10.若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简再根据去绝对值的条件分析即可.【详解】.故.所以.故的取值范围是.故选：C【点睛】本题主
7、要考查了同角三角函数的化简分析,属于基础题.二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全得3分，有选错的得0分）.11.已知函数，则，满足（ ）A. B. 且C. D. 【答案】AB【解析】【分析】根据函数的解析式直接逐个代入判断即可.【详解】对A, 成立.故A正确.对B, 因为中为增函数, 为减函数,故为增函数.故成立.因为,故成立.故B正确.对C, ,.故C错误.对D, .故D错误.故选：AB【点睛】本题主要考查了根据函数解析式进行性质与求值的分析.属于中档题.12.已知狄利克雷函数，则下列结论正确的是（
8、）A. 的值域为B. 定义域为C. D. 是奇函数【答案】BC【解析】【分析】根据函数的解析式逐个判定即可.【详解】对A, 的值域为,故A错误.对B, 定义域为.故B正确.对C,当有理数时也为有理数,当是无理数时也为无理数,故成立.故C正确.对D, 因为,故D错误.故选：BC【点睛】本题主要考查了新定义函数性质的判定,属于基础题.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数的定义域为_.【答案】(1,4【解析】【分析】根据函数的解析式有意义，得到满足，即可求解函数的定义域，得到答案【详解】由题意，函数，满足，解得，所以函数的定义域为故答案为【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解
9、，其中解答中根据函数的解析式有意义，得到不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题14._.【答案】【解析】【分析】根据对数的运算法则求解即可.【详解】.故答案为：【点睛】本题主要考查了对数的基本运算,属于基础题.15.设是R上的奇函数，且当时，那么当时，_【答案】【解析】【分析】当时，则就有相应表达式可以计算.【详解】时，.当时，.【点睛】已知奇偶函数一段解析式，求对应一段解析式，常求那段设相应变量，通过建立等量关系.16.函数，函数有_个零点，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_.【答案】 (1). 1 (2). 【解析】【分析】(1)画出图像分析函数的零点个数(2
10、)条件转换为有三个不同的交点求实数的取值范围问题,数形结合求解即可.【详解】(1)由题,当时,当时,为二次函数,对称轴为,且过开口向下.故画出图像有故函数有1个零点.又有三个不同的交点则有图像有最大值为.故.故答案为：(1). 1 (2). 【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数与根据零点个数求参数范围的问题,属于中档题.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知集合，.（1）求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】(1)根据指数不等式求解集合再求即可.(2)根据集合的包含关系列出区间端点满足的关系式再求解即可.
11、【详解】（1）由题意得,又因为,所以.（2）因为,所以,因为,所以,解得,故的取值范围为.【点睛】本题主要考查了交集的基本运算与根据交集的结果求解参数范围的问题.属于中等题.18.已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】(1)根据进行求解即可.(2)利用诱导公式再根据同角三角函数的关系上下同除以求解即可.【详解】（1）因为,所以,代入可得,所以故,所以.（2）【点睛】本题主要考查了同角三角函数的公式运用,属于基础题.19.已知函数.（1）当时判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若函数在上的最大值为9，求的值.【答案】（1）既不是奇函数，也不是偶函数，理由见解析
12、（2）或【解析】【分析】(1)代入再根据奇偶函数的定义求解分析即可.(2)化简得,再根据对称轴与区间的中点的大小关系分情况讨论最值即可.【详解】（1）的定义域为R,当时,所以且,所以当时,既不是奇函数,也不是偶函数.（2）,对称轴为,当,即时,解得或（舍去）当,即时,解得或（舍去）综上：或.【点睛】本题主要考查了奇偶性的证明与分类讨论分析二次函数最值的问题.属于中档题.20.已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q（单位：万元）与速度v（单位：百公里小时）（0v3）的以下数据：012300.71.63.3为描述该超级快艇每小时航行费用Q与
13、速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：Qav3bv2cv，Q05va，Qklogavb（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用【答案】（1）选择函数模型，函数解析式为；（2）以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航行费用为2.1万元.【解析】【分析】（1）对题中所给的三个函数解析式进行分析，对应其性质，结合题中所给的条件，作出正确的选择，之后利用待定系数法求得解析式，得出结果；（2）根据题意，列出函数解析式，之后应用配方法求得最值，得到结果.【详解】（1）若选择函数模型，则该
14、函数在上为单调减函数，这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型若选择函数模型，须，这与试验数据在时有意义矛盾，所以不选择该函数模型从而只能选择函数模型，由试验数据得，即，解得故所求函数解析式为：（2）设超级快艇在AB段的航行费用为y（万元），则所需时间为（小时），其中，结合（1）知，所以当时，答：当该超级快艇以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航行费用为21万元【点睛】该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有函数模型的正确选择，等量关系式的建立，配方法求二次式的最值，属于简单题目.21.已知函数.（1）完成表一中对应的值，并在坐标系中用描点法作出函数的图象：（表一）0.
15、250.50.7511.251.50.081.822.58（2）根据你所作图象判断函数的单调性，并用定义证明；（3）说明方程的根在区间存在的理由，并从表二中求使方程的根的近似值达到精确度为0.01时运算次数的最小值并求此时方程的根的近似值，且说明理由.（表二）二分法的结果运算次数的值左端点右端点-0.5370.60.750.08-0.2170.6750.750.08-0.0640.71250.750.08-0.0640.71250.731250.011-0.030.7218750.731250.011-0.010.72656250.731250.011【答案】（1）见解析 （2）增函数，证明见
16、解析 （3），方程的根的近似值为，理由见解析【解析】【分析】(1)分别代入表中的数据进行求解再描点即可.(2)由图像直观判断即可.再设区间内,判断的正负进行证明即可.(3)根据零点存在性定理证明即可证明程的根在区间存在.再根据图表判断当根的近似值与的差的绝对值小于时的最小值即可.【详解】解：（1）0.50.7511.251.50.0811.822.58（2）函数在定义域内为增函数,证明：设,则,因为即所以函数在定义域内为增函数.（3）是图象是一条连续不断的曲线,且,故方程的根在区间存在.当时,所以当时方程的根的近似值达不到精确度为0.01,当时,所以当时方程的根的近似值达到精确度为0.01,所
17、以.方程的根的近似值为.【点睛】本题主要考查了函数单调性的定义法证明,同时也考查了二分法求近似根的方法与辨析.需要根据零点存在定理证明函数在区间上存在零点.属于中档题.22.函数满足以下4个条件.函数定义域是，且其图象是一条连续不断的曲线； 函数在不是单调函数；函数是偶函数；函数恰有2个零点.（1）写出函数的一个解析式；（2）画出所写函数的解析式的简图；（3）证明满足结论及.【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析【解析】【分析】(1)根据常见函数的性质写出满足条件的函数即可.(2)根据常见函数的图像与函数的图像变换方法画图即可.(3)根据函数满足定义域关于原点对称,且即可证明为偶函数.直接求解函数的零点即可证明函数有两个零点.【详解】本题为开放性题,答案不唯一,只需写出符合条件的函数即可,提供以下5个函数仅供参考.（1） （2） （3） （4）（5） 下面以函数为例给出证明：证明：的定义域为R因为对定义域的每一个x,都有所以函数是偶函数,又因为当时, 解得所以当时,函数只有一个零点,又因为函数是偶函数,所以函数恰有2个零点.【点睛】本题主要考查了根据函数的性质列出满足条件的函数并证明.需要积累常见的函数性质与图像.同时也考查了奇偶性的证明与零点问题.属于中档题.